1、习题课 机械能守恒定律学习目标 1.进一步理解机械能守恒的条件及其判定.2.能灵活应用机械能守恒定律的三种表达方式.3.在多个物体组成的系统中，会应用机械能守恒定律解决相关问题.4.明确机械能守恒定律和动能定理的区别一、机械能是否守恒的判断判断机械能是否守恒的方法：(1)做功条件分析法：若物体系统内只有重力和弹力做功，其他力均不做功，则系统机械能守恒，具体有三种表现：只受重力、弹力，不受其他力；除受重力、弹力外还受其他力，其他力不做功；除重力、弹力外还有其他力做功，但其他力做功的代数和为零(2)能量转化分析法：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递
2、，机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能增加) ，则系统的机械能守恒例 1 (多选) 如图 1 所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是( )图 1A斜劈对小球的弹力不做功B斜劈与小球组成的系统机械能守恒C斜劈的机械能守恒D小球机械能的减少量等于斜劈动能的增加量答案 BD解析 小球有竖直方向的位移，所以斜劈对小球的弹力对球做负功，故 A 选项错误；小球对斜劈的弹力对斜劈做正功，所以斜劈的机械能增加，故 C 选项错误不计一切摩擦，小球下滑过程中，小球和斜劈组成的系统中只有动能和重力势能相互转化，系
3、统机械能守恒，故 B、D 选项正确二、多物体组成的系统机械能守恒问题1多个物体组成的系统，就单个物体而言，机械能一般不守恒，但就系统而言机械能往往是守恒的2关联物体注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系3机械能守恒定律表达式的选取技巧(1)当 研 究 对 象 为 单 个 物 体 时 ， 可 优 先 考 虑 应 用 表 达 式 Ek1 Ep1 Ek2 Ep2 或 Ek Ep来 求 解 (2)当研究对象为两个物体组成的系统时：若两个物体的重力势能都在减少 (或增加)，动能都在增加(或减少)，可优先考虑应用表达式 EkE p 来求解若 A 物体的机械能增加，B 物体的机械能减少，可优先考
4、虑用表达式 EA 增 E B 减 来求解例 2 如图 2 所示，斜面的倾角 30 ，另一边与地面垂直，高为 H，斜面顶点上有一定滑轮，物块 A 和 B 的质量分别为 m1 和 m2，通过轻而柔软的细绳连接并跨过定滑轮开始时两物块都位于与地面距离为 H 的位置上，释放两物块后，A 沿斜面无摩擦地上滑，B 沿斜12面的竖直边下落若物块 A 恰好能达到斜面的顶点，试求 m1 和 m2 的比值滑轮的质量、半径和摩擦均忽略不计图 2答案 12解析 设 B 刚下落到地面时速度为 v，由系统机械能守恒得：m2g m 1g sin 30 (m1m 2)v2H2 H2 12A 以速度 v 上滑到顶点过程中机械能
5、守恒，则：m1v2m 1g sin 30，12 H2由得 12.m1m2针对训练 如图 3 所示，在长为 L 的轻杆中点 A 和端点 B 各固定一质量为 m 的球，杆可绕轴 O 无摩擦的转动，使杆从水平位置无初速度释放求当杆转到竖直位置时，杆对 A、B 两球分别做了多少功？图 3答案 mgL mgL15 15解析 设当杆转到竖直位置时，A 球和 B 球的速度分别为 vA 和 vB.如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，因为机械能没有转化为其他形式的能，故系统机械能守恒，可得：mgL mgL mvA2 mvB212 12 12因 A 球与 B 球在各个时刻对应的角速度相同，故 vB2v A联立
6、得：v A ，v B .3gL5 12gL5根据动能定理，对 A 有：W Amg mvA20，解得 WA mgL.L2 12 15对 B 有：W BmgL mvB20，解得 WB mgL.12 15三、机械能守恒定律与动能定理的综合应用例 3 为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为 37、长为 l2 m 的粗糙倾斜轨道 AB，通过水平轨道 BC 与半径为 R0.2 m 的竖直圆轨道相连，出口为水平轨道 DE，整个轨道除 AB 段以外都是光滑的其中 AB 与 BC 轨道以微小圆弧相接，如图 4 所示一个质量 m1 kg 的小物块以初速度 v05 m/s 从 A 点
7、沿倾斜轨道滑下，小物块到达 C 点时速度 vC4 m/s.取 g10 m/s 2，sin 370.6，cos 37 0.8.图 4(1)求小物块到达 C 点时对圆轨道压力的大小；(2)求小物块从 A 到 B 运动过程中摩擦力所做的功；(3)为了使小物块不离开轨道，并从轨道 DE 滑出，求竖直圆弧轨道的半径应满足什么条件？答案 (1)90 N (2)16.5 J (3)R0.32 m解析 (1)设小物块到达 C 点时受到的支持力大小为 N，根据牛顿第二定律有，NmgmvC2R解得：N90 N根据牛顿第三定律得，小物块对圆轨道压力的大小为 90 N(2)小物块从 A 到 C 的过程中，根据动能定理
