1、第八章 立体几何初步第 6 课时 空间向量在立体几何中的应用(对应学生用书( 理)113115 页)考情分析 考点新知理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系体会向量方法在研究几何问题中的作用能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系；能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.1. (选修 21P97 习题 14 改编)若向量 a(1，2)，b(2，1，2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为 ，则89_答案：2 或255解析：由已知得 ，89 ab|a|b| 2 45 2 9 8 3(6) ，解得 2 或
2、 .5 22552. (选修 21P89 练习 3)已知空间四边形 OABC，点 M、N 分别是 OA、BC 的中点，且 a, b, OA OB c，用 a， b，c 表示向量 _OC MN 答案： (bca)12解析：如图， ( ) ( )( ) ( 2 ) ( MN 12 MB MC 12 OB OM OC OM 12 OB OC OM 12 ) (bc a)OB OC OA 123. (选修 21P101 练习 2 改编)已知 l ，且 l 的方向向量为(2，m，1)，平面 的法向量为 ，(1， 12， 2)则 m_.答案：8解析：(2，m，1) 0，得 m8.(1，12，2)4. (选
3、修 21P86 练习 3 改编)已知 a(2 ，1，3)，b( 1，4，2) ，c(7，5，)，若 a、b、c 三个向量共面，则实数 等于_答案：657解析：由于 a、b、c 三个向量共面，所以存在实数 m、n 使得 cmanb，即有(7，5，) m(2， 1，3) n(1，4， 2)，即(7，5，) (2mn ，m 4n，3m2n)， 解得7 2m n，5 m 4n， 3m 2n，)m ，n ， .337 177 6575. (选修 21P110 例 4 改编)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平面 A1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为_答案
4、：23解析：以 A 为原点建立平面直角坐标系，设棱长为 1，则 A1(0，0，1)，E ，D(0，1，0)，(1，0，12) (0 ，1 ，1)，A1D ，A1E (1，0， 12)设平面 A1ED 的法向量为 n1(1 ，y，z)，则 y z 0，1 12z 0，) y 2，z 2.) n 1(1 ，2， 2) 平面 ABCD 的一个法向量为 n2(0，0，1)，cosn 1，n 2 .231 23即所成的锐二面角的余弦值为 .231. 直线的方向向量与平面的法向量(1) 直线 l 上的向量 e 以及与 e 共线的向量叫做直线 l 的方向向量(2) 如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂
5、直于平面 ，那么称向量 n 垂直于平面 ，记作n.此时把向量 n 叫做平面 的法向量2. 线面关系的判定直线 l1 的方向向量为 e1(a 1， b1，c 1)，直线 l2 的方向向量为 e2(a 2，b 2，c 2)，平面 的法向量为n1(x 1，y 1，z 1)，平面 的法向量为 n2(x 2，y 2，z 2)(1) 如果 l1l 2，那么 e1e 2 e2 e1 a2a 1，b 2b 1，c 2c 1(2) 如果 l1l 2，那么 e1e 2 e1e20 a1a2b 1b2c 1c20(3) 若 l1，则 e1n 1 e1n10 a1x1b 1y1c 1z10(4) 若 l1，则 e1n
6、 1 e1kn 1 a1kx 1，b 1ky 1，c 1kz 1(5) 若 ，则 n1n 2 n1kn 2 x1kx 2，y 1ky 2， z1kz 2(6) 若 ，则 n1n 2n1n20 x1x2y 1y2z 1z203. 利用空间向量求空间角(1) 两条异面直线所成的角范围：两条异面直线所成的角 的取值范围是 .(0， 2向量求法：设直线 a、b 的方向向量为 a、b，其夹角为 ，则有 cos|cos|.(2) 直线与平面所成的角范围：直线和平面所成的角 的取值范围是 .0， 2向量求法：设直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 u，直线与平面所成的角为 ，a 与 u 的夹角为 ，则
