1、第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第 6 课时 简单的三角恒等变换(对应学生用书( 文)、(理)5152 页)考情分析 考点新知灵活掌握公式间的关系，能运用它们进行三角函数式的化简、求值及恒等式证明能运用三角函数各种公式进行恒等变换以及解决综合性问题.1. (必修 4P115 复习题 7(2)改编)函数 y cos4xsin4x 的最小正周期为_3答案：2解析：y cos4xsin4x2( cos4x sin4x)2 2cos ，故 T .332 12 (cos6cos4x sin6sin4x) (4x 6) 24 22. 在ABC 中，若 cosA ，cosB ，则 cosC_.45
2、513答案：1665解析：在ABC 中，0A，0B，cosA 0，cosB 0，得 0A ，0B ，从45 513 2 2而 sinA ，sinB ，所以 cosCcos (A B)cos(AB)sinAsinBcosAcosB 35 1213 35 1213 45 .513 16653. (必修 4P113 练习 3(2)改编)已知 cos ，且 270360，则45sin _，cos _2 2答案： 1010 31010解析： 270360， 135 180. sin ； cos .2 2 1 cos2 1 452 1010 2 1 cos2 1 452 310104. (必修 4P115
3、 复习题 5 改编) 已知 sin ， 是第二象限角，且 tan() 1，则35tan2_答案：724解析：由 sin 且 是第二象限角，得 tan ，35 34 () ， tantan() 7.tan（ ） tan1 tan（ ）tan tan2 .2tan1 tan2 7245. (必修 4P115 复习题 1(1)改编)已知 sin2 ，且 ，则 sin4cos 4_55 (0， 4)答案：255解析：sin 4cos 4sin 2 cos 2cos2 .1 sin22255三角函数的最值问题(1) 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式 yasinxbcosx sin(x)，其中 c
4、os ，sin .a2 b2aa2 b2 ba2 b2 yasin 2xbsinxcosxccos 2x 可先降次，整理转化为上一种形式 y 可转化为只有分母含 sinx 或 cosx 的函数式或 sinxf(y)(cosxf(y) 的asinx bcsinx d(或 y acosx bccosx d)形式，由正、余弦函数的有界性求解(2) 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式 yasin 2xbcosxc 可转化为 cosx 的二次函数式 yasinx (a、b、c0)，令 sinxt，则转化为求 yat (1t1)的最值，一般可用基本cbsinx cbt不等式或单调性求解备课札记题型
5、1 三角形中的恒等变换例 1 已知ABC 中，内角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c，且 sin2 cos ，求角 C 的大2C2 C2 2小解：由 sin2 cos ，2C2 C2 2得 cos ，2(1 cos2C2) C2 2整理得 cos 0.C2( 2cosC2 1)因为在ABC 中，0C，所以 0 .C2 2所以 cos ，C2 22(舍 去 cosC2 0)从而 ，即 C .C2 4 2备 选 变 式 （教 师 专 享 ）在锐角ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，且 2asinB b .求角 A 的大小3解：由已知，得 2sinAsinB sinB，且
6、 B ，3 (0，2) sinB0， sinA ，且 A ， A .32 (0，2) 3题型 2 角的构造技巧与公式的灵活运用例 2 求 sin210cos 240sin10cos40的值解：(解法 1)因为 403010，于是原式sin 210cos 2(3010)sin10cos(3010) sin 210 sin10 ( cos10 sin10)(32cos10 12sin10)2 32 12(sin210cos 210) .34 34(解法 2)设 xsin 210cos 240sin10 cos40，ycos 210sin 240cos10sin40.则xy11sin10cos40c
7、os10sin402sin50 2cos40，xycos80cos20 sin50 cos40 .因此 2x ，故 x .12 12 12 32 34变 式 训 练求 sin220cos 280 sin20cos80的值3解：sin 220cos 280 sin20cos80 (1cos40)312(1cos160) sin20cos(6020)12 31 cos40 (cos120cos40sin120sin40 )12 12sin20(cos60cos20sin60 sin20)31 cos40 cos40 sin40 sin40 sin22012 14 34 34 321 cos40 (
8、1cos40 ) .34 34 14题型 3 三角函数的综合问题例 3 函数 f(x)sin sin sinxcosx(xR)( 4 x) ( 4 x) 3(1) 求 f 的值；( 6)(2) 在ABC 中，若 f 1，求 sinBsinC 的最大值(A2)解：(1) f(x)sin sin sinxcosx(4 x) (4 x) 3cos2x sin2xsin ，12 32 (2x 6)所以 f 1.(6)(2) 因为 f 1，所以 sin 1.(A2) (A 6)因为 0A，所以 A ，即 A .6 2 3sinBsinCsinB sin (23 B) sinB cosB sin .32