8、有：mglsin 37W f mvC2 mv0212 12解得 Wf16.5 J(3)设小物块进入圆轨道到达最高点时速度大小为 v1，为使小物块能通过圆弧轨道的最高点，则 v1 gR小物块从圆轨道最低点到最高点的过程中，根据机械能守恒定律有：mvC2 mv122mgR，当 v1 时，12 12 gR联立解得 R0.32 m，所以为使小物块能通过圆弧轨道的最高点，竖直圆弧轨道的半径应满足 R0.32 m.1.(机械能是否守恒的判断)( 多选 )如图 5 所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上其正上方 A 位置有一只小球小球从静止开始下落，在 B 位置接触弹簧的上端，在 C 位置小球所受弹力大小
9、等于重力，在 D 位置小球速度减小到零对于小球下降阶段，下列说法中正确的是(不计空气阻力)( )图 5A在 B 位置小球动能最大B在 C 位置小球动能最大C从 AC 位置小球重力势能的减少等于小球动能的增加D整个过程中小球和弹簧组成的系统机械能守恒答案 BD解析 小球从 B 运动至 C 过程，重力大于弹力，合力向下，小球加速，从 C 运动到 D，重力小于弹力，合力向上，小球减速，故在 C 点动能最大，故 A 错误，B 正确；小球下降过程中，只有重力和弹簧弹力做功，小球和弹簧系统机械能守恒，D 正确；从 AC 位置小球重力势能的减少量等于动能增加量和弹性势能增加量之和，故 C 错误2(多物体组成
10、的系统机械能守恒问题)( 多选)如图 6 所示，a、b 两物块质量分别为m、3m，用不计质量的细绳相连接，悬挂在定滑轮的两侧开始时， a、b 两物块距离地面高度相同，用手托住物块 b，然后由静止释放，直至 a、b 物块间高度差为 h，不计滑轮质量和一切摩擦，重力加速度为 g.在此过程中，下列说法正确的是( )图 6A物块 a 的机械能守恒B物块 b 的机械能减少了 mgh23C物块 b 机械能的减少量等于物块 a 机械能的增加量D物块 a、b 与地球组成的系统机械能守恒答案 CD解析 释放 b 后物块 a 加速上升，动能和重力势能均增加，故机械能增加，选项 A 错误对物块 a、b 与地球组成的
11、系统，只有重力做功，故机械能守恒，选项 D 正确物块a、b 构成的系统机械能守恒，有(3m )g mg mv2 (3m)v2，解得 v ；物块 b 动能h2 h2 12 12 gh2增加量为 (3m)v2 mgh，重力势能减少 mgh，故机械能减少 mgh mgh mgh，选项 B12 34 32 32 34 34错误由于绳的拉力对 a 做的功与 b 克服绳的拉力做的功相等，故物块 b 机械能的减少量等于物块 a 机械能的增加量，选项 C 正确3(机械能守恒定律与动能定理的综合应用) 如图 7 所示，一内壁光滑的细管弯成半径为R0.4 m 的半圆形轨道 CD，竖直放置，其内径略大于小球的直径，
12、水平轨道与半圆形轨道在 C 处 连 接 完 好 置 于 水 平 轨 道 上 的 弹 簧 左 端 与 竖 直 墙 壁 相 连 ， B 处 为 弹 簧 原 长 状 态 的 右端 将 一 个 质 量 为 m 0.8 kg 的 小 球 放 在 弹 簧 的 右 侧 后 ， 用 力 水 平 向 左 推 小 球 压 缩 弹 簧 至 A处 ， 然 后 将 小 球 由 静 止 释 放 ， 小 球 运 动 到 C 处 时 对 轨 道 的 压 力 大 小 为 F1 58 N 水 平 轨 道 以B 处 为 界 ， 左 侧 AB 段 长 为 x 0.3 m， 与 小 球 间 的 动 摩 擦 因 数 为 0.5， 右 侧
13、 BC 段 光滑 g 10 m/s2， 求 ：图 7(1)弹簧在压缩时所储存的弹性势能；(2)小球运动到轨道最高处 D 点时对轨道的压力答案 (1)11.2 J (2)10 N，方向竖直向上解析 (1)对小球在 C 处，由牛顿第二定律、牛顿第三定律及向心力公式得F1mgm ，vC2R解得 vC5 m/s.从 A 到 B 由动能定理得 Epmgx mvC2，12解得 Ep11.2 J.(2)从 C 到 D，由机械能守恒定律得：mv C22mgR mvD2，12 12vD3 m/s ，由于 vD 2 m/s，gR所以小球在 D 点对轨道外壁有压力小球在 D 点，由牛顿第二定律及向心力公式得 F2m
