1、函数与导数 复习随想 新高考模式下的高三数学复习 2016年 11月 3日 新高考模式下的函数复习 2017年高考数学虽然还是以必考科目，只 考一次等形式进行，看起来与原来的高考相差 不大，但实际上在新高考模式下的数 学教学及 数学学习已经与以往 有所不同，在选考走班教 学中，对数学的教学与学习都有着新的挑战， 同样对数学高考也需要进行全新的思考。 对于函数部分内容的复习，肯定与前两年 不同，那么我们应该如何应对？ 新高考模式下的的函数复习 函数是高中数学的 中心 函数是高中数学的 主线 数学老师对函数的看法： 学生对学习函数的想法： 函数是高中数学的 重点 函数是高中数学的 难点 函数与导数
2、问题的几点想法 研究函数性质时，从函数本身的构成出发，从几何直观到代数直观，逐步体会研究方法，从宏观的角度认识函数 把数形结合思想放在函数问题的重要位置 函数思想不仅仅是解决函数问题，也可以解决其它数学问题 导数是一种解决函数问题的有力工具。学生在运用导数时容易思维固化，盲目求导，要求学生理解导数的几何意义及应用。 教师的思维方法与学生的思维方法是不一样的，就象苹果系统与安卓系统，但可以解决同一个问题。 一、函数复习中关注学生的思维模式； 二、函数复习中关注问题的本质特征； 三、数学复习中要注意函数思想的渗透； 四、解决函数问题不一定要循规蹈矩，按部就班； 五、函数问题中的分类讨论思想； 六、
3、函数问题注定离不开数形结合； 七、是坚守大纲，还是需要知识拓展？ 函数复习随想 一、函数复习中关注学生的思维模式 新高考模式下的的函数复习 一、函数复习中关注 学生的思维模式 看下面两个问题： 问题 1 . 若函数 2( ) l g ( )1xf x mx 是 奇 函数 ， 则实数 m 的 值是 问题 2 . 已知 关于 x 的 二次方程 223 2 ( 1 ) 2 0x a x a a 在 2 , 2 上 有解， 则 实数 a 的 取值范围 是 . 一、函数复习中关注 学生的思维模式 ( 江苏 省天一中学 ) 课堂 实录： 高 三一轮复习微专题： 函数 的图象与性质 例 1. 已知 定义在
4、R 上 的函数2( ) 2 ( ) | |f x x x a x a ( 1) _ _ _ _ _ _ _ ( 2) _ _ _ _ _ _ _ _ 要 求自己编题，然后解答： 学 生基本一 致 地编写了： ( 1) 判断 函数的奇偶性，单调性，求函数的 最 大值，最小值 有 一学生 ： 当xa时 ，函数()fx是 偶 函数； 当xa时 ，函数()fx是 非奇非偶函数 二、函数复习中关注问题的本质特征 新高考模式下的的函数复习 二、函数复习中关注 问题的本质特征 函数最大值的概念： ( 1) 最大值：设函数)( xfy 的定义域为 I ，如果存在 实数 M 满足： 对任意的 Ix ，都有Mxf
5、 )(； 存在Ix 0，使得Mxf )( 0. 则称 M 是函数 )( xfy 的最大值 一个很简单的概念： 二、函数复习中关注 问题的本质特征 已知函数 |2|)( 2 ttxxxf 在 0 ， 1 上的最大值为 3 ，求 t 的值 . 一个很常见的问题： 直接 由概念 解题： 由题知：3|2| 2 ttxx对 0 ， 1 恒成立 且 3|2| 2 ttxx在 0 ， 1 上有解 由得：323 2 ttxx，即xxtxx232322对1,0x成立 得2323 t由得：322 ttxx或322 ttxx在1,0x有解 xxt232或xxt232得223 t或234 t综上所述：23t解：当02
6、t时，即0t，|1|,2m a x |)1(),0(m a x )( m a x ttffxf若|1|2| tt，即31t，32|2|)( m a x ttxf，得23t若|1|2| tt，即031 t时，31|1|)( m a x ttxf得2t（舍） 当120 t，即20 t时，082 tt，则ttxxxf 2)( 2 若 2120 t，即10 t时，31)1()( m a x tfxf（舍） 若1221t，即21 t时，32)90)( m a x tfxf，得23t若12t，即2t时， 32|1|,2m a x |)1(),0(m a x )( m a x tttffxf（舍），综上所述
