1、卫星的变轨与追及问题 多星模型卫星的变轨问题分析1卫星变轨的动力学原因当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用) ，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运动；(1)当卫星的速度突然增加时，G m ，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做Mmr2 v2r离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由 v ，可知其运行速度比原轨道时减小GMr(2)当卫星的速度突然减小时，G m ，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将Mmr2 v2r做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v ，可知其运行速度比原轨道时增大，卫星的发
2、射和回收就是利用这一原理GMr2卫星变轨特征(1)速度：如图所示，设卫星在圆轨道和上运行时的速率分别为 v1、v 3，在轨道上过 A 点和 B 点时速率分别为 vA、v B.在 A 点加速，则 vAv 1，在 B 点加速，则 v3v B，又因 v1v 3，故有 vAv 1v 3v B(2)加速度：因为在 A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道 还是轨道上经过 A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过 B 点加速度也相同(3)周期：设卫星在、轨道上的运行周期分别为 T1、T 2、T 3，轨道半径分别为r1、r 2(半长轴)、r 3，由开普勒第三定律 k 可知 T1T 2T 3r3T2(4)机
3、械能：在一个确定的圆( 椭圆)轨道上机械能守恒若卫星在、轨道的机械能分别为 E1、E 2、E 3，则 E1E 2E 3(2016天津卷)我国在 2016 年 9 月 15 日发射了“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )A使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D
4、飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接解析：选 C 若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速，则由于飞船所受合力小于所需向心力，故飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，选项A 错误；若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速，则由于空间实验室所受合力大于所需向心力，故空间实验室将脱离原轨道而进入更低的轨道，不能实现对接，选项 B 错误；要想实现对接，可使飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的轨道，逐渐靠近空间实验室后，两者速度接近时实现对接，选项 C 正确；若飞船在比空间实验室半径小的轨
5、道上减速，则飞船将进入更低的轨道，不能实现对接，选项 D 错误(多选)“天宫一号”是中国第一个目标飞行器，随后发射的 “神舟八号”无人飞船已与它成功对接，它们的运行轨迹如图所示，假设“天宫一号”绕地球做圆周运动的轨道半径为 r，周期为 T，引力常量为 G，则以下说法正确的是( )A根据题中条件可以计算出地球的质量B根据题中条件可以计算出地球对“天宫一号”的引力大小C在近地点 P 处， “神舟八号 ”的速度比“天宫一号”大D要实现“神舟八号”与“ 天宫一号”在近地点 P 处安全对接，需在靠近 P 处制动减速解析：选 ACD 地球对“天宫一号”的万有引力提供向心力，G m ，得M地 mr2 42r
6、T2M 地 ，故选项 A 正确；由于 “天宫一号”的质量未知，故不能求出地球对 “天宫一42r3GT2号”的引力大小，选项 B 错误；在 P 点“神舟八号”的速度比“天宫一号”大，要实现安全对接( 两者的速度相等)，需对“神舟八号”制动减速，选项 C、D 正确1(2017课标)2017 年 4 月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道) 运行与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( )A周期变大 B速率变大C动能变大 D向心加速度变大解析：C 天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室对接形成的组合体仍沿天宫二号原
7、来的轨道运行，根据 G ma mr 可知，组合体运行的向心加速度、速率、Mmr2 mv2r 42T2周期不变，质量变大，则动能变大，选项 C 正确2(2018山西省实验中学月考)(多选) 我国发射的“神舟八号”飞船与先期发射的“天宫一号”空间站实现了完美对接已知“天宫一号”绕地球做圆轨道运动，轨道半径为r，周期为 T，引力常量为 G.假设沿椭圆轨道运动的“神舟八号”环绕地球的运动方向与“天宫一号”相同，远地点与“天宫一号”的圆轨道相切于某点 P，并在这点附近实现对接，如图所示则下列说法正确的是( )A根据题设条件可以计算出地球对 “天宫一号”的引力大小B根据题中条件可以计算出地球的质量C要实现
