1、第九章 平面解析几何第 2 课时 直线的方程(对 应 学 生 用 书 （文 ）113 115页（理 ）118 120页 )考情分析 考点新知掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)的特点与适用范围；能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素. 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式 )，了解斜截式与一次函数的关系.1. 把直线方程 AxByC 0(ABC0) 化成斜截式为_，化成截距式为_答案：y x 1AB CB x CA y CB解
2、析：因为 ABC0，即 A0，B 0，C0，按斜截式、截距式的形式要求变形即可斜截式为 y x ，截距式为 1.AB CB x CA y CB2. (必修 2P88 习题 13 改编)过点(3，6) 作直线 l，使 l 在 x 轴，y 轴上截距相等，则满足条件的直线方程为_答案：xy90，y2x解析：设该直线方程为 1(a0) ，则 1，所以 a 9，则该直线方程为xa ya 3a 6bxy90；又若过原点，则该直线方程为 y2x.3. 下列四个命题： 过点 P(1，2)的直线可设为 y2k(x 1)； 若直线在两轴上的截距相等，则其方程可设为 1(a0) ；xa ya 经过两点 P(a，2)
3、，Q(b ，1) 的直线的斜率 k ；1a b 如果 AC0 ，那么直线 AxByC 0 不通过第二象限其中正确的是_(填序号)答案：4. (必修 2P82 第 1 题改编)已知直线 l 过点 P(2，5)，且斜率为 ，则直线 l 的方程为34_答案：3x4y140解析：由 y5 (x2)，得 3x4y140.345. 经过两点(1，8)和(4， 2)的直线的两点式方程是_，截距式方程是_，一般式方程是_答案： 1 2xy60y 8 2 8 x （ 1）4 （ 1） x3 y61. 直线方程的五种形式名称 方程 适用范围点斜式 不含直线 xx 0斜截式 yy 0k(xx 0) 不含垂直于 x
4、轴的直线两点式y y1y2 y1 x x1x2 x1 不含直线 xx 1(x1x 2)和直线 yy 1(y1y 2)截距式 1xa yb 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 AxBy C0(A，B 不同时为 0) 平面直角坐标系内的直线都 适用2. 过 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)的直线方程(1) 若 x1x 2，且 y1y 2 时，直线垂直于 x 轴，方程为 xx 1(2) 若 x1x 2，且 y1y 2 时，直线垂直于 y 轴，方程为 yy 1(3) 若 x1x 20，且 y1y 2 时，直线即为 y 轴，方程为 x0(4) 若 x1x 2，且 y1y 20 时，直线即为
5、 x 轴，方程为 y03. 线段的中点坐标公式若点 P1，P 2 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段 P1P2 的中点 M 的坐标为(x，y)，则x x1 x22 ，y y1 y22 ， )此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式.题型 1 直线方程例 1 求经过点 A(2，m) 和 B(n，3) 的直线方程解：(解法 1)利用直线的两点式方程直线过点 A(2，m)和 B(n，3) 当 m3 时，点 A 的坐标是 A(2，3)，与点 B(n，3)的纵坐标相等，则直线 AB 的方程是 y3. 当 n2 时，点 B 的坐标是 B(2，3)，与点 A(2，m)的横坐标相等，则直
6、线 AB 的方程是 x2. 当 m3，n2 时，由直线的两点式方程 得 .y y1y2 y1 x x1x2 x1 y m3 m x 2n 2(解法 2)利用直线的点斜式方程 当 n2 时，点 A、B 的横坐标相同，直线 AB 垂直于 x 轴，则直线 AB 的方程为x2. 当 n2 时，过点 A，B 的直线的斜率是 k .又 过点 A(2，m)， 由直线3 mn 2的点斜式方程 yy 1k(xx 1)，得过点 A，B 的直线的方程是 ym (x2) 3 mn 2变 式 训 练过点 P(1，4)引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距为正值，且它们的和最小，求这条直线的方程解：(解法 1)设所求的直线
