1、1基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件 )都可以表示成基本事件的和2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等3如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 ；如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 P(A) .1n mn4古典概型的概率公式P(A) .A包 含 的 基 本 事 件 的 个 数基 本 事 件 的 总 数【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(
2、1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是 “发芽与不发芽” ( )(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面” “一正一反” “两个反面 ”，这三个结果是等可能事件( )(3)从市场上出售的标准为 5005g 的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型 ( )(4)(教材改编 )有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 .( )13(5)从 1,2,3,4,5 中任取出两个不同的数，其和为 5 的概率是 0.2.( )(6)在古典概型中，如果事件 A 中基本事件构成集合 A，且
3、集合 A 中的元素个数为 n，所有的基本事件构成集合 I，且集合 I 中元素个数为 m，则事件 A 的概率为 .( )nm1从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( )A. B.12 13C. D.14 16答案 B解析 基本事件的总数为 6，构成“取出的 2 个数之差的绝对值为 2”这个事件的基本事件的个数为 2，所以所求概率 P ，故选 B.26 132(2016北京)从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为( )A. B.15 25C. D.825 925答案 B解析 从甲、乙等 5 名学生中随机选 2 人共有 10
4、 种情况，甲被选中有 4 种情况，则甲被选中的概率为 .410 253(2015课标全国)如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( )A. B. C. D.310 15 110 120答案 C解析 从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数共有 C 10(个)不同的结果，其中勾股数只有一组，35故所求概率为 P .1104从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为_答案 35解析 取两个点的所有情况为 1
5、0 种，所有距离不小于正方形边长的情况有 6 种，概率为 .610 35题型一 基本事件与古典概型的判断例 1 有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字 1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中 x 表示第 1 颗正四面体玩具出现的点数，y 表示第 2颗正四面体玩具出现的点数试写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于 3”包含的基本事件；(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件解 (1)这个试验的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3) ，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3) ，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3
6、) ，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3) ，(4,4)(2)事件“出现点数之和大于 3”包含的基本事件为(1,3)，(1,4)，(2,2) ，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2) ，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2) ，(4,3)，(4,4)(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件为(1,1)，(2,2)，(3,3) ，(4,4)思维升华 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型下列试验中，古典概型的个数为( )向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；向正方形 ABCD 内
7、，任意抛掷一点 P，点 P 恰与点 C 重合；从 1,2,3,4 四个数中，任取两个数，求所取两数之一是 2 的概率；在线段 0,5上任取一点，求此点小于 2 的概率A0B1C 2D3答案 B解析 中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型；的基本事件都不是有限个，不是古典概型；符合古典概型的特点，是古典概型题型二 古典概型的求法例 2 (1)(2015广东)袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球从袋中任取 2 个球，则所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为( )A. B. C. D1521 1021 1121(2)(2015江苏)
8、袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为_(3)我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金 ”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件 A 表示“排列中属性相克的两种物质不相邻” ，则事件 A 发生的概率为_答案 (1)B (2) (3)56 112解析 (1)从袋中任取 2 个球共有 C 105(种) 取法，其中恰好 1 个白球，1 个红球共有215C C 50(种)取法，所以所取的球恰好 1 个白球，1 个红球的概率为 .1015501
9、05 1021(2)基本事件共有 C 6( 种)，24设取出两只球颜色不同为事件 A，A 包含的基本事件有 C C C C 5( 种)1212 11故 P(A) .56(3)五种不同属性的物质任意排成一列的所有基本事件数为 A 120，满足事件 A“排列中属5性相克的两种物质不相邻”的基本事件可以按如下方法进行考虑：从左至右，当第一个位置的属性确定后，例如：金，第二个位置(除去金本身) 只能排土或水属性，当第二个位置的属性确定后，其他三个位置的属性也确定，故共有 C C 10(种)可能，所以事件 A 出现的概率1512为 .10120 112引申探究1本例(2)中，若将 4 个球改为颜色相同，
10、标号分别为 1,2,3,4 的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率解 基本事件数仍为 6.设标号和为奇数为事件 A，则 A 包含的基本事件为(1,2)，(1,4) ，(2,3)，(3,4)，共 4 种，所以 P(A) .46 232本例(2)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率解 基本事件数为 C C 16，1414颜色相同的事件数为 C C C C 6，121 1212所求概率为 .616 38思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件 A 包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具
11、体应用时可根据需要灵活选择(1)(2016全国乙卷) 为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A. B. C. D.13 12 23 56答案 C解析 从 4 种颜色的花中任选 2 种种在一个花坛中，余下 2 种种在另一个花坛，有(红黄) ，(白紫)， (白紫)，( 红黄)，(红白) ，(黄紫)，(黄紫) ，(红白) ，(红紫)，( 黄白)，(黄白) ，(红紫)，共 6 种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种法有(红黄)，( 白紫)，(白紫) ，(红黄)，(红白)，(黄紫) ，(黄紫
