1、微型专题 竖直面内的圆周运动一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车) 模型如图 1 所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，二者运动规律相同，现以甲图为例.图 1(1)最低点运动学方程：F T1mg mv12L所以 FT1mg mv12L(2)最高点运动学方程：F T2mg mv2L所以 FT2m mgv2L(3)最高点的最小速度：由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由FT2 mg 可知，当 FT2 0 时，v 2 最小，最小速度为 v2 .mv2L gL讨论：当 v2 时，拉力或压力为零.gL当 v2 时，小球受向下的拉力或压力.gL当 v2 ，杆或
2、管的外侧对球产生向下的拉力或压力，mgFm ，所以 Fm mg，FgLv2L v2L随 v 增大而增大.v ，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F0，mgm .gLv2L0v ，杆对球有向下的拉力，且该力随速度的增gR大而增大，选项 C、D 错误.【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆”模型1.(轻绳作用下物体的运动)杂技演员表演“水流星” ，在长为 1.6 m 的细绳的一端，系一个与水的总质量为 m0.5 kg 的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图 8 所示，若“水流星”通过最高点时的速率为 4 m/s，则下列说法正确的是(g10 m/ s2)(
3、)图 8A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为 5 N答案 B解析 “水流星”在最高点的临界速度 v 4 m/s，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不gL流出，故选 B.【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“绳”模型2.(轨道约束下小球的运动)如图 9 所示，过山车的轨道可视为竖直平面内半径为 R 的圆轨道.质量为 m 的游客随过山车一起运动，当游客以速度 v 经过圆轨道的最高点时( )图 9A.处于超重状态B.向心加速
4、度方向竖直向下C.速度 v 的大小一定为 gRD.座位对游客的作用力为 mv2R答案 B解析 游客经过最高点时，加速度方向竖直向下.处于失重状态，A 错误，B 正确；由牛顿第二定律得 FNmgm ，分析知 C、D 错误.v2R3.(球在管形轨道中的运动)( 多选 )如图 10 所示，小球 m 在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，重力加速度为 g，下列说法正确的是( )图 10A.小球通过最高点时的最小速度是 RgB.小球通过最高点时的最小速度为零C.小球在水平线 ab 以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力D.小球在水平线 ab 以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力答案 BD
5、解析 小球通过最高点的最小速度为 0，圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球在水平线 ab 以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，即外侧管壁对小球一定有作用力，故B、D 正确.【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆”模型4.(轻杆作用下小球的运动)如图 11 所示，质量为 m 的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端 O 做圆周运动.当小球运动到最高点时，瞬时速度为 v ，L 是球心到 O 点12Lg的距离，则球对杆的作用力是( )图 11A. mg 的拉力 B. mg 的压力12 12C.零 D. mg 的压力32答案 B解析 当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零
6、，所以 mgm ，解得：vv 2 L，而 mg，根据牛顿第三定律得 D 正确.【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“绳”模型考点二 轻杆(管道)模型5.长度为 1 m 的轻杆 OA 的 A 端有一质量为 2 kg 的小球，以 O 点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图 3 所示，小球通过最高点时的速度为 3 m/s，g 取 10 m/s2，则此时小球将( )图 3A.受到 18 N 的拉力B.受到 38 N 的支持力C.受到 2 N 的拉力D.受到 2 N 的支持力答案 D解析 设此时轻杆拉力大小为 F，根据向心力公式有 Fmgm ，代入数值可得 F2 v2rN，表示小球受到 2
7、N 的支持力，选项 D 正确.【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆”模型6.(多选) 如图 4 所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为 R.现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，当小球通过最高点时速率为 v0，则下列说法中正确的是( )图 4A.若 v0 ，则小球对管内壁无压力gRB.若 v0 ，则小球对管内上壁有压力gRC.若 0 v0 ，则小球对管内下壁有压力gRD.不论 v0 多大，小球对管内下壁都有压力答案 ABC解析 在最高点，只有重力提供向心力时，由 mgm ，解得 v0 ，因此小球对管内壁v02R gR无压力，选项 A 正确.若