7、：23t但大部分同学用的是分类讨论： 二、函数复习中关注 问题的本质特征 二、函数复习中关注 问题的本质特征 题 . （ 2015 年高考理科第 18 题） 已知函数2( ) ( , )f x x a x b a b R ， 记( , )M a b是()fx在区间 1 , 1上的最大值。 （ ） 证明：当2a 时，( , ) 2M a b ； （ ） 当,ab满足( , ) 2M a b 时 ，求ab的最大值 . （ ） 由( , ) 2M a b 得1 ( 1 ) 2 , 1 ( 1 ) 2a b f a b f 故3 , 3a b a b , 由 ,0,0a b a baba b a b
8、得3ab 当2 , 1ab 时 , 3ab , 且2 21xx 在 1 , 1上的最大值为 2 当2 , 1ab 时 ,3ab , 且2 21xx 在 1 , 1上的最大值为 2 所以 , ab的最大值 为 3 第（ II）小题提供的解答： 二、函数复习中关注 问题的本质特征 对二次函数 2( ) ( 0 )f x a x b x c a ， 它的图象 与 函数 2y ax 的图像形状相同， ()fx 的图像相当于函数 2()g x a x 的图像经过平移而得到的。抛物线的开口大小 由a决定，a越大， 开口越小。 因 此本题中的 函 数 2( ) ( , )f x x a x b a b R
9、，其实 是 由 函数 2yx 通过 平移变换得到的。 二、函数复习中关注 问题的本质特征 求 | | | |ab 的 最大值，实际上就是 求 函数移动距离的最大值 设2()y x t k ( 1 1 , 2 )tk 。即22 2y x tx t k ， 当10 t 时，2m a x( ) ( 1 ) ( 1 ) 2f x f t k ， 即22 ( 1 )kt 对10 t 恒成立， 则2k ，又由20 k ，所以2k 同理，当01 t时，2m a x( ) ( 1 ) ( 1 ) 2f x f t k ， 即22 ( 1 )kt 对01 t恒成立， 则2k ，又由20 k ，所以2k 此时2(
10、 ) 2y x t ( 1 1 )t 2 2 22 2 2 2 ( 1 ) 3 3a b t t t t t ， 当1t 时，ab取最大值3二、函数复习中关注 问题的本质特征 三、数学复习中要注意函数思想的渗透 新高考模式下的的函数复习 三、数学复习中要注意 函数思想的渗透 问题 1 . 已知数列 na的 通 项 公式为 22nnnant， 且na是 等差数列，求t的 值 方法 一：求出1 2 3,a a a， 然后求t方法 二：函数思想： 22nnna An Bnt ， ( 201 6 江苏 ) 已知函数( ) ( 0 , 0 , 1 , 1 )xxf x a b a b a b . ( I
11、 ) 设 a =2, b =12. 求方程()fx=2 的根 ; 若对任意xR, 不等式( 2 ) f ( ) 6f x m x恒成立，求实数 m 的最大值； (II) 若0 1 , 1ab ，函数 2g x f x有且只有 1 个零点，求 ab 的值 . 三、数学复习中要注意 函数思想的渗透 1412108642215 10 5 5 10 1565432116 4 2 2 4 6 8当 b=1/a时，是偶函数， 具有对称性 当 b1/a 时，破坏了原有 的对称性，图象可以借助 叠加得到 三、数学复习中要注意 函数思想的渗透 问题 2 已知函数axbxxf 2)(， 0,0 ba ( 1) 若
