1、第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第 4 课时 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式(对应学生用书(文) 、(理)4748 页)考情分析 考点新知掌握两角和与差的三角函数公式，能运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程. 能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、两角和与差的正切公式，体会化归思想的应用.1. (必修 4P98 第 1 题改编)sin75cos30sin15sin150 _答案：22解析：sin75cos30sin15sin150 sin75cos30 cos75 sin
2、30sin(7530)sin45 .222. (必修 4P104 习题 5 改编)已知 tan ，tan ，则 tan()( 6) 37 ( 6 ) 25_答案：1解析：tan()tan( )( ) 1.6 6tan( 6) tan(6 )1 tan( 6)tan(6 )37 251 37253. (必修 4P94 习题 2(1)改编)若 sin ， ，则35 ( 2， 2)cos _ ( 54)答案：210解析：由 ，sin ，得 cos ，由两角和与差的余弦公式得 cos( 2，2) 35 45coscos sinsin (cossin ) .( 54) 54 54 22 2104. (必
3、修 4P99 第 10 题改编)计算：_2cos10 sin20cos20答案： 3解析：原式2cos（30 20） sin20cos202（cos30cos20 sin30sin20） sin20cos20 .2( 32cos20 12sin20) sin20cos20 35. (必修 4P115 第 6 题改编)计算：_sin7 cos15sin8cos7 sin15sin8答案：2 3解析：sin7sin(158 )sin15cos8cos15sin8，cos7cos(15 8) cos15cos8sin15 sin8， 原式tan15tan(4530) 2 .1 tan301 tan3
4、0 31. 两角差的余弦公式推导过程2. 公式之间的关系及导出过程3. 公式cos()cos( )coscossinsincos()cos( )coscossinsinsin()sin()sincoscossinsin()sin()sincoscossintan()tan() tan tan1 tantantan()tan() tan tan1 tantan4. asinbcos sin()，其中a2 b2cos ，sin ，tan . 的终边所在象限由 a、b 的符号来确定.aa2 b2 ba2 b2 ba题型 1 化简求值例 1 化简：tan(18x)tan(12 x) tan(18x)t
5、an(12x)_3答案：1解析： tan(18x)(12x) tan30 ，tan（18 x） tan（12 x）1 tan（18 x）tan（12 x） 33 tan(18x)tan(12x) 1tan(18x)tan(12x) ，于是原式33tan(18 x)tan(12 x) 1tan(18 x)tan(12 x) 1.333变 式 训 练求值：tan20tan40 tan20tan40.3解： tan60tan(20 40) ，tan20 tan401 tan20tan40 3 tan20tan40 tan20tan40，3 3 tan20tan40 tan20tan40 .3 3题型
6、 2 给值求角例 2 若 sin ，sin ，且 、 为锐角，则 的值为_55 1010答案：4解析：(解法 1)依题意有 cos ，cos ，1 ( 55)2 255 1 ( 1010)2 31010 cos() 0.255 31010 55 1010 22 、 都是锐角， 0， .4(解法 2) 、 都是锐角，且 sin ，sin ， 55 22 1010 220 ， ， 0 ， 4 2cos ，cos ，sin()1 ( 55)2 255 1 ( 1010)2 31010 . .55 31010 1010 255 22 4备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知 cos ，cos( )
7、，且 0 ，求 .17 1314 2解： 0 ， 0 .又 cos() ，2 2 1314 sin() ，1 cos2（ ）3314 coscos()coscos()sin sin( ) .又17 1314 437 3314 120 ， .2 3题型 3 给值求值例 3 已知 0 ，cos ，sin( ) ，求 sin()的值 4 34 ( 4 ) 35 34 513解： ， ，4 34 34 4 0.2 4又 cos ， sin .(4 ) 35 (4 ) 45 0 ， .4 34 34又 sin ， cos .(34 ) 513 (34 ) 1213 sin()cos cos( )( )2
8、 （ ） 34 4cos cos sin( )sin .(34 ) (4 ) 34 (4 ) ( 1213) 35 513 ( 45) 3665 2065 5665备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知 、 ，sin ，tan() ，求 cos 的值(0， 2) 45 13解： 、 ， .(0，2) 2 2又 tan() 0， 0.13 2 1tan 2() .1cos2（ ） 109 cos() ，sin( ) .31010 1010又 sin ， cos .45 35 coscos ()cos cos( )sinsin() 35 31010 45 ( 1010).1010例 4 (201