8、在远地点 P 处对接， “神舟八号”需在靠近 P 处之前点火减速D “神舟八号”的运动周期比 “天宫一号”的小解析：选 BD 根据 G mr 知，地球的质量 M ，由于“天宫一号”的质Mmr2 42T2 42r3GT2量未知，无法求出地球对“天宫一号”的引力大小，故 A 错误，B 正确要实现在远地点P 处对接， “神舟八号”需在靠近 P 处之前点火加速，使得万有引力等于向心力，故 C 错误根据开普勒第三定律 k，由于“神舟八号”轨道的半长轴小于“天宫一号”的轨道r3T2半径，则“神舟八号”的运动周期比“天宫一号”的小，故 D 正确卫星的追及问题若某中心天体有两颗轨道共面的环绕天体，当两环绕天体
9、与中心天体在同一直线上，且位于中心天体同一侧时相距最近；当两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体异侧时相距最远如两环绕天体某时刻相距最近，则：(1)若经过时间 t，两环绕天体与中心天体连线半径转过的角度相差 2 的整数倍，则两环绕天体又相距最近；(2)若经过时间 t，两环绕天体与中心天体连线半径转过的角度相差 的奇数倍，则两环绕天体相距最远假设有一载人宇宙飞船在距地面高度为 4 200 km 的赤道上空绕地球做匀速圆周运动，地球半径约为 6 400 km，地球同步卫星距地面高为 36 000 km，宇宙飞船和一地球同步卫星绕地球同向运动，每当两者相距最近时，宇宙飞船就向同步卫星发射信
10、号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻两者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为( )A4 次 B6 次C7 次 D8 次解析：选 C 根据圆周运动的规律，分析一昼夜同步卫星与宇宙飞船相距最近的次数，即为卫星发射信号的次数，也为接收站接收到的信号次数设宇宙飞船的周期为 T，由 m r，得 T2 ，则 ( )3，GMmr2 42T2 r3GM T2242 6 400 4 2006 400 36 000解得 T3 h设两者由相距最远至第一次相距最近的时间为 t1，有( )t1，解得 t1 h2T 2T0 127再设两者相邻两次相距最近的时间间隔为 t2，有(
11、 )t22，解得 t2 h2T 2T0 247由 n 6.5 次知，接收站接收信号的次数为 7 次24 t1t2如图所示，质量相同的三颗卫星 a 、b、c 绕地球做匀速圆周运动，其中 b、c 在地球的同步轨道上，a 距离地球表面的高度为 R，此时 a、b 恰好相距最近已知地球质量为M、半径为 R、地球自转的角速度为 ，引力常量为 G，则下列选项正确的是 ( )A发射卫星 a 时速度要大于 7.9 km/sB若要卫星 c 与 b 实现对接，让卫星 c 加速即可C卫星 b 距离地面的高度为 3GM2D卫星 a 和 b 下一次相距最近还需经过的时间 t2GM8R2 解析：选 A 地球卫星的最小发射速
12、度为 7.9 km/s，可知发射卫星 a 的速度大于 7.9 km/s，故 A 正确让卫星 c 加速，万有引力小于向心力，卫星 c 会脱离圆轨道，做离心运动，不会与卫星 b 实现对接，故 B 错误根据 G m (Rh) 2 得，卫星 b 离地的MmR h2高度 h R，故 C 错误当( a )t2 时，再一次相距最近，根据3GM2 m2R 得，运动的时间 t ，故 D 错误GMm2R2 2a 2GM8R2 3(多选) A、B 两卫星在相同的轨道平面内运动，地球的半径为 R，A、B 两卫星的轨道高度分别为 R 和 3R，某时刻两卫星距离最近，下列说法正确的是( )AA、B 两卫星的周期之比为 9
13、3BA、B 两卫星的线速度之比为 12CA 卫星可能再运动 圈两卫星距离最远4 27DA 卫星可能再运动 圈两卫星距离最远4 27解析：选 BCD 两卫星的轨道半径分别为 rA2R，r B4R，由 k 得，r3T2 4，A 选项错误；由 得，v ，故 vAv B 1，B 选项正确；TATB 2 GMmr2 mv2r GMr 2设再经过 tnT A两卫星距离最近，若两卫星同向运动，有 1，解得 n ，CtTA tTB 4 27选项正确；若两卫星反向运动，有 At Bt， ，解得 n ，D 选项正2tTA 2tTB 4 27确4万有引力定律是科学史上最伟大的定律之一，利用它我们可以进行许多分析和预
14、测.2016 年 3 月 8 日出现了“木星冲日” 当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，天文学家称之为“木星冲日” 木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的 5 倍下列说法正确的是( )A下一次的“木星冲日”时间肯定在 2018 年B下一次的“木星冲日”时间肯定在 2017 年C木星运行的加速度比地球的大D木星运行的周期比地球的小解析：选 B 木星和地球绕太阳做圆周运动，都是以万有引力为合外力做向心力，故加速度 a ，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的 5 倍，故木星运行的加F万m GMr2速度比地球的小，万有引力做
15、向心力，即 m 2r，所以 T2 ，木星到太阳的GMmr2 (2T) r3GM距离大约是地球到太阳距离的 5 倍，故木星运行的周期比地球的大，故 CD 错误；由T2 可知，若地球公转周期为 T11 年，那么木星公转周期为r3GMT2 T111.2T 111.2 年；那么“木星冲日”的周期为 T，则有： 1，所以53TT1 TT2T 年1.1 年，故 2016 年 3 月 8 日出现了一次 “木星冲日” ，下一次的T1T2T2 T1 11.210.2“木星冲日”时间肯定在 2017 年，故 A 错误，B 正确双星或多星模型1双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系