7、方程为 y4k(x1) 显见，上述直线在 x 轴、y 轴上的截距分别为 1 、4k.由于 1 0 且 4k0 可得，k0，b0)xa yb据题设有 1， 令 Sab.1a 4b，有 S(a b) 5 549.当且仅当 时，即 2ab，且 (1a 4b) ba 4ab ba 4ab 1a1，也即 a 3，b6 时，取等号4b故所求的直线方程为 1，即 2xy60.x3 y6例 2 求过点 A(5，2) ，且在坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的方程解：截距不为 0 时，设直线 l 的方程为 1.xa y a l 过 A(5，2)， 1.5a 2 a a3. l 的方程为 xy30.截距为 0 时
8、，l 的方程为 2x5y0.综上可得直线 l 的方程是 xy30 或 2x5y0.备 选 变 式 （教 师 专 享 ）直线 l 经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线 l 的方程解：解法 1：(借助点斜式求解 )由于直线 l 在两轴上有截距，因此直线不与 x、y 轴垂直，斜率存在，且 k0.设直线方程为 y2k(x3)，令 x0，则 y3k2；令 y0，则 x3 .2k由题设可得3k23 ，解得 k1 或 k .2k 23故 l 的方程为 y2(x3)或 y2 (x3)23即直线 l 的方程为 xy5 0 或 2x3y0.解法 2：(利用截距式求解)由题设，设直线 l 在 x、y
9、轴的截距均为 a.若 a0，则 l 过点 (0，0)又过点(3，2) ，l 的方程为 y x，即 l：2x3y0.23若 a0，则设 l 为 1.xa ya由 l 过点(3，2)，知 1，故 a5.3a 2al 的方程为 xy50.综上可知，直线 l 的方程为 2x3y0 或 xy50.题型 2 直线方程的形式例 3 求经过点 A(2，2) 且在第二象限与两个坐标轴围成的三角形面积最小时的直线的方程解：(解法 1)设所求直线方程为 1(a0)，xa yb 1， a .又 a2.S ab (b2) 2a 2b 2b2 b 12 b2 2b2 b b2b 2 42 48. 当且仅当 b2 ，即 b
10、4 时 S 最4b 2 （b 2） 4b 2 （b 2） 4b 2 4b 2小此时 a 4，b4，故 xy40 为所求直线方程(解法 2)设所求直线方程为 y2k(x2) ，显然 k0，由题意，S |2k2| 12 | 2k 2|42(k ) 8.当且仅当 k1 时取等号，1k故 xy40 为所求直线方程备 选 变 式 （教 师 专 享 ）直线 l 过点 M(2，1)，且分别交 x 轴、y 轴的正半轴于点 A、B. 点 O 是坐标原点(1) 当ABO 的面积最小时，求直线 l 的方程；(2) 当 最小时，求直线 l 的方程|MA|MB|解：(1) 如图，设 a， b，ABO 的面积为 S，则
11、S ab，并且直线 l 的截|OA| |OB|12距式方程是 1，xa yb由直线通过点(2，1)，得 1，2a 1b所以 .a2 11 1b bb 1因为 A 点和 B 点在 x 轴、y 轴的正半轴上，所以上式右端的分母 b10.由此得S b b b1a2 bb 1 b2 1 1b 1 1b 1b1 2224.1b 1当且仅当 b1 ，即 b2 时，面积 S 取最小值 4，这时 a4，直线的方程为 1b 1 x41.y2即直线 l 的方程为 x2y4 0.(2) 如上图，设BAO ，则 ， ，|MA|1sin |MB| 2cos所以 ，|MA|MB|1sin 2cos 4sin2当 45时，
12、 有最小值 4，此时直线斜率为1，直线 l 的方程为|MA|MB|xy30.题型 3 待定系数法求直线方程例 4 过点 M(0，1)作一条直线，使它被两条直线l1：x3y100，l 2：2xy80 所截得的线段恰好被 M 点平分求此直线方程解：(解法 1)由于过点 M(0，1) 且与 x 轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为 ykx1，与已知两条直线 l1、l 2 分别交于 A、B 两点，联立方程组 xA ， xB .y kx 1，x 3y 10 0) 73k 1 y kx 1，2x y 8 0) 7k 2 点 M 平分线段 AB， x Ax B2x M，即有 0，解得 k .73k
