1、4 万有引力理论的成就学考 选考学习目标1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.2.了解“计算天体质量”的基本思路.3.掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的思路.考试要求c c一、计算天体的质量1.称量地球的质量(1)思路：若不考虑地球自转，地球表面的物体的重力等于地球对物体的万有引力.(2)关系式：mg G .MmR2(3)结果：M ，只要知道 g、R 、G 的值，就可计算出地球的质量.gR2G2.太阳质量的计算(1)思路：质量为 m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时， 行星与太阳间的万有引力充当向心力.(2)关系式： m r.GMmr2 42T2(3)结论：M ，只要知道行星
2、绕太阳运动的周期 T 和半径 r 就可以计算出太阳的质量.42r3GT2(4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期 T 和卫星与行星之间的距离 r，可计算行星的质量 M.二、发现未知天体1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846 年 9 月 23 日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星 海王星.2.其他天体的发现：近 100 年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体.1.判断下列说法的正误.(1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力.()(2)若知
3、道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的半径，就可以求出太阳的质量.( )(3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量.( )(4)海王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的.( )(5)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道.( )(6)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性.( )2.已知引力常量 G6.6710 11 Nm2/kg2，重力加速度 g9.8 m/s2，地球半径 R6.410 6 m，则可知地球的质量约为( )A.21018 kg B.21020 kgC.61022 kg D.61024 kg答案 D一、天体质量和密度的计算1.卡文迪许在实验室测
4、出了引力常量 G 的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”.(1)他“称量”的依据是什么？(2)若还已知地球表面重力加速度 g，地球半径 R，求地球的质量和密度 .答 案 (1)若 忽 略 地 球 自 转 的 影 响 ， 在 地 球 表 面 上 物 体 受 到 的 重 力 等 于 地 球 对 物 体 的 万 有 引 力.(2)由 mgG ，得：MmR2MgR2G .MV M43R3 3g4GR2.如果知道地球绕太阳的公转周期 T 和它与太阳的距离 r，能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？答案 由 m 地 r 知 M 太 ，可以求出太阳的质量，因此可以求出太阳的GM太 m地r2
5、42T2 42r3GT2质量.由密度公式 可知，若要求太阳的密度还需要知道太阳的半径.M太43R太 3天体质量和密度的计算方法重力加速度法 环绕法情景已知天体(如地球 )的半径 R 和天体(如地球 )表面的重力加速度 g行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动思路物体在表面的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力：mgGMmR2行星或卫星受到的万有引力充当向心力：G m( )2rMmr2 2T(G m 或 G m 2r)Mmr2 v2r Mmr2天体质量 天体(如地球)质量：MgR2G 中心天体质量：M (M 或 M )42r3GT2 rv2G r32G天体密度 M43R3 3g4RG (以