9、3常州期末)已知 、 均为锐角，且 sin ，tan( ) .35 13(1) 求 sin()的值；(2) 求 cos 的值解：(1) 、 ， .又 tan() 0， (0，2) 2 2 13 0.2 sin() .1010(2) 由(1)可得，cos( ) .31010 为锐角，sin ， cos .35 45 coscos()coscos() sinsin() .45 31010 35 ( 1010) 91050备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知 cos ，cos() ，且 、 ，求 cos()的值13 13 (0， 2)解： ， 2(0 ，)(0，2) cos ， cos 22co
10、s 21 ， sin 2 ，而13 79 1 cos22 429、 ， (0 ，) ，(0，2) sin() ， cos( )cos2() cos 2cos( )1 cos2（ ）223sin 2 sin( ) .( 79) ( 13) 429 223 23271. 已知角 的终边经过点 P(1，2) ，函数 f(x)sin(x)( 0) 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，则 f _ 3 (12)答案：1010解析：由题意知 cos ，sin .由相邻两条对称轴间距离为 ，得 ，即55 255 3 T2 3T ， ，3.23 2 23 f(x)sin(3x)f sin sin coscos
11、sin .(12) (4 ) 4 4 22 55 22 ( 255) 10102. 函数 f(x)sin2xsin cos2x cos 在 上的单调递增区间为 6 56 2， 2_答案： 512，12解析：f(x) sin2xsin cos2xcos sin2xsin cos2xcos cos(2x )当6 56 6 6 62k2x 2k(k Z)，即 k xk (kZ)时，函数 f(x)单调递6 512 12增取 k0 得 x ， 函数 f(x)在 上的单调增区间为 .512 12 2，2 512，123. 已知 sin sin ， 0，则 cos_( 3) 435 2答案：33 410解析
12、：由 sin sin ，得( 3) 435sincos cossin sin ，3 3 435 sin cos ，32 12 45 sin . 0，( 6) 45 2 ， cos .3 6 6 ( 6) 35 coscos ( 6) 6cos cos sin sin( 6) 6 ( 6) 6 .35 32 ( 45) 12 33 4104. (2013贵州)设 为第二象限角，若 tan ，则 sincos_( 4) 12答案：105解析：由 tan ，得 tan .因为 为第二象限角，利用 tan( 4) 1 tan1 tan 12 13，sin 2cos 21 可求得 sin ，cos ，所
13、以 sincos .sincos 1010 31010 1051. 已知 、 均为锐角，且 tan ，则 tan()_cos sincos sin答案：1解析：tan ，cos sincos sintan tan .1 tan1 tan (4 )又、 均为锐角， ，即 ，4 4tan()tan 1.42. 已知 cos sin ，则 sin 的值为_( 6) 453 ( 76)答案：45解析：cos sin cos sin ，( 6) 32 32 453 cos sin ，12 32 45sin sin( 76) ( 6) .(32sin 12cos) 453. 如图，在平面直角坐标系 xOy
14、 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 、 ，它们的终边分别与单位圆相交于 A、B 两点已知 A、B 的横坐标分别为 、 .求：210 255(1) tan()的值；(2) 2 的值解：(1) 由已知条件及三角函数的定义可知 cos ，cos .因 为锐角，故210 255sin0 ，从而 sin ，同理可得 sin .因此 tan7，tan .1 cos27210 55 12所以 tan() 3.tan tan1 tantan7 121 712(2) tan(2)tan() 1. 3 121 （ 3） 12又 0 ，0 ，故 0 2 .2 2 32从而由 tan(2) 1，得 2 .344. 已
15、知函数 f(x)sin cos ，xR.(x 74 ) (x 34 )(1) 求 f(x)的最小正周期和最小值；(2) 已知 cos() ，cos() ，0 ，求证：f() 220.45 45 2(1) 解： f(x)sinxcos cosxsin cosxcos sinxsin sinx cosx2sin74 74 34 34 2 2，所以 T2，f(x) min2.(x 4)(2) 证明：cos() coscos sin sin ，45cos()coscossinsin .45，得 coscos0，于是由 0 cos 0 .2 2故 f() f()220.21. (1) 三角函数式的化简要
16、遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征(2) 对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： 化为特殊角的三角函数值； 化为正、负相消的项，消去求值； 化分子、分母出现公约数进行约分求值2. 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示(1) 已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和与差；(2) 已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或 “互余互补”关系3. 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则： 已知正切函数值，选正切函数； 已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，) ，选余弦较好；若角的范围为 ，(0， 2) ( 2， 2)选正弦较好请 使 用 课 时 训 练 （A）第 4课 时 （见 活 页 ）.备课札记