13、 1 7k 2 14故所求的直线方程为 x4y40.(解法 2)设所求的直线与已知两条直线 l1、l 2 分别交于 A、B 两点， 点 B 在直线l2：2xy80 上， 设 B(t，82t)，由于 M(0，1)是线段 AB 的中点， 根据中点坐标公式得 A( t，2t6)，而 A 点在直线 l1：x3y100 上， (t)3(2t6)100，解之得 t4， B(4，0) 故所求直线方程为 x4y40.备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知直线 l： x y43m0.(2 m) (1 2m)(1) 求证：不论 m 为何实数，直线 l 恒过一定点 M；(2) 过定点 M 作一条直线 l1，使夹在
14、两坐标轴之间的线段被 M 点平分，求直线 l1 的方程(1) 证明：m 2xy40，(x 2y 3)由题意得 x 2y 3 0，2x y 4 0，)直线 l 恒过定点 M .( 1， 2)(2) 解：设所求直线 l1 的方程为 y2k(x1) ，直线 l1 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，则 A ， B(0，k2) (2k 1，0)AB 的中点为 M， 解得 k2. 2 2k 1， 4 k 2，)所求直线 l1 的方程为 2x y40.1. 已知直线的点斜式方程为 y1 (x2) ，则该直线另外三种特殊形式的方程为34_，_，_答案：y x 134 52 y 132 x 2 2 x103
15、 y52解析：将 y1 (x2)移项、展开括号后合并，即得斜截式方程 y x .34 34 52因为点(2，1) 、 均满足方程 y1 (x2) ，故它们为直线上的两点由两点式(0，52) 34方程得 ，即 .y 152 1 x 20 2y 132 x 2 2由 y x 知，直线在 y 轴上的截距 b ，又令 y0，得 x .故直线的截距式34 52 52 103方程为 1.x103y522. 将直线 y3x 绕原点逆时针旋转 90，再向右平移 1 个单位，所得到的直线方程为_答案：y x13 13解析：将直线 y3x 绕原点逆时针旋转 90得到直线 y x，再向右平移 1 个单位，13所得到
16、的直线方程为 y (x1) ，即 y x .13 13 133. 直线 l 经过点 P(5，4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为 5，则直线 l 的方程为_答案：8x5y200 或 2x5y100解析：设所求直线 l 的方程为 1，xa yb 直线 l 过点 P(5，4)， 1， 5a 4b即 4a5bab. 又由已知有 |a|b|5，12即|ab| 10，解方程组 4a 5b ab，|ab| 10， )得 或a 52，b 4 ) a 5，b 2.)故所求直线 l 的方程为 1 或 1.即 8x5y200 或 2x5y100.x 52 y4 x5 y 24. 若点 P(1，1)为圆(x 3)
17、2y 29 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线的方程为_答案：2xy10解析：由题意得， kMN1，所以 kMN2，故弦 MN 所在直线的方程为1 01 3y12(x 1)，即 2xy10.5. 已知ABC 中，A(1，4)，B(6，6)，C(2，0) 求：(1) ABC 中平行于 BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2) BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程解：(1) 平行于 BC 边的中位线就是 AB、AC 中点的连线因为线段 AB、AC 中点坐标分别为 ， ，所以这条直线的方程为 ，整理得一般式方程为(72，1) ( 12， 2) y 21 2x 1