6、T 为例)M43R3 3r3GT2R3说明利用 mg 求 M 是忽略了GMmR2天体自转，且 g 为天体表面的重力加速度由 F 引 F 向 求 M，求得的是中心天体的质量，而不是做圆周运动的行星或卫星质量例 1 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为 4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的 .该中心恒星与太阳的质量的比值约为( )120A. B.1 C.5 D.10110答案 B解析 由 G m r 得 MMmr2 42T2 r3T2已知 ， ，则 ( )3( )
7、21，B 项正确.r51r地 120 T51T地 4365 M恒 星M太 阳 120 3654例 2 假设在半径为 R 的某天体上发射一颗该天体的卫星.若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为 T1，已知引力常量为 G.(1)则该天体的密度是多少？(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为 h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为 T2，则该天体的密度又是多少？答案 (1) (2)3GT12 3R h3GT2R3解析 设卫星的质量为 m，天体的质量为 M.(1)卫星贴近天体表面运动时有 G m R，MMmR2 42T21 42R3GT21根据数学知识可知天体的体积为 V R343故该天体的密度为 .M
8、V 42R3GT1243R3 3GT12(2)卫星距天体表面的高度为 h 时，有G m (Rh)MmR h2 42T2M42R h3GT2 .MV 42R h3GT243R3 3R h3GT2R3求解天体质量和密度时的两种常见错误1.根据轨道半径 r 和运行周期 T，求得 M 是中心天体的质量，而不是行星(或卫星) 的42r3GT2质量.2.混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用 R 表示，轨道半径用 r 表示，这样就可以避免如 误约3r3GT2R3分；只 有 卫 星 在 天 体 表 面 做 匀 速 圆 周 运 动 时 ， 如 近
9、 地 卫 星 ， 轨 道 半 径 r 才 可 以 认 为 等 于 天 体 半径 R.二、天体运动的分析与计算1.基本思路：一般行星(或卫星 )的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供，即 F 引 F 向.2.常用关系(1)G ma nm m 2rm r.Mmr2 v2r 42T2(2)忽略自转时，mgG (物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：MmR2gR2GM，该公式通常被称为“黄金代换式”.3.天体运动的物理量与轨道半径的关系(1)由 G m 得 v ，r 越大，v 越小.Mmr2 v2r GMr(2)由 G m 2r 得 ，r 越大， 越小.Mm
10、r2 GMr3(3)由 G m 2r 得 T2 ，r 越大，T 越大.Mmr2 (2T) r3GM(4)由 G ma n 得 an ，r 越大，a n 越小.Mmr2 GMr2例 3 (2015浙江 10 月选考科目考试)2015 年 9 月 20 日“长征六号”火箭搭载 20 颗小卫星成功发射，如图 1 所示.在多星分离时，小卫星分别在高度不同的三层轨道被依次释放.假设释放后的小卫星均做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )图 1A.20 颗小卫星的轨道半径均相同B.20 颗小卫星的线速度大小均相同C.同一圆轨道上的小卫星的周期均相同D.不同圆轨道上的小卫星的角速度均相同答案 C解析 小卫星
11、在不同轨道上运动时其轨道半径不同，由 m 2rm 2r，可知GMmr2 mv2r (2T)不同圆轨道上小卫星的线速度大小不同，角速度不同，同一圆轨道上小卫星的周期相同.针对训练 2009 年 2 月 11 日，俄罗斯的“宇宙2251”卫星和美国的“铱33”卫星在西伯利亚上空约 805 km 处发生碰撞，这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件.碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境.假定有甲、乙两块碎片绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是( )A.甲的运行周期一定比乙的长B.甲距地面的高度一定比乙的高C.甲的向心力一定比乙的小D.甲的向心加速度一定比乙的大答案