14、g m ，解得 F210 N.vD2R由牛顿第三定律可知，小球在 D 点对轨道的压力大小为 10 N，方向竖直向上一、选择题考点一 机械能是否守恒的判断1.如图 1 所示，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的 O 点，另一端系一小球给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动在此过程中( )图 1A小球的机械能守恒B重力对小球不做功C轻绳的张力对小球不做功D在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少量答案 C解析 斜面粗糙，小球受到重力、支持力、摩擦力、轻绳张力的作用，由于除重力做功外，支持力和轻绳张力总是与运动方向垂直，故不做功，摩擦力做负功，机械能减少，A、B 错，C
15、对；小球动能的变化量等于合外力对其做的功，即重力与摩擦力做功的代数和，D 错考点二 多物体组成的系统机械能守恒问题2.如图 2 所示，小物体 A 和 B 通过轻质弹簧和轻绳跨过光滑定滑轮连接，初状态在外力控制下系统保持静止，轻弹簧处于原长，且轻弹簧上端离滑轮足够远，A 离地面足够高，物体 A和 B 同时从静止释放，释放后短时间内 B 能保持静止，A 下落 h 高度时，B 开始沿斜面上滑，则下列说法中正确的是( )图 2AB 滑动之前，A 机械能守恒BB 滑动之前，A 机械能减小CB 滑动之前，A、B 组成的系统机械能守恒DB 滑动之后，A、B 组成的系统机械能守恒答案 B3(多选) 如图 3
16、所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁现让一小球自左端槽口 A 点的正上方由静止开始下落，从 A 点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )图 3A小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功B小球从 A 点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒C小 球 从 A 点 经 最 低 点 向 右 侧 最 高 点 运 动 的 过 程 中 ， 小 球 与 半 圆 形 槽 组 成 的 系 统 机 械 能 守 恒D小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒答案 BC4.如图 4 所示，物体 A、B 通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物
17、体 A、B 的质量都为m.开始时细绳伸直，用手托着物体 A 使弹簧处于原长且 A 与地面的距离为 h，物体 B 静止在地面上放手后物体 A 下落，与地面即将接触时速度大小为 v，此时物体 B 对地面恰好无压力，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )图 4A弹簧的劲度系数为mghB此时弹簧的弹性势能等于 mgh mv212C此时物体 B 的速度大小也为 vD此时物体 A 的加速度大小为 g，方向竖直向上答案 A解析 由题意可知，此时弹簧所受的拉力大小等于 B 的重力，即 Fmg，弹簧伸长的长度为 xh，由 F kx 得 k ，故 A 正确；A 与弹簧组成的系统机械能守恒，则有mghmgh mv2
18、E p，则弹簧的弹性势能 Epmgh mv2，故 B 错误；物体 B 对地面恰好无压力12 12时，B 的速度为零，故 C 错误；根据牛顿第二定律对 A 有 Fmgma，Fmg ，得 a0，故 D 错误【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在弹簧类问题中的应用5.如图 5 所示，质量分别为 m 和 3m 的小球 A 和 B 可视为质点，系在长为 L 的细线两端，桌面水平光滑，高为 h(hL )A 球无初速度地从桌面滑下，落在沙地上静止不动，不计空气阻力，则 B 球离开桌面的速度为( )图 5A. B. C. D.gh2 2gh gh3 gh6答案 A解析 由 hL，当小球 A 刚落
19、地时，由机械能守恒得 mgh (m3m)v 2，解得 v ，B12 gh2球以此速离开桌面，选项 A 正确【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在绳连接体问题中的应用6.如图 6 所示，B 物体的质量是 A 物体质量的 ，在不计摩擦及空气阻力的情况下，A 物体12自 H 高处由静止开始下落以地面为参考平面，当物体 A 的动能与其重力势能相等时，物体 A 距地面的高度为(B 物体与定滑轮的距离足够远)( )图 6A. H B. H15 25C. H D. H45 13答案 B解析 设 A 的质量 mA2m，B 的质量 mBm.物体 A 的动能等于其重力势能时，A 离地面的高度为 h，
