1、第二章 函数与导数第 1 课时 函数及其表示 (对应学生用书(文)、( 理)78 页)考情分析 考点新知 本节是函数部分的起始部分，以考查函数概念、三要素及表示法为主，同时考查学生在实际问题中的建模能力. 本节内容曾以多种题型出现在高考试题中，要求相对较低，但很重要，特别是函数的解析式仍会是 2015 年高考的重要题型 理解函数的概念，了解构成函数的要素. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 了解简单的分段函数，并能简单应用1. (必修 1P24 练习 5 改编) 若 f(x)xx 2，则 f _，f(n 1)f(n)(12)_答案： 2n142
2、. (必修 1P29 习题 8 改编)若函数 f(x)和 g(x)分别由下表给出：x 1 2 3 4 x 1 2 3 4f(x) 2 3 4 1 g(x) 2 1 4 3则 f(g(1)_，满足 g(f(x)1 的 x 值是_答案：3 1解析：f(g(1)f(2)3；由 g(f(x)1，知 f(x)2，所以 x1.3. (必修 1P31 练习 4)下列图象表示函数关系 yf(x)的有_(填序号)答案：解析：根据函数定义，定义域内任意的一个自变量 x 的值都有唯一一个 y 与之对应4. (必修 1P31 练习 3 改编) 用长为 30cm 的铁丝围成矩形，若将矩形面积 S(cm2)表示为矩形一边
3、长 x(cm)的函数，则函数解析式为_ ，其函数定义域为_. 答案：Sx(15x) x(0，15)解析：矩形的另一条边长为 15x，且 x0，15x0.5. (必修 1P32 习题 7 改编)已知函数 f(x) 若 f(a)a ，则实数1 12x， x 0，1x， x1)2t 1 2x 1(3) 由 2f(x)f 2x，(1x)将 x 换成 ，则 换成 x，得1x 1x2f f ， (1x) (x) 2x2，得 3f(x)4x ，得2xf(x) x .43 23x(4) f(x)是二次函数， 设 f(x)ax 2bxc(a0) 由 f(0)1，得 c1.由 f(x1) f(x)2x，得a(x1
4、) 2b(x1)1(ax 2bx1) 2x，整理，得(2a 2)x(ab)0，由恒等式原理，知 2a 2 0，a b 0) a 1，b 1，) f(x)x 2 x1.变 式 训 练求下列函数 f(x)的解析式(1) 已知 f(1x)2x 2x1，求 f(x)；(2) 已知 f x 2 ，求 f(x)；(x 1x) 1x2(3) 已知一次函数 f(x)满足 f(f(x)4x1，求 f(x)；(4) 定义在(1 ，1)内的函数 f(x)满足 2f(x)f( x)lg(x1)，求 f(x)解：(1) (换元法 )设 t1x，则 x1t ， f(t) 2(1t) 2(1t) 12t 23t 2， f(
5、x) 2x23x 2.(2) (配凑法 ) f x 2 22，(x 1x) 1x2 (x 1x) f(x) x22.(3) (待定系数法) f(x)是一次函数， 设 f(x)axb(a0)，则f(f(x)f(ax b)a(axb)ba 2xabb. f(f(x)4x 1， 解得 或a2 4，ab b 1，) a 2，b 13) a 2，b 1，) f(x)2x 或 f(x)2x 1.13(4) (消去法 )当 x(1，1)时，有2f(x)f(x) lg(x1)，以x 代替 x 得 2f(x)f(x)lg(x1) ，由消去 f(x)得，f(x) lg(x1) lg(1x) ，x( 1，1)23
6、13题型 3 分段函数例 3 已知实数 a0，函数 f(x) 2x a， x0 时，1a1，所以 2(1a)a (1 a) 2a，解得 a ，不合，舍去；32当 a1，1a0， )答案：0解析：f(0) 3 01，f(f(0) f(1)log 210.2. (2013南通一模)定义在 R 上的函数 f(x)，对任意 xR 都有 f(x2)f(x)，当x( 2 ，0) 时， f(x)4 x，则 f(2 013)_答案：14解析：由已知，f(x)是以 2 为周期的周期函数，故 f(2 013)f( 1)4 1 .143. (2013连云港期末)已知函数 f(x) 则使 f(f(x)2 成立的实数