12、 D解析 甲的运行速率大，由 G m ，得 v ，由此可知，甲碎片的轨道半径小，Mmr2 v2r GMr距地面的高度低，故 B 错；由 G mr ，得 T ，可知甲的周期小，故 A 错；Mmr2 42T2 42r3GM由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故 C 错；由 ma n 得 an ，可知GMmr2 GMr2甲的向心加速度比乙的大，故 D 对.【考点】人造卫星各物理量与半径的关系【题点】人造卫星各物理量与半径的关系例 4 如图 2 所示，a、b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是 R 和 2R(R 为地球半径).下列说法中正确的是( )图 2A.a、b
13、的线速度大小之比是 12B.a、b 的周期之比是 12 2C.a、b 的角速度大小之比是 3 46D.a、b 的向心加速度大小之比是 92答案 C解析 两卫星均做匀速圆周运动，F 万 F 向.由 m 得， ，故 A 错误.GMmr2 v2r v1v2 r2r1 3R2R 32由 mr 2 得 ，故 B 错误.GMmr2 (2T) T1T2 r13r23 2323由 mr 2 得 ，故 C 正确.GMmr2 12 r23r13 364由 ma n 得 ，故 D 错误.GMmr2 an1an2 r2r12 94【考点】人造卫星各物理量与半径的关系【题点】人造卫星各物理量与半径的关系1.(天体质量的
14、估算)(2018浙江 4 月选考科目考试)土星最大的卫星叫“泰坦”( 如图 3)，每16 天绕土星一周，其公转轨道半径为 1.2106 km.已知引力常量 G6.6710 11 Nm2/kg2，则土星的质量约为( )图 3A.51017 kg B.51026 kgC.71033 kg D.41036 kg答案 B解析 由万有引力提供向心力得，G m 2r，则 M ，代入数据得 M510 26 kg，故选 B.Mmr2 (2T) 42r3GT22.(天体质量的计算)(2018宁波市高三上学期期末十校联考)已知地球半径为 R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为 r，地球表面的重力加速度为 g，地球
15、绕太阳公转的周期为 T，则太阳的质量为( )A. B.42r3T2R2g 42mr3T2R2gC. D.42mgr3T2R3 T2R2g42mr3答案 B解析 地球绕太阳做圆周运动有 m rGmMr2 42T2地球表面物体 mg GmmR2由得：太阳质量 M ，B 正确.42mr3T2R2g3.(天体密度的估算)一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要( )A.测定飞船的运行周期 B.测定飞船的环绕半径C.测定行星的体积 D.测定飞船的运行速度答案 A解析 取飞船为研究对象，由 G mR 及 M R3，知 ，故选 A.MmR2 42T2 43 3GT2【考点】天体密
16、度的计算【题点】已知周期、半径求密度4.(天体运动分析)(2016浙江 10 月选考科目考试)如图 4 所示， “天宫二号”在距离地面 393 km 的近圆轨道运行.已知万有引力常量 G6.6710 11 Nm2/kg2，地球质量 M6.010 24 kg，地球半径 R6.410 3 km.由以上数据可估算( )图 4A.“天宫二号”的质量B.“天宫二号”的运行速度C.“天宫二号”受到的向心力D.地球对“天宫二号”的引力答案 B解析 根据万有引力提供向心力，即 m 知“天宫二号”的质量 m 会在等式两边消GmMr2 v2r去，所以无法求出“天宫二号”的质量，选项 A 错误；v ，式中 G、M
17、、r 的大小已GMr知，所以可估算“天宫二号”的运行速度，选项 B 正确；“天宫二号”受到的向心力、引力都因为不知道质量而无法估算，选项 C、D 错误.5.(天体运动分析)(2017绍兴市 9 月选考科目适应性考试)伽利略用他自制的望远镜发现了围绕木星的四颗卫星，假定四颗卫星均绕木星做匀速圆周运动，它们的转动周期如表所示，关于这四颗卫星，下列说法正确的是( )名称 周期 /天木卫一 1.77木卫二 3.55木卫三 7.16木卫四 16.7A.木卫一角速度最小B.木卫四线速度最大C.木卫四轨道半径最大D.木卫一受到的木星的万有引力最大答案 C一、选择题考点一 天体质量和密度的计算1.已知引力常量
18、 G、月球中心到地球中心的距离 R 和月球绕地球运行的周期 T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有( )A.月球的质量 B.地球的质量C.地球的半径 D.地球的密度答案 B解析 由天体运动规律知 G m R 可得，地球质量 M ，由于不知地球的半径，MmR2 42T2 42R3GT2无法求地球的密度，故选项 B 正确.【考点】计算天体的质量【题点】已知周期、半径求质量2.若地球绕太阳的公转周期及公转轨道半径分别为 T 和 R，月球绕地球的公转周期和公转轨道半径分别为 t 和 r，则太阳质量与地球质量之比为 ( )A. B.R3t2r3T2 R3T2r3t2C. D.R3t2r2T3 R2T