16、统，如图所示(2)特点：各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即m 1 r1Gm1m2L2 21m 2 r2Gm1m2L2 2两颗星的周期及角速度都相同，即T1T 2， 1 2两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1r 2L(3)两颗星到圆心的距离 r1、r 2 与星体质量成反比，即 m1m2 r2r12多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同(2)三星模型：三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为 R 的圆形轨道上运行(如图甲所示) 三颗质量均为 m 的星体位于等边三角形的三个顶点上 (如图乙所示)(3
17、)四星模型：其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示 )另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心 O，外围三颗星绕 O 做匀速圆周运动(如图丁所示)宇宙空间有一种由三颗星体 A、B、C 组成的三星体系，它们分别位于等边三角形 ABC 的三个顶点上，绕一个固定且共同的圆心 O 做匀速圆周运动，轨道如图中实线所示，其轨道半径 rAr Br C.忽略其他星体对它们的作用，可知这三颗星体( )A质量大小关系是 mAm Bm CB加速度大小关系是 aAa Ba CC线速度大小关系是 vAv Bv CD所受万有引力合力的大
18、小关系是 FAF BF C解析：选 A 三星系统是一种相对稳定的结构，它们做圆周运动的角速度是相等的，由 vr，结合 rAr Br C，可知，线速度大小关系是 vAv Bv C，故 C 错误；由a r，结合 rAr Br C.可知加速度大小关系是 aAa B aC，故 B 错误；以 A 为研究对象，则受力如图：由于向心力指向圆心，由矢量关系可知，B 对 A 的引力大于 C 对 A 的引力，结合万有引力定律的表达式：FG 可知 B 的质量大于 C 的质量，同理若以 C 为研究对象，可m1m2r2得 A 的质量大于 B 的质量，即质量大小关系是 mAm B mC，故 A 正确；由于mA mBm C
19、，结合万有引力定律：FG ，可知 A 与 B 之间的引力大于 A 与 C 之间m1m2r2的引力，又大于 B 与 C 之间的引力由题可知， A、B、C 受到的两个万有引力之间的夹角都是相等的，根据两个分力的角度一定时，两个力的大小越大，合力越大可知FA FB FC，故 D 错误所以 A 正确，BCD 错误1双星的特点(1)两星的角速度、周期相等；(2)两星做匀速圆周运动的向心力相等，都等于两者之间的万有引力；(3)两星之间的距离不变，且两星的轨道半径之和等于两星之间的距离2三星、四星问题除满足各星的角速度相等以外，还要注意分析各星做匀速圆周运动的向心力大小和轨道半径(2018西安联考)(多选)
20、 如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为 R 的圆轨道上运行，若三颗星质量均为 M，万有引力常量为 G，则( )A甲星所受合外力为 B乙星所受合外力为 5GM24R2 GM2R2C甲星和丙星的线速度相同 D甲星和丙星的角速度相同解析：选 AD 由万有引力定律可知，甲、乙和乙、丙之间的万有引力为F1G ，甲、丙之间的万有引力为 F2G ，甲星所受两个引力的方向相同，MMR2 MM2R2 GM24R2故合力为 F1F 2 ，A 项正确；乙星所受两个引力等大、反向，合力为零，B 项错5GM24R2误；甲、丙两星线速度方向始终不同，C 项错误；由题知甲、丙
21、两星周期相同，由角速度定义可知，两星角速度相同，D 项正确5(2017青岛一模)2016 年 2 月 11 日，美国科学家宣布探测到引力波的存在，引力波的发现将为人类探索宇宙提供新视角，这是一个划时代的发现。在如图所示的双星系统中，A、B 两个恒星靠着相互之间的引力正在做匀速圆周运动，已知恒星 A 的质量为太阳质量的 29 倍，恒星 B 的质量为太阳质量的 36 倍，两星之间的距离 L210 5 m，太阳质量M2 1030 kg，万有引力常量 G6.6710 11 Nm2/kg2.若两星在环绕过程中会辐射出引力波，该引力波的频率与两星做圆周运动的频率具有相同的数量级，则根据题目所给信息估算该引
22、力波频率的数量级是( )A10 2 Hz B10 4 HzC10 6 Hz D10 8 Hz解析：选 A 由万有引力定律， G m 1r1(2f)2，G m 2r2(2f)2，联立解得m1m2L2 m1m2L2f 10 2 Hz，选项 A 正确12 Gm1m2L36(多选) 宇宙中存在着这样一种四星系统，这四颗星的质量相等，远离其他恒星，因此可以忽略其他恒星对它们的作用四颗星稳定地分布在一个正方形的四个顶点上，且均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动假设每颗星的质量为 m，正方形的边长为 L，每颗星的半径为 R，引力常量为 G，则( )A每颗星做圆周运动的半径为L2B每颗星做圆周运动的向心力大小为1 2Gm22L2C每颗星表面的重力加速度为GmR2D每颗星做圆周运动的周期为 2L 2L1 2Gm解析：选 CD 每颗星做圆周运动的半径为 ，选项 A 错误每颗星做圆周运动的向2L2心力为其他三颗星对它万有引力的合力，即为 FG 2G cos 45 ，m2 2L2 m2L2 1 22Gm22L2选项 B 错误每颗星表面的重力加速度为 g ，选项 C 正确由 GmR2 1 22Gm22L2m 2，解得：T 2L ，选项 D 正确2L2 (2T) 2L1 2Gm