7、有 sin|cos| 或 cossin .(3) 二面角二面角的取值范围是0， 二面角的向量求法：() 若 AB、CD 分别是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与 CD 的夹角 (如图)() 设 n1、n 2 分别是二面角 l 的两个面 、 的法向量，则向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小( 如图) 备课札记题型 1 空间向量的基本运算例 1 如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点若 a， b，AB AD c，则 _.AA1 BM 答案： a bc12 12解析： BM
8、 BB1 B1M a bc.12(AD AB ) AA1 12 12备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知空间三点 A(2，0，2) ， B(1，1，2)，C(3，0，4)设 a ，b .AB AC (1) 求 a 和 b 的夹角 ；(2)若向量 kab 与 ka2b 互相垂直，求 k 的值解：A( 2， 0，2) ，B(1 ，1，2)，C(3，0，4) ，a ，b ，AB AC a(1，1，0)，b( 1，0，2) (1)cos ，ab|a|b| 1 0 02 5 1010a 和 b 的夹角为 arccos .( 1010)(2)kabk(1，1，0)( 1，0，2) (k1，k，2) ，
9、ka2b(k2，k，4)，且(kab) (ka2b)，(k1，k，2)(k2，k，4)(k 1)(k2)k 282k 2k100，解得 k 或 2.52题型 2 空间中的平行与垂直例 2 如图所示，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB ，AF1，M 是线2段 EF 的中点求证：(1) AM 平面 BDE；(2) AM 平面 BDF.证明：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，设 ACBDN ，连结 NE.则 N ，E(0，0，1) ，(22，22，0)A( ， ，0) ，M .2 2 (22，22，1) ， .NE ( 22， 22，1) AM ( 22， 22，1
10、) 且 NE 与 AM 不共线 NEAM.NE AM NE 平面 BDE，AM 平面 BDE， AM平面 BDE.(2) 由(1)知 ，AM ( 22， 22，1) D( ，0，0)，F( ， ，1)， (0 ， ，1)，2 2 2 DF 2 0， AMDF.同理 AMBF. AM DF 又 DFBFF ， AM平面 BDF.变 式 训 练如右图，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，G 为BC 1D 的重心，(1) 试证：A 1、 G、C 三点共线；(2) 试证：A 1C平面 BC1D；证明：(1) ，CA1 CB BA AA1 CB CD CC1 可以证明： ( ) ，CG
11、 13CB CD CC1 13CA1 ，即 A1、G、C 三点共线CG CA1 (2) 设 a， b， c，则|a|b|c| a，且 abbcca0，CB CD CC1 abc， c a，CA1 BC1 ( abc)(c a)c 2a 20，CA1 BC1 ，即 CA1BC 1，CA1 BC1 同理可证：CA 1BD，因此 A1C平面 BC1D.题型 3 空间的角的计算例 3 (2013苏锡常镇二模)如图，圆锥的高 PO4，底面半径 OB2，D 为 PO 的中点，E 为母线PB 的中点， F 为底面圆周上一点，满足 EFDE.(1) 求异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值；(2) 求二面角
12、 OOFE 的正弦值解：(1) 以 O 为原点，底面上过 O 点且垂直于 OB 的直线为 x 轴，OB 所在的线为 y 轴，OP 所在的线为 z 轴，建立空间直角坐标系，则B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2) ，E(0 ，1，2) 设 F(x0，y 0，0)(x 00，y 00)，且 x y 4，20 20则 (x 0，y 01，2)， (0，1，0) ，EF DE EFDE，即 ，则 y 010，故 y01.EF DE EF DE F( ，1，0)， ( ，0 ，2)， (0 ，2，2)3 EF 3 BD 设异面直线 EF 与 BD 所成角为 ，则 cos .|EF BD |
13、EF |BD | 4722 147(2) 设平面 ODF 的法向量为 n1(x 1，y 1，z 1)，则 即n1OD ，n1OF ，) z1 0，3x1 y1 0.)令 x11，得 y1 ，平面 ODF 的一个法向量为 n1(1， ，0)3 3设平面 DEF 的法向量为 n2(x 2，y 2，z 2)，同理可得平面 DEF 的一个法向量为 n2 .(1，0，32)设二面角 ODFE 的平面角为 ，则|cos| .|n1n2|n1|n2| 17 77 sin .427备 选 变 式 （教 师 专 享 ）(2013江苏卷)如图所示，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中，ABAC，ABAC2，A 1A