18、272 126x8y130，截距式方程为 1.x136y138(2) 因为 BC 边上的中点为 (2，3)，所以 BC 边上的中线所在直线的方程为 ，即一般式方程为 7xy110，截距式方程为 1.y 43 4 x 12 1 x117 y116. 设直线 l 的方程为(a1)xy2a0(aR )(1) 若 l 在两坐标轴上截距相等，求 l 的方程；(2) 若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围解：(1) 当直线过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距均为零， a2，即方程为 3xy0 符合题意当直线不过原点时，由截距存在且均不为 0， a2，即 a11，a 2a 1 a0，即方程为
19、 xy20.(2) (解法 1)将 l 的方程化为 y(a1)xa2， 或 （a 1）0，a 2 0 ) （a 1） 0，a 2 0. ) a1.综上可知 a 的取值范围是 a1.(解法 2)将 l 的方程化为 (xy 2)a(x1) 0(aR )它表示过 l1：xy20 与l2：x10 交点(1，3)的直线系 (不包括 x1)由图象可知 l 的斜率(a1)0，即a1 时，直线 l 不经过第二象限1. 直线 xa 2ya 0(a0，a 是常数) ，当此直线在 x、y 轴上的截距和最小时，a_答案：1解析：方程可化为 1，因为 a0，所以截距之和 ta 2，当且仅当 a ，xa y1a 1a 1
20、a即 a1 时取等号2. 已知直线 l1 的方向向量为 a(1 ，3)，直线 l2 的方向向量为 b( 1，k)，若直线 l2经过点(0 ，5) 且 l1l 2，则直线 l2 的方程为_答案：x3y150解析： kl 13，kl 2k，l 1l 2， k ，l 2 的方程为 y x5，即 x3y150.13 133. 当过点 P(1，2)的直线 l 被圆 C：(x2) 2(y1) 25 截得的弦最短时，直线 l 的方程为_答案：xy10解析：易知圆心 C 的坐标为(2，1)，由圆的几何性质可知，当圆心 C 与点 P 的连线与直线 l 垂直时，直线 l 被圆 C 截得的弦最短由 C(2，1)，
21、P(1，2) 可知直线 PC 的斜率为1，设直线 l 的斜率为 k，则 k(1)1，得 k1，又直线 l 过点 P，所以直线2 11 2l 的方程为 xy10.4. 不论 m 取何值，直线(m1)x y2m10 恒过定点_答案：(2，3)解析：把直线方程(m1)x y2m10，整理得(x2)m(x y1)0，则 得x 2 0，x y 1 0，) x 2，y 3. )5. 已知两点 A(1，2) 、B(m，3) (1) 求直线 AB 的方程；(2) 已知实数 m ，求直线 AB 的倾斜角 的取值范围 33 1， 3 1解：(1) 当 m1 时，直线 AB 的方程为 x1，当 m1 时，直线 AB
22、 的方程为 y2 (x1)1m 1(2) 当 m1 时， ；2当 m1 时，m1 (0， ， 33，0) 3k (， ，1m 1 3 33， ) .6，2) (2，23综合，直线 AB 的倾斜角 .6 ，236. 已知直线 l：kxy12k 0.(1) 求证：直线 l 过定点；(2) 若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 正半轴于点 B，AOB 的面积为 S，试求 S的最小值并求出此时直线 l 的方程(1) 证明：由已知得 k(x2)(1y) 0，无论 k 取何值，直线过定点(2，1) (2) 解：令 y0 得 A 点坐标为 ，( 2 1k，0)令 x0 得 B 点坐标为(0，2k1)
23、(k0)，S AOB |2k1|12| 2 1k| (2k1)12(2 1k) 12(4k 1k 4) (44) 4.12当且仅当 4k ，即 k 时取等号1k 12即AOB 的面积的最小值为 4，此时直线 l 的方程为 xy110，即12x2y40.1. 求直线方程的方法主要有以下两种：(1) 直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2) 待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程2. 解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值请 使 用 课 时 训 练 （A）第 2课 时 （见 活 页 ）.备课札记