12、函数2)( xfy只有一个零点，求 ,ab 的关系式； ( 2) 求正数 ,ab 的值，使得不等式 1 ( ) 2fx 的解集恰 好是 | 1 2xx 三、数学复习中要注意 函数思想的渗透 543211234510 8 6 4 2 2 4 6 8 10结合 函数 的 性质，可以 画 出axbxxf 2)(， 0,0 ba 画 出 的 图象 不等式 的解集是函数 夹在两直线 和 之间的图象对应的 的取值范围 1 ( ) 2fx ()y f x 1y 2y x三、数学复习中要注意 函数思想的渗透 ( 2) 不等式1 ( ) 2fx的解集是函数()y f x夹在两直线1y 和 2y 之间的图象对应的
13、x的取值范围。 因为不等式1 ( ) 2fx的解集是恰好是 | 1 2xx 所以( 1 ) 1( 2) 1( ) 2fffa 即112144bababa，解得2 , 3ab当2 , 3ab时，不等式1 ( ) 2fx的解集恰好是 | 1 2xx 三、数学复习中要注意 函数思想的渗透 四、解决函数问题不一定要循规蹈矩， 按部就班。 新高考模式下的的函数复习 问题 1 2 0 1 4 浙江 ：已知函数 32()f x x a x b x c ， 且 0 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 3f f f ， 则 A . 3c B. 36 c C. 69 c D . 9c 解 ： 由 题意设 ( )
14、( 1 ) ( 2 ) ( 3 )f x m x x x 其中 03 m 即 ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )f x x x x m 于 是 6 mc ， 则 0 6 3c ， 则 69 c 四、函数问题 解析式的结构 对方法的影响 分析 ： 由 题意设 函数2 3 2 20 0 0( ) ( ) 2f x x x x x x x x x 则02px，20qx220 0 0 0( ) 3 4 ( ) ( 3 )f x x x x x x x x x 于 是 20 0 00( ) ( ) 43 3 3x x xfx ， 得 0 3x 从 而得：6p ，9q 问题 2 . 已知函数qxp
15、xxxf 23)(的图象 与x轴切于 点)0)(0,( 00 xx, 且极小值为4, p ； q 四、函数问题 解析式的结构 对方法的影响 问题 3 . 若三次函数 )( xf 有三个零点321 , xxx，且在点 )(,(ii xfx )3,2,1( i处 切线的斜率为ik，求321111kkk 的值 解 ： 设)()()( 321 xxxxxxaxf 则)()()()( 32132 xxxxxxaxxxxaxf=)()()( 213132 xxxxxxxxxxxxa 则)()( 312111 xxxxaxfk )()( 321222 xxxxaxfk )()( 231333 xxxxaxf
16、k 则 321111kkk)(1)(1)(1231332123121 xxxxaxxxxaxxxxa 0)()()()()(123121211332 xxxxxxaxxxxxx四、函数问题 解析式的结构 对方法的影响 问题 . 已知实数,ab都不为零，求证：函数 2( ) 3 2 ( )f x a x b x a b 在 ( 0 ， 1) 内一定有零点 . 四、函数问题 解析式的结构 对方法的影响 把( ) 0fx 化为2( 3 1 ) ( 2 1 )a x b x ， 再进一步转化为23 1 ( 2 1 )bxxa ， 这样，等式一边含参数，而另一边不含参数， 实现了函数 图象的一动一静，然后 可以通过数形结合来解决。 函数( 2 1 )byxa 过点 P （或交于 P 的左边），或过点 Q （或交于 Q 的右边）时，在( 0 , 1 )之间必有零点，交于 PQ 之间时也显然满足题意。 通过对这个问题的解决，可以进一步理解数学命题的意图，同时图 形的直观性也让人感觉到数学问题的巧妙。 x y O P M Q x y O P M Q 1 1 四、函数问题 解析式的结构 对方法的影响 五、函数问题中的分类讨论思想 新高考模式下的的函数复习