14、4，点 D 是BC 的中点(1) 求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值；(2) 求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值解：(1) 以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0) ，D(1 ，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4) ，所以 (2，0，4) ， (1，1，4)A1B C1D 因为 cos ， ，所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值A1B C1D A1B C1D |A1B |C1D | 1820 18 31010为 .31010(2) 设平面 ADC1 的法向量为
15、 n1(x，y，z) ，因为 (1 ， 1，0)， (0，2，4) ，所以 n1 0，n 1 0，即 xy0 且 y2z0，AD AC1 AD AC1 取 z1，得 x2，y2，所以，n 1(2，2，1) 是平面 ADC1 的一个法向量取平面 AA1B 的一个法向量为 n2(0，1，0) ，设平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的大小为 .由|cos| ，得 sin .n1n2|n1|n2| 29 1 23 53因此，平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值为 .531. 设 A1、A 2、A 3、A 4、A 5 是空间中给定的 5 个不同的点，则使 0 成立的点 M 的个
16、数为_MA1 MA2 MA3 MA4 MA5 答案：1 个解析：设 A1、A 2、A 3、A 4、A 5 坐标分别为(x 1，y 1，z 1)，(x 2，y 2，z 2)，(x 3，y 3，z 3)，(x 4，y 4，z 4)(x5，y 5， z5)，设 M 坐标为(x，y，z)由 0 得方程MA1 MA2 MA3 MA4 MA5 (x1x)(x 2x)(x 3x)(x 4x)(x 5x)0，(y1y)(y 2y)(y 3y)(y 4y)(y 5y)0，(z1z)(z 2z)(z 3z)(z 4z)(z 5z) 0，解得 x ，（x1 x2 x3 x4 x5）5y ，（y1 y2 y3 y4
17、y5）5z .（z1 z 2 z3 z4 z5）5故有唯一的 M 满足等式2. (2013连云港模拟 )若平面 的一个法向量为 n(4，1，1) ，直线 l 的一个方向向量为a( 2 ，3，3)，则 l 与 所成角的正弦值为_答案：41133解析：cosn， a .na|n|a| 832 22 41133又 l 与 所成角记为 ，即 sin |cosn，a| .411333. (2013新课标全国卷) 如图所示，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D、E 分别是 AB、BB 1 的中点，AA1AC CB AB.22(1) 证明：BC 1平面 A1CD；(2) 求二面角 DA1CE 的正弦值(1)
18、 证明：连结 AC1 交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1 中点又 D 是 AB 中点，连结 DF，则 BC1DF.因为 DF 平面 A1CD，BC 1平面 A1CD，所以 BC1平面 A1CD.(2) 由 ACCB AB 得 ACBC. 以 C 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空22 CA 间直角坐标系 Cxyz.设 CA2，则 D(1，1，0)，E(0，2，1)，A 1(2，0，2)， (1，1，0)， (0，2，1) ，CD CE (2，0，2)CA1 设 n(x 1，y 1， z1)是平面 A1CD 的法向量，则 即nCD 0，nCA1 0，) x1 y1 0，
19、2x1 2z1 0.)可取 n(1 ， 1，1)同理，设 m 为平面 A1CE 的法向量，则 可取 m(2，1，2)mCE 0，mCA1 0.)从而 cosn， m ，故 sinn，m .即二面角 D-A1C-E 的正弦值为 .nm|n|m| 33 63 634. (2013重庆 )如图所示，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，BCCD2，AC4，ACBACD ，F 为 PC 的中点，AFPB. 3(1) 求 PA 的长；(2) 求二面角 B-AF-D 的正弦值解：(1) 如图，连结 BD 交 AC 于 O，因为 BCCD，即BCD 为等腰三角形，又 AC 平分BCD，故 ACBD. 以