19、3r2t3答案 A解析 由万有引力提供向心力得 m ，即 M ，所以 .GMmR02 42R0T02 R03T02 M日M地 R3t2r3T2【考点】计算天体的质量【题点】已知周期、半径求质量3.如图 1 所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达 7 年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道.若“卡西尼”号探测器在半径为 R 的土星上空离土星表面高 h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕 n 周飞行时间为 t，已知引力常量为 G，则下列关于土星质量 M 和平均密度 的表达式正确的是( )图 1A.M ，42R h3Gt2 3R h3Gt2R3B.M ，42R h2Gt2 3R h2Gt2R3C.M ，4
20、2t2R h3Gn2 3t2R h3Gn2R3D.M ，42n2R h3Gt2 3n2R h3Gt2R3答案 D解析 设“卡西尼”号的质量为 m，它围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，G m(Rh)( )2，其中 T ，解得 M .又土星体积MmR h2 2T tn 42n2R h3Gt2V R3，所以 .43 MV 3n2R h3Gt2R3【考点】天体密度的计算【题点】已知周期、半径求密度4.有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处的重力加速度的 4 倍，则该星球的质量是地球质量的( )A. 倍 B.4 倍14C.16 倍 D.64 倍答案 D解析
21、 由 G mg 得 Mg ，MmR2 R2G MVgR2G43R3 3g4GR所以 R ，则 43g4G RR地 gg地根据 M 64M 地 ，所以 D 项正确.gR2G 4g地 16R地 2G 64g地 R地 2G5.2015 年 7 月 23 日，美国宇航局通过开普勒太空望远镜发现了迄今“最接近另一个地球”的系外行星开普勒452b，开普勒452b 围绕一颗类似太阳的恒星做匀速圆周运动，公转周期约为 385 天(约 3.3107 s)，轨道半径约为 1.51011 m，已知引力常量 G6.6710 11 Nm2/kg2，利用以上数据可以估算出类似太阳的恒星的质量约为( )A.1.81030
22、kg B.1.81027 kgC.1.81024 kg D.1.81021 kg答案 A解析 根据万有引力充当向心力，有 G mr ，则中心天体的质量 M mMr2 42T2 42r3GT2kg1.810 30 kg，故 A 正确.43.1421.5101136.6710 113.31072【考点】计算天体的质量【题点】已知周期、半径求质量6.(2018浙江省名校新高考研究联盟第二次联考) “天宫二号”在 2016 年秋季发射成功，其绕地球运行的轨道可近似看成是圆轨道.设每经过时间 t， “天宫二号”通过的弧长为 l，该弧长对应的圆心角为 弧度，已知引力常量为 G，则地球的质量是( )A. B
23、.l3Gt2 3Gl2tC. D.t2Gl3 l2G3t答案 A解析 “天宫二号”通过的弧长为 l，该弧长对应的圆心角为 弧度，所以其轨道半径r ，t 时间内 “天宫二号” 通过的弧长是 l，所以线速度 v ， “天宫二号”做匀速圆周运l lt动的向心力是由万有引力提供，则 G m ，所以 M ，A 正确.Mmr2 v2r rv2G l3Gt2考点二 天体运动分析7.如图 2 所示，飞船从轨道 1 变轨至轨道 2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道 1 上，飞船在轨道 2 上的( )图 2A.速度大B.向心加速度大C.运行周期小D.角速度小答案 D解析 飞船绕地球做
24、匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即 F 引 F n，所以 G ma n mr 2，Mmr2 mv2r 42mrT2即 an ，v ，T ， .GMr2 GMr 42r3GM GMr3因为 r1v2，a n1an2，T 12，选项 D 正确.【考点】人造卫星各物理量与半径的关系【题点】人造卫星各物理量与半径的关系8.我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高.2018 年 5 月 9 日发射的“高分五号”轨道高度约为 705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为 36 000 km，它们都绕地球做圆周运动.与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )A.周期 B.角速度C