7、x2， x 0， 1，x， x 0， 1， )的集合为_答案：x|0x1 或 x2解析：当 x0，1时，f(f(x)f(2) 2 成立；当 x 0， 1时，f(f(x)f(x)x，要使f(f(x)2 成立，只需 x2.综上，实数 x 的集合为x|0x1 或 x24. (2013苏南四市一模 )已知函数 f(x) ，则 f fxx 1 x 1x 2 x 2x 3 x 3x 4 ( 52 2)_ ( 52 2)答案：8解析：因为 f(x) 4 .xx 1 x 1x 2 x 2x 3 x 3x 4 ( 1x 1 1x 2 1x 3 1x 4)设 g(x) ，1x 1 1x 2 1x 3 1x 4则
8、g(5x) ，(1x 4 1x 3 1x 2 1x 1)所以 g(x)g( 5x)0，从而 f(x)f(5x)8，故 f f 8.( 52 2) ( 52 2)1. 已知函数 f(x)alog 2xblog 3x2，若 f 4，则 f(2 014)的值为_(12 014)答案：0解析： f alog 2 blog 3 2(12 014) 12 014 12 014(alog 22 014 blog32 014)24， f(2 014) alog 22 014blog 32 0142(2) 20.2. 已知函数 f(x) 则满足不等式 f(f(x)1 的 x 的取值范围是log2x， x0，2x
9、， x 0， )_答案：(4，)解析：当 x0 时，2 x(0，1，f(f(x)log 22xx1，不符合；当 01，不符合；当 x1 时，log 2x0，f(f(x)log 2(log2x)1，解得x4.3. 集合 Mf(x)| 存在实数 t 使得函数 f(x)满足 f(t1)f(t) f(1)，则下列函数(a、b、 c、k 都是常数)： ykxb(k0，b0)； yax 2bxc(a 0) ； ya x(0a1)； y (k 0)； ysinx.kx其中属于集合 M 的函数是_(填序号)答案：解析：对于，由 k(t1) bktbkb，得 b0，矛盾，不符合；对于，由a(t 1)2b(t1)
10、cat 2bt cabc，得 t ，符合题意；对于，由c2aat1 a ta 1，所以 at ，由于 0a1，a t 0，无解；对于，由 k，无aa 1 aa 1 kt 1 kt解；对于，由 sin(t1)sint sin1 ，取 t2k，kZ ，符合题意综上，属于集合 M的函数是.4. 已知 f(x)为二次函数，不等式 f(x)20 的解集是 ，且对任意 、R(1， 13)恒有 f(sin)0 ，f(2cos) 0，求函数 f(x)的解析式解：设 f(x)a(x1) 2(a0)，(x 13) 函数 f(x)对任意 、 R 恒有 f(sin)0，f(2cos)0，取sin1 ，cos1，则 f
11、(1)0 与 f(1)0 同时成立， f(1) 0， a ， f(x) x2x .32 32 521. 函数是特殊的映射，其特殊性在于集合 A 与 B 只能是非空数集，即函数是非空数集 A 到非空数集 B 的映射；而映射不一定是函数从 A 到 B 的一个映射，A、B 若不是数集，则这个映射不是函数2. 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量是否具有函数关系，只需要检验： 定义域和对应法则是否给出； 根据给出的对应法则，自变量在定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值3. 函数解析式的求解方法通常有：配凑法，换元法，待定系数法及消去法用换元法求解时要特别注意新元的范围，即所求函数的定义域；而消去法体现的方程思想，即根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)请 使 用 课 时 训 练 （B）第 1课 时 （见 活 页 ）.备课札记