20、 O 为坐标原点， 、 、 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角OB OC AP 坐标系 Oxyz，则 OCCDcos 1，而 AC4，得 AOACOC3.又 ODCDsin ，故3 3 3A(0， 3，0) ， B( ，0，0)，C(0，1，0)，D( ，0，0) 3 3因为 PA底面 ABCD，可设 P(0，3，z) ，由 F 为 PC 边中点，得 F ，又 ，(0， 1，z2) AF (0，2，z2)( ，3， z)，因 AFPB，故 0，即 6 0，z2 (舍去2 )，所以| |2 .PB 3 AF PB z22 3 3 PA 3(2) 由(1)知 ( ，3，0)
21、 ， ( ，3，0)， (0 ，2， )设平面 FAD 的法向量为AD 3 AB 3 AF 3n1(x 1，y 1，z 1)，平面 FAB 的法向量为 n2(x 2，y 2，z 2)由 n1 0，n 1 0，AD AF 得 因此可取 n1(3， ，2) 3x1 3y1 0，2y1 3z1 0，) 3由 n2 0， n2 0，AB AF 得 故可取 n2(3， ，2)3x2 3y2 0，2y2 3z2 0，) 3从而向量 n1，n 2 的夹角的余弦值为 cosn 1，n 2 .n1n2|n1|n2| 18故二面角 B-AF-D 的正弦值为 .3785. (2013连云港调研)在三棱锥 SABC
22、中，底面是边长为 2 的正三角形，点 S 在底面 ABC 上的射影3O 恰是 AC 的中点，侧棱 SB 和底面成 45角(1) 若 D 为侧棱 SB 上一点，当 为何值时，CDAB；SDDB(2) 求二面角 S-BC-A 的余弦值大小解：以 O 点为原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，OS 为 z 轴建立空间直角坐标系 O-xyz.由题意知SBO 45， SO3.O(0，0，0)，C(0， ，0)，A(0 ， ，0) ，S(0，0，3)，B(3，0，0) 3 3(1) 设 (0 1)，则 (1) (3(1) ，0，3)，BD BS OD OB OS 所以 (3(1 )， ，3)CD 3因
23、为 (3， ，0)，CDAB，所以 9(1)30，解得 .AB 3 CD AB 23故 时， CDAB.SDDB 12(2) 平面 ACB 的法向量为 n1(0 ，0，1) ，设平面 SBC 的法向量 n2(x，y，z)，则n2 0，n 2 0，SB SC 则 解得3x 3z 0，3y 3z 0，) x z，y 3z，)取 n2(1 ， ，1)，3所以 cosn 1， n2 .30 10 1112 12 （3）21 55又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为 .551. 在直四棱柱 ABCD -A1B1C1D1 中，AA 12，底面是边长为 1 的正方形，E 、F 分别是
24、棱B1B、DA 的中点(1) 求二面角 D1 -AE- C 的大小；(2) 求证：直线 BF平面 AD1E.(1) 解：以 D 为坐标原点， DA、DC、DD 1 分别为 x、y、 z 轴建立空间直角坐标系如图则相应点的坐标分别为 D1(0，0，2)，A(1 ，0，0)，C(0，1，0) ，E(1，1，1)， (0，0，2)ED1 (1，1 ，1) (1，1，1) ，(1，1，1)(1，0，0)(0，1，1) ，AE (0，1，0)(1，0，0) (1，1，0)AC 设平面 AED1、平面 AEC 的法向量分别为 m(a，b，1)，n(c，d，1)由 ED1 m 0，AE m 0) a b 1
25、 0，b 1 0 ) a 2，b 1，)由 AC n 0，AE n 0) c d 0，d 1 0 ) c 1，d 1，)m(2，1，1)，n (1，1，1)，cos m，n 0，mn|m|n| 2 1 16 3二面角 D1 AE C 的大小为 90.(2) 证明：取 DD1 的中点 G，连结 GB、GF.E、F 分别是棱 BB1、AD 的中点，GFAD 1，BE D 1G 且 BED 1G，四边形 BED1G 为平行四边形， D 1EBG.又 D1E、D 1A 平面 AD1E，BG、GF 平面 AD1E，BG平面 AD1E，GF平面 AD1E.GF、GB 平面 BGF，平面 BGF平面 AD1
26、E.BF 平面 AD1E，直线 BF平面 AD1E.(或者：建立空间直角坐标系，用空间向量来证明直线 BF平面 AD1E，亦可)2. (2013苏州调研)三棱柱 ABCA 1B1C1 在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB2， AC 4，A 1A3.D 是 BC 的中点(1) 求直线 DB1 与平面 A1C1D 所成角的正弦值；(2) 求二面角 B1-A1D-C1 的正弦值解：(1) 由题意 ，A(0 ，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A 1(0，0，3)，B 1(2，0，3)，C1(0，4，3). (1，2，3) ， (0，4，0). A1D A1C1 设平面