25、.线速度 D.向心加速度答案 A解析 “高分五号”的运动半径小于“高分四号”的运动半径，即 r 五 四 ，B 错.GMr3 1r3v ，v 五 v 四 ，C 错.GMr 1ran ，a n 五 an 四 ，D 错.GMr2 1r29.据 报 道 ， “嫦 娥 一 号 ”和 “嫦 娥 二 号 ”绕 月 飞 行 的 圆 形 工 作 轨 道 距 月 球 表 面 分 别 约 为 200 km和 100 km，运行速率分别为 v1 和 v2.那么，v 1 和 v2 的比值为(月球半径取 1 700 km)( )A. B. C. D.1918 1918 1819 1819答案 C解析 根据卫星运动的向心力
26、由万有引力提供，有 G m ，那么卫星的线速度跟Mmr h2 v2r h其轨道半径的平方根成反比，则有 .v1v2 r h2r h1 181910.a、b、c、d 是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星.其中 a、c 的轨道相交于 P，b、d 在同一个圆轨道上，b、c 轨道在同一平面上.某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图 3 所示，下列说法中正确的是( )图 3A.a、c 的加速度大小相等，且大于 b 的加速度B.b、c 的角速度大小相等，且小于 a 的角速度C.a、c 的线速度大小相等，且小于 d 的线速度D.a、c 存在在 P 点相撞的危险答案 A解析 由 G m m 2rm rm
27、a n 可知，选项 B、C 错误，选项 A 正确；因 a、cMmr2 v2r 42T2轨道半径相同，周期相同，由题图可知当 c 运动到 P 点与 a 不相撞，以后就不可能相撞了，选项 D 错误.11.两颗行星 A 和 B 各有一颗卫星 a 和 b，卫星轨道接近各自行星的表面，如果两行星的质量之比为 p，两行星的半径之比为 q，则两个卫星的周期之比 为( )MAMB RARB TaTbA. B.qpq pC.p D.qpq qp答案 D解析 卫星做匀速圆周运动时，万有引力提供做匀速圆周运动的向心力，则有：G mR( )2，得 T ，解得： q ，故 D 正确，A、B、C 错误.MmR2 2T 4
28、2R3GM TaTb qp【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律二、非选择题12.(天体质量、密度的计算)若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地.若羽毛和铁锤是从高度为 h 处下落，经时间 t 落到月球表面.已知引力常量为 G，月球的半径为 R.求：(不考虑月球自转的影响)(1)月球表面的自由落体加速度大小 g 月.(2)月球的质量 M.(3)月球的密度 .答案 (1) (2) (3)2ht2 2hR2Gt2 3h2RGt2解析 (1)月 球 表 面 附 近 的 物 体 做 自 由 落 体 运
29、动 h g 月 t2， 月 球 表 面 自 由 落 体 的 加 速 度 大 小 g12月 .2ht2(2)因不考虑月球自转的影响，则有 G mg 月 ，月球的质量 M .MmR2 2hR2Gt2(3)月球的密度 .MV2hR2Gt243R3 3h2RGt2【考点】万有引力定律和力学其他问题的综合应用【题点】重力加速度和抛体运动的综合问题13.(天体运动的分析与计算)如图 4 所示，A、B 为地球周围的两颗卫星，它们离地面的高度分别为 h1、h 2，已知地球半径为 R，地球表面重力加速度为 g，求：图 4(1)A 的线速度大小 v1；(2)A、B 的角速度大小之比 1 2.答案 (1) (2)g
30、R2R h1 R h23R h13解析 (1)设地球质量为 M， A 卫星质量为 m1，由万有引力提供向心力，对 A 有： m 1 GMm1R h12 v21R h1在地球表面对质量为 m的物体有： mgG MmR2由得 v1gR2R h1(2)由 G m 2(Rh)得，MmR h2 GMR h3所以 A、B 的角速度大小之比 .12 R h23R h13【考点】天体运动规律分析【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律14.(天体质量计算、天体运动分析) 我国发射了绕月运行探月卫星 “嫦娥一号” ，该卫星的轨道是圆形的，若已知绕月球运动的周期为 T 及月球的半径为 R，月球表面的重力加速度为 g月 ，引力常量为 G. 求：(1)月球质量；(2)探月卫星“嫦娥一号”离月球表面的高度.答案 (1) (2) Rg月 R2G 3g月 R2T242解析 (1)由 G mg 月MmR2得 Mg月 R2G(2)由 G m(R h)MmR h2 42T2得 h R R.3GMT242 3g月 R2T242