9、32 3 (B 6)因为 0B ，所以 B ，23 6 6 56所以 sin 1，12 (B 6)所以 sinBsinC 的最大值为 .3备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知 a(cosxsinx ，sinx)，b(cosxsinx，2cosx)，设 f(x)ab.(1) 求函数 f(x)的最小正周期；(2) 当 x 时，求函数 f(x)的最大值和最小值0， 2解：(1) f(x)ab(cosxsinx)(cosxsinx)sinx2cosxcos 2xsin 2x2sinxcosxcos2xsin2x 2(22cos2x 22sin2x) sin .2 (2x 4)f(x)的最小正周期
10、T.(2) 0x ， 2x ，2 4 4 54当 2x ，即 x 时，f(x)有最大值 ；当 2x ，即 x 时，f(x)有最小值1.4 2 8 2 4 54 21. (2013苏州期末)已知 为锐角， sin(15) ，则 cos(215) _45答案：17250解析：因为 为锐角，且 sin(15) ，所以 15(45 ，60)，23045 ( 22，32)(90 ，120)，所以 cos(230) 12sin 2(15) 12 ，从而 sin(230) (45)2 725 ，所以 cos(215) cos(2 30)45cos(230)cos45 1 cos2（2 30）2425sin(
11、2 30)sin45 .725 22 2425 22 172502. 函数 f(x)cos cos(x )的最小正周期为_(x 2) 6答案：解析： f(x) sinx( cosx sinx)32 12 sin ， T.14 12 (2x 6)3. 计算： _sin47 sin17cos30cos17答案：12解析：sin47 sin17cos30cos17sin（30 17） sin17cos30cos17sin30cos17 cos30sin17 sin17cos30cos17 sin30 .sin30cos17cos17 124. 设 、(0，)，且 sin() ，tan ，则 cos_
12、513 2 12答案：1665解析： tan ， tan ，而 (0，)， .由 tan2 122tan21 tan222121 (12)2 43 (4，2) 及 sin2cos 21 得 sin ，cos ；又 sin() ， ( ，)，sincos 43 45 35 513 22 34cos() .1213 coscos() cos()cos sin()sin .1213 35 513 45 16651. 已知函数 f(x)sin cos cos2 .x2 x2 x 12(1) 若 f() ，(0，) ，求 的值；24(2) 求函数 f(x)在 上最大值和最小值 4， 解：(1) f(x)
13、 sinx (sinxcosx) sin .由题意知：f() sin ，即12 1 cosx2 12 12 22 (x 4) 22 ( 4) 24sin .(0 ，)，即 ， ，即 .( 4) 12 4 (4，54) 4 56 712(2) ， 即 0 ，f(x) maxf ，f(x) minf() .4 4 54 (4) 22 122. 已知 0， a(2sinxcosx，2sin xcosx)，b(sinx，cos x)f(x)ab.f(x) 图象上相邻的两个对称轴的距离是 .2(1) 求 的值；(2) 求函数 f(x)在区间 上的最大值和最小值0， 2解：f(x) a b(2sinxco
14、sx)sinx(2sinxcosx)cosx2sin 2x3sinxcosxcos 2x1cos2x sin2x (1cos2x)32 12 (sin2xcos2x) sin .32 12 322 (2x 4) 12(1) 因为函数 f(x)的图象上相邻的两个对称轴间的距离是 ，所以函数 f(x)的最小正周期 T ，则21.(2) 1，f(x) sin .322 (2x 4) 12 x ， 2x ，0，2 4 4，34则当 2x ，即 x0 时， f(x)取得最小值1；4 4当 2x ，即 x 时，f(x)取得最大值 .4 2 38 32 123. 设函数 f(x) (sinxcosx) 22
15、cos 2x(0)的最小正周期为 .23(1) 求 的最小正周期；(2) 若函数 yg(x) 的图象是由 yf(x)的图象向右平移 个单位长度得到，求 yg(x) 的单调增区间2解：(1) f(x)(sinxcosx) 22cos 2xsin 2xcos 2xsin2x 1cos2xsin2xcos2x2 sin 2，2 (2x 4)依题意得 ，故 的最小正周期为 .22 23 32(2) 依题意得 g(x) sin 22 3(x 2) 4 sin 2，2 (3x 54)由 2k 3x 2k (kZ )，2 54 2得 k x k (kZ)，23 4 23 712故 yg(x)的单调增区间为
16、(kZ )23k 4，23k 7124. 设函数 f(x) sinxcosxcos 2xa.3(1) 写出函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2) 当 x 时，函数 f(x)的最大值与最小值的和为 ，求 a 的值 6， 3 32解：(1) f(x) sin2x asin a ， T.由 2k2x 2k ，得32 1 cos2x2 (2x 6) 12 2 6 32 kx x6 k.故函数 f(x)的单调递减区间是 (kZ) 23 6 k，23 k(2) x ， 2x . sin 1.当 x 时，原函数的最大值与6 3 6 6 56 12 (2x 6) 6，3最小值的和为 ，(1 a 12) ( 12 a 12) 32 a0.1. (1) 三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分(2) 三角函数化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂2. 三角恒等式的证明主要从两方面入手：(1) 看角：分析角的差异，消除差异，向结果中的角转化(2) 看函数：统一函数，向结果中的函数转化请使用课时训练(A) 第 6 课时( 见活页)备课札记