27、 A1C1D 的一个法向量为 n(x，y，z) n x2y3z 0，n 4y0.A1D A1C1 x3z，y0.令 z1，得 x3.n(3，0，1) 设直线 DB1 与平面 A1C1D 所成角为 ， (1，2，3)，DB1 sin|cos n| .DB1 31 0（ 2） 1310 14 33535(2) 设平面 A1B1D 的一个法向量为 m(a，b，c) (2，0，0)， m a2b3c0，m 2a0，A1B1 A1D A1B1 a0，2b3c. 令 c2，得 b3.m(0，3，2) 设二面角 B1A1DC1 的大小为 ， |cos|cos|m，n | ，则 sin . |mn|m|m|
28、|03 30 21|13 10 265 3765 345565 二面角 B1A1DC1 的正弦值为 . 3455653. (2013南通二模)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，A 1B平面 ABC，ABAC，且ABACA 1B2.(1) 求棱 AA1 与 BC 所成的角的大小；(2) 在棱 B1C1 上确定一点 P，使二面角 PABA 1 的平面角的余弦值为 .255解：(1) 如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，则 C(2，0，0)，B(0，2，0) ，A 1(0，2，2)，B1(0，4，2)， (0，2，2) ， (2，2，0) cos ， ，AA1 BC B1C1 AA1 BC
29、 AA1 BC |AA1 |BC | 48 8 12故 AA1 与棱 BC 所成的角是 .3(2) P 为棱 B1C1 中点，设 (2，2，0)，则 P(2，42，2)B1P B1C1 设平面 PAB 的法向量为 n1 (x，y，z)， (2，42，2)，AP 则 n1AP 0，n1AB 0.)x 2y y z 0，2y 0. )z x，y 0. )故 n1(1 ，0， )，而平面 ABA1 的法向量是 n2(1，0，0) ，则 cosn 1，n 2 ，解得 ，即n1n2|n1|n2| 11 2 255 12P 为棱 B1C1 中点，其坐标为 P(1，3，2)4. (2013 广东韶关第二次调
30、研)如图甲，在平面四边形 ABCD 中，已知A 45，C 90，ADC 105，ABBD ，现将四边形 ABCD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BDC(如图乙)，设点E、F 分别为棱 AC、AD 的中点(1) 求证： DC平面 ABC；(2) 求 BF 与平面 ABC 所成角的正弦值；(3) 求二面角 BEFA 的余弦值解：(1) 平面 ABD平面 BDC，又 ABBD ， AB平面 BDC，故 ABDC，又 C 90 ， DCBC ，BC ABC 平面 ABC，DC 平面 ABC，故 DC平面 ABC.(2) 如图，以 B 为坐标原点，BD 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如下图
31、示， 设 CDa，则BDAB2a，BC a，AD2 a，可得 B(0，0，0) ，D(2a，0，0)，A(0，0，2a) ，3 2C ，F(a，0，a)，(32a，32a，0) ， (a ，0，a)CD (12a， 32a，0) BF 设 BF 与平面 ABC 所成的角为 ，由(1)知 DC平面 ABC， cos ，(2 ) CD BF |CD |BF |12a2a 2a 24 sin .24(3) 由(2)知 FE平面 ABC, 又 BE 平面 ABC，AE 平面 ABC， FEBE，FE AE ， AEB 为二面角 BEFA 的平面角 .在AEB 中，AEBE AC a，12 12AB2
32、BC2 72 cosAEB ，即所求二面角 BEFA 的余弦为 .AE2 BE2 AB22AEBE 17 171. 类比平面向量，掌握空间向量的线性运算、空间向量的数量积、空间向量的坐标运算2. 用空间向量解答立体几何问题的一般步骤：(1) 几何问题向量化：线线、线面、面面的平行、垂直、夹角等位置关系问题，利用立体几何中直线与平面有关判定定理和性质定理，将问题转化为直线的方向向量或平面的法向量之间的平行、垂直、夹角关系；(2) 进行向量运算：通常需通过建立空间直角坐标系将问题转化为空间向量的坐标运算(3) 回归几何问题如利用法向量求二面角时，要注意两平面的法向量的方向，确定求得的角是二面角还是其补角请使用课时训练(A) 第 6 课时( 见活页)备课札记