20、A 和 B 的共同速率为 v，在运动过程中，A、B 系统的机械能守恒，有 2mg(Hh) 2mv2 mv2，又 2mv22mgh，联立解得 h H，故选项 B 正确12 12 12 25【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在绳连接体问题中的应用7.如图 7 所示的滑轮光滑轻质，不计一切阻力，M 12 kg，M 21 kg，M 1 离地高度为H0.5 m，取 g10 m/s 2.M1 与 M2 从静止开始释放，M 1 由静止下落 0.3 m 时的速度为( )图 7A. m/s B3 m/s2C2 m/s D1 m/s答案 A解析 对系统运用机械能守恒定律得(M 1M 2)gh (M
21、1M 2)v2，代入数据解得 v m/s，12 2故 A 正确，B、C、D 错误【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在绳连接体问题中的应用8.如图 8 所示，一均质杆长为 r，从图示位置由静止开始沿光滑面 ABD 滑动，AB 是半径2为 r 的 圆弧，BD 为水平面则当杆滑到 BD 位置时的速度大小为 (重力加速度为 g)( )14图 8A. B. C. D2gr2 gr 2gr gr答案 B解析 虽然杆在下滑过程有转动发生，但初始位置静止，末状态匀速平动，整个过程无机械能损失，故有 mv2mg ，12 r2解得：v .gr【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在杆连
22、接体问题中的应用二、非选择题9(多物体组成的系统机械能守恒问题) 一半径为 R 的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸长的细绳连接的 A、B 两球悬挂在圆柱面边缘两侧，A 球质量为 B 球质量的 2 倍，现将 A 球从圆柱边缘处由静止释放，如图 9 所示已知 A 球始终不离开圆柱内表面，且细绳足够长，若不计一切摩擦，重力加速度为 g，求：A 球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小图 9答案 22 25 gR解析 设 A 球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小为 v，B 球的质量为 m，则根据机械能守恒定律有 2mgR mgR 2mv2 mvB2，由图可知，A 球的速度 v 与 B 球速度 vB 的关21
23、2 12系为 vBv 1vcos 45，联立解得 v2 .2 25 gR10(多物体组成的系统机械能守恒问题) 如图 10 所示，半径为 R 的光滑半圆弧轨道与高为10R 的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道 CD 相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡在水平轨道上，轻质弹簧被 a、b 两小球挤压但不与球连接，处于静止状态同时释放两个小球，a 球恰好能通过圆弧轨道的最高点 A，b 球恰好能到达斜轨道的最高点 B.已知 a 球质量为 m1，b 球质量为 m2，重力加速度为 g.求：图 10(1)a 球离开弹簧时的速度大小 va；(2)b 球离开弹簧时的速度大小 vb；(3
24、)释放小球前弹簧的弹性势能 Ep.答案 (1) (2)2 (3)( m110m 2)gR5gR 5gR52解析 (1)由 a 球恰好能到达 A 点知：m 1gm 1vA2R由机械能守恒定律得： m1va2 m1vA2m 1g2R12 12解得 va .5gR(2)对于 b 球由机械能守恒定律得：m2vb2m 2g10R12解得 vb 2 .20gR 5gR(3)由机械能守恒定律得：E p m1va2 m2vb212 12解得 Ep( m110m 2)gR.5211(机械能守恒定律与动量定理的综合应用) 物块 A 的质量为 m2 kg，物块与坡道间的动摩擦因数为 0.6，水平面光滑坡道顶端距水平
25、面高度为 h1 m，倾角为 37.物块从坡道进入水平滑道时，在底端 O 点处无机械能损失，将轻弹簧的一端固定在水平滑道 M 处，另一自由端恰位于坡道的底端 O 点，如图 11 所示物块 A 从坡顶由静止滑下，重力加速度为 g10 m/s 2， sin 370.6，cos 370.8，求：图 11(1)物块滑到 O 点时的速度大小；(2)弹簧为最大压缩量时的弹性势能；(3)物块 A 被弹回到坡道后上升的最大高度答案 (1)2 m/s (2)4 J (3) m19解析 (1)由动能定理得 mgh mv2mghtan 12代入数据解得 v2 m/s(2)在水平滑道上，由机械能守恒定律得 mv2E p12代入数据解得 Ep4 J(3)设物块 A 能够上升的最大高度为 h1，物块被弹回过程中由动能定理得mgh 1 0 mv2mgh1tan 12代入数据解得 h1 m.19