8、v0 ，则有 mgF Nm ，表明小球对管内上壁有压力，选项gRv02RB 正确.若 0v 0 ，则有 mgF Nm ，表明小球对管内下壁有压力，选项 C 正确.综gRv02R上分析，选项 D 错误.【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆”模型7.(多选) 长为 l 的轻杆一端固定着一个小球 A，另一端可绕光滑水平轴 O 在竖直面内做圆周运动，如图 5 所示，下列叙述符合实际的是( )图 5A.小球在最高点的速度至少为 glB.小球在最高点的速度大于 时，受到杆的拉力作用glC.当球在直径 ab 下方时，一定受到杆的拉力D.当球在直径 ab 上方时，一定受到杆的支持力答案 BC解
9、析 小球在最高点的速度最小可以为 0，选项 A 错误；球在最高点的速度大于 时，向gl心力大于 mg，一定受到杆的拉力作用，选项 B 正确；当球在直径 ab 下方时，重力和轻杆弹力的合力提供向心力，小球一定受到杆的拉力，选项 C 正确；当球在直径 ab 上方时，可能受到杆的支持力或拉力或不受杆的作用力，选项 D 错误.【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆”模型8.如图 6 所示，质量为 m 的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径.某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为 R 的匀速圆周运动，已知重力加速度为 g，空气阻力不计，则( )图 6A.若盒子在最高点时，盒子
10、与小球之间恰好无作用力，则该盒子做匀速圆周运动的周期为2RgB.若盒子以周期 做匀速圆周运动，则当盒子运动到图示球心与 O 点位于同一水平面位Rg置时，小球对盒子左侧面的力为 4mgC.若盒子以角速度 2 做匀速圆周运动，则当盒子运动到最高点时，小球对盒子下面的力gR为 3mgD.盒子从最低点向最高点做匀速圆周运动的过程中，球处于超重状态；当盒子从最高点向最低点做匀速圆周运动的过程中，球处于失重状态答案 A解析 由 mgm R 可得，盒子运动周期 T2 ，A 正确.由 FN1m R，T 1 ，得42T 2 Rg 42T12 RgFN14mg ，由牛顿第三定律可知，小球对盒子右侧面的力为 4mg
11、，B 错误.由FN2mg m 2R 得，小球以 2 做匀速圆周运动时，在最高点小球对盒子上面的压力gR为 3mg，C 错误.盒子由最低点向最高点运动的过程中，小球的加速度先斜向上，后斜向下，故小球先超重后失重，D 错误 .【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】圆周运动的超重问题9.(多选) 如图 7 甲所示，轻杆一端固定在 O 点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为 R 的圆周运动.小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为 F，小球在最高点的速度大小为 v，其 Fv 2 图象如图乙所示.则( )图 7A.小球的质量为aRbB.当地的重力加速度大小为RbC.v2c 时，小球对杆的弹力
12、方向向上D.v22b 时，小球受到的弹力与重力大小相等答案 ACD解析 当小球受到的弹力 F 方向向下时，Fmg ，解得 F v2mg，当弹力 F 方向mv2R mR向上时，mgFm ，解得 Fmgm ，对比 Fv 2 图象可知，bgR，amg，联立解v2R v2R得 g ，m ，A 正确，B 错误.v 2c 时，小球受到的弹力方向向下，则小球对杆的弹力bR aRb方向向上，C 正确.v 22b 时，小球受到的弹力与重力大小相等，D 正确.【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆”模型二、非选择题10.(绳作用下物体的运动)在杂技节目“水流星”的表演中，碗的质量 m10.1 kg，
13、内部盛水质量 m20.4 kg，拉碗的绳子长 l0.5 m，使碗在竖直平面内做圆周运动，如果碗通过最高点的速度 v19 m/s，g10 m/s 2，求碗在最高点时绳的拉力大小及水对碗的压力大小.答案 76 N 60.8 N解析 对水和碗：mm 1m 20.5 kg，在最高点，F T1mg ，mv12l得：F T1 mg N76 N，mv12l (0.5810.5 0.510)以水为研究对象，设在最高点碗对水的压力为 F1，则 F1m 2g ，m2v12l解得 F160.8 N，根据牛顿第三定律可得水对碗的压力 F1F 160.8 N ，方向竖直向上.【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面
14、内的“绳”模型11.(杆作用下小球的运动)如图 8 所示，长为 L0.5 m 的轻杆 OA 绕 O 点在竖直平面内做匀速圆周运动，A 端连着一个质量 m2 kg 的小球，g 取 10 m/s2.图 8(1)如果小球的速度为 3 m/s，求在最低点时杆对小球的拉力为多大；(2)如果在最高点杆对小球的支持力为 4 N，求杆旋转的角速度为多大.答案 (1)56 N (2)4 rad/s解析 (1)小球在最低点受力如图甲所示：合力提供向心力：FA mgmv2L解得：F A56 N(2)小球在最高点受力如图乙所示，则：mgF B m2L解得：4 rad/s.【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内
15、的“杆”模型12.(杆作用下小球的运动)质量为 0.2 kg 的小球固定在长为 0.9 m 的轻杆一端，杆可绕过另一端 O 点的水平轴在竖直平面内转动 .(g10 m/s 2)求：(1)当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？(2)当小球在最高点的速度分别为 6 m/s 和 1.5 m/s 时，球对杆的作用力.答案 (1)3 m/s (2)6 N，方向竖直向上 1.5 N，方向竖直向下解析 (1)当 小 球 在 最 高 点 对 杆 的 作 用 力 为 零 时 ， 重 力 提 供 向 心 力 ， 则 mg m ， 解 得 v0 3 m/s.v02R(2)v1 v0， 由 牛 顿 第 二 定 律 得 ： mg F1 m ， 由 牛 顿 第 三 定 律 得 ： F1 F1， 解 得 F1 6 v12RN，方向竖直向上.v2v 0，由牛顿第二定律得：mg F 2m ，由牛顿第三定律得： F2F 2，解得：v2RF21.5 N，方向竖直向下.
