1、第二章 函数与导数第 12 课时 导数在研究函数中的应用(对应学生用书( 文)、(理)30 32页)考情分析 考点新知 导数与函数内容的结合命题已成为近几年高考的流行趋势，应引起足够的重视. 以导数为研究函数的重要工具来解决函数的单调性与最值问题是高考的热点，同时解答题侧重于导数的综合应用，即导数与函数、数列、不等式的综合应用 理解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性. 掌握利用导数求函数极值与最值的方法. 会利用导数解决某些实际问题., 1. (选修 22P28 例 1 改编)函数 f(x)x 315x 233x6 的单调减区间为_答案：(1，11)解析：f(x) 3x 23
2、0x333(x11)(x1) ，由(x11)(x1)0；当 100，那么函数 yf(x)为该区间上的增函数；如果 f(x)0 即 3x230 ，解得 x1 或 x0，得 01，令 f(x)0，mxN)(2) 当 m1 280 时，y1 280 1 536，(x 256x)y1 280 ，令 y0，得 x64，(12x 256x2)当 064 时，y0.所以当 x64 时，y 有最小值 16 896，此时要建 21 个桥墩答：需要建 21 个桥墩才能使 y 最小【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分 14 分)已知函数 f(x) lnxax(aR)(1) 求函数 f(x)的单调区间；(2) 当
3、a0 时，求函数 f(x)在1，2 上的最小值审题引导： 知函数解析式求单调区间，实质是求 f(x)0，f(x)0)(1 分)1x 当 a0 时，f (x) a0，即函数 f(x)的单调增区间是(0，)(3 分)1x 当 a0 时，令 f(x) a0，得 x ，当 00，当 x 时，1x 1a 1a 1 axx 1af(x) x ，令 f(x)x ，所以 f(x)12 x ln20，所12x 12x以 f(x)在 (0，)上单调递增，所以 f(x)f(0)01 1，所以 a 的取值范围是(1， ) 2. (2013大纲)若函数 f(x)x 2ax 在 上是增函数，则 a 的取值范围是1x (1
4、2， )_答案：a3解析：f(x) 2xa 0 在 上恒成立，即 a 2x 在 上恒成1x2 (12， ) 1x2 (12， )立令 g(x) 2x，求导可得 g(x)在 上的最大值为 3，所以 a3.1x2 (12， )3. (2013扬州期末)已知函数 f(x)lnx (mR )在区间1，e 上取得最小值 4，则mxm_答案：3e解析：f(x) ，令 f(x)0，则 xm ，且当 xm 时，f(x)0，f(x) 单调递增若m1，即 m1 时，f(x) minf(1)m1，不可能等于 4；若 1e，即 m0.(x1 x22 )(1) 解：f(x)2x(a2) (x0)ax 2x2 （a 2）
5、x ax （2x a）（x 1）x当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)在(0 ，)上单调递增，所以函数 f(x)的单调增区间为(0，)当 a0 时，由 f(x)0，得 x ；由 f(x)0，且 f(x)的最小值 f 0，所以 a4ln 40.a2令 h(a)a4ln 4，显然 h(a)在(0 ，)上为增函数，且 h(2)20，32 8116所以存在 a0(2，3)，h(a 0)0.当 aa0 时，h(a)0；当 00，f(1)0，所以 a3 时， f(x)有两个零点综上所述，满足条件的最小正整数 a 的值为 3.(3) 证明：因为 x1、x 2 是方程 f(x)c 的两个不等实根，由(1)
6、 知 a0.不妨设 00，(a2) (0，a2) (a2， )故只要证 即可，x1 x22 a2即证明 x1x 2 ，即证明 x x (x 1x 2)(lnx1lnx 2)0，所以 g(t)0，当且仅当 t1 时，g(t)0，所以 g(t)在(0 ，)上是增函数又 g(1)0，所以当 t(0 ，1) ，g(t)0)，由 l2a ，1a 2a2 1a 2(a 22)(a 22)a令 l0，得 la 2lna 在 上单调递增；(22， )令 l0；(2) 若 f(x)在 1，1 上是单调函数，求 a 的取值范围；(3) 当 a0 时，求整数 k 的所有值，使方程 f(x)x2 在k，k1 上有解解
7、：(1) 因为 ex0，所以不等式 f(x)0 即为 ax2x0.又 a0 的解集为 .(x 1a) (0， 1a)(2) f(x)(2ax 1)e x(ax 2x)e xax 2 (2a1)x1e x， 当 a0 时，f(x)(x 1)e x，f (x)0 在1，1 上恒成立，当且仅当 x1 时取等号，故 a 0 符合要求； 当 a0 时，令 g(x)ax 2(2a1)x 1，因为 (2a1) 24a 4a 210，所以g(x)0 有两个不相等的实数根 x1、x 2，不妨设 x1x2，因此 f(x)有极大值又有极小值若a0，因为 g( 1)g(0)a0x2，因为 g(x)的图象开口向下，要使
8、 f(x)在1，1上单调，因为g(0)10，必须满足 即 所以 a 0.综上可知，a 的取值范g（1） 0，g（ 1） 0.) 3a 2 0， a 0. ) 23围是 . 23，0(3) 当 a0 时， 方程即为 xexx2，由于 ex0，所以 x0 不是方程的解，所以原方程等价于 ex 10.2x令 h(x)e x 1，因为 h(x)e x 0 对于 x( ，0)(0 ，)恒成立，所以2x 2x2h(x)在( ，0)和(0，)内是单调增函数，又 h(1)e30，h( 3)e 3 0，所以方程 f(x)x2 有且只有两个实数根，且分别在区间131，2和 3， 2上，所以整数 k 的所有值为3，
9、11. 在已知函数 f(x)是增函数(或减函数) ，求参数的取值范围时，应令 f(x)0(或 f(x)0)恒成立，解出参数的取值范围( 一般可用不等式恒成立的理论求解 )，然后检验参数的取值能否使 f(x)恒等于 0，若能恒等于 0，则参数的这个值应舍去；若 f(x)不恒为 0，则参数范围确定2. 理解可导函数极值与最值的区别，极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点的函数值3. 用导数求解实际问题中的最大(小) 值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点请使用课时训练(A) 第 12 课时( 见活页)备课札记