12、)，( 红白)，共 4 种，故所求概率为 P ，故选 C.46 23(2)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a，b，c.求“抽取的卡片上的数字满足 abc”的概率；求“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率解 由题意知，(a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3) ，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1) ，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,
13、2,2) ，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3) ，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1) ，(3,3,2)，(3,3,3)，共 27 种设“抽取的卡片上的数字满足 abc”为事件 A，则事件 A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3) ，共 3 种所以 P(A) .327 19因此， “抽取的卡片上的数字满足 abc”的概率为 .19设“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”为事件 B，则事件 包括(1,1,1) ，(2,2,2)，B(3,3,3)，共 3 种所以 P(B)1P
14、( )1 .B327 89因此， “抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率为 .89五审细节更完善典例 (14 分) 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 n，求 n0，所以 f(x)在 R 上递增，若 f(x)在 1,2上有零点，则需Error! 经验证有(1,2)，(1,4)，(1,8) ，(2,4)，(2,8)，(2,12)，(3,4)，(3,8) ，(3,12)，(4,8)，(4
15、,12)，共 11 对满足条件，而总的情况有 16 种，故所求概率为 .11165有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球，从中随机取出 4 个，则取出球的编号互不相同的概率为( )A. B. C. D.521 27 13 821答案 D解析 从编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球中随机取出 4 个，有 C 210(种)不同410的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的设事件 A 为“取出球的编号互不相同” ，则事件 A 包含了 C C C C C 80(个)基本事件，所以 P(A) .15 12 12 12 1280210 82
16、1故选 D.6如图，三行三列的方阵中有九个数 aij(i1,2,3；j 1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )(a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33)A. B.37 47C. D.114 1314答案 D解析 从九个数中任取三个数的不同取法共有 C 84(种)，因为取出的三个数分别位于不同39的行与列的取法共有 C C C 6(种)，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为 1 13 12 1684.13147从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A. B. C. D.110
17、18 16 15答案 D解析 如图所示，从正六边形 ABCDEF 的 6 个顶点中随机选 4 个顶点，可以看作随机选 2 个顶点，剩下的 4 个顶点构成四边形，有A、B，A、C， A、D，A、E，A 、F，B、C，B、D ，B、E，B 、F，C 、D ，C 、E，C、F，D、E，D、F ，E、F，共 15 种若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有A、D，B 、E，C 、F ，共 3 种，故其概率为 .315 158若 A、B 为互斥事件，P (A)0.4，P( AB)0.7，则 P(B)_.答案 0.3解析 因为 A、B 为互斥事件，所以 P(AB )P(A )P(B) ，故 P(B)P(A B
18、 )P(A) 0.70.40.3.9连续 2 次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于 m”为事件 A，则 P(A)最大时，m _.答案 7解析 112,123,134,145,156，167，213,224,235,246,257,268，依次列出 m 的可能取值，知 7 出现次数最多1010 件产品中有 7 件正品，3 件次品，从中任取 4 件，则恰好取到 1 件次品的概率是_答案 12解析 从 10 件产品中取 4 件，共有 C 种取法，取到 1 件次品的取法为 C C 种，由古典410 13 37概型概率计算公式得 P .C13C37C
19、410 335210 1211设连续掷两次骰子得到的点数分别为 m，n，令平面向量 a( m，n)，b(1，3) (1)求事件“ab”发生的概率；(2)求事件“|a| | b|”发生的概率解 (1)由题意知，m1,2,3,4,5,6，n1,2,3,4,5,6 ，故(m，n) 所有可能的取法共 36 种因为 ab，所以 m3n0，即 m3n，有(3,1)，(6,2)，共 2 种，所以事件 ab 发生的概率为 .236 118(2)由|a|b|，得 m2n 210，有(1,1)，(1,2)，(1,3) ，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共 6 种，其概率为 .636 16*12.(2015四川
20、)一辆小客车上有 5 个座位，其座位号为 1,2,3,4,5.乘客 P1，P 2，P 3，P 4，P 5的座位号分别为 1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车乘客 P1因身体原因没有坐自己的 1 号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这 5 个座位的剩余空位中任意选择座位(1)若乘客 P1坐到了 3 号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有 4 种坐法下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处) ；乘客 P1 P2 P3 P4 P53 2 1 4 53 2 4 5
21、1座位号(2)若乘客 P1坐到了 2 号座位，其他的乘客按规则就座，求乘客 P5坐到 5 号座位的概率解 (1)余下两种坐法如下表所示：乘客 P1 P2 P3 P4 P5座位号 3 2 4 1 53 2 5 4 1(2)若乘客 P1坐到了 2 号座位，其他乘客按规则就座，则所有可能的坐法可用下表表示：乘客 P1 P2 P3 P4 P52 1 3 4 52 3 1 4 52 3 4 1 52 3 4 5 12 3 5 4 12 4 3 1 52 4 3 5 1座位号2 5 3 4 1于是，所有可能的坐法共 8 种，设“乘客 P5坐到 5 号座位”为事件 A，则事件 A 中的基本事件的个数为 4，
22、所以 P(A) .48 1213袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为 ，现有甲、乙两人从17袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的(1)求袋中原有白球的个数；(2)求取球 2 次即终止的概率；(3)求甲取到白球的概率解 (1)设袋中原有 n 个白球，从袋中任取 2 个球都是白球的结果数为 C ，从袋中任取 2 个2n球的所有可能的结果数为 C .27由题意知从袋中任取 2 球都是白球的概率 P ，C2nC27 17则 n(n1) 6，解得 n3( 舍去 n2) ，即袋中原有 3 个白球(2)设事件 A 为“取球 2 次即终止” 取球 2 次即终止，即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，P(A) .C14C13C17C16 4376 27(3)设事件 B 为“甲取到白球” ， “第 i 次取到白球”为事件 Ai，i1,2,3,4,5，因为甲先取，所以甲只可能在第 1 次，第 3 次和第 5 次取到白球所以 P(B)P(A 1A 3A 5)P(A 1)P (A3)P(A 5) .37 433765 4321376543 37 635 135 2235
