1、观察与分析,我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，如果改变平面与圆锥曲线的夹角，会得到什么呢？,抛物线,双曲线,椭圆,如图：以上三个不垂直于圆锥轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，他们分别是抛物线，双曲线，和椭圆.,观察与分析,因此我们通常把抛物线，双曲线和椭圆统称为圆锥曲线.,圆锥曲线与科研、生活、以及人类生活有着密切的关系.,早在16，17世纪之交，开普勒就发现行星绕太阳运行是一个椭圆.,喷泉喷出美丽的抛物线,发电厂冷却塔的外形是双曲线,曲线与方程,曲线与方程的概念,平面解析几何研究的主要问题是： (1) 根据
2、已知条件，求出表示平面曲线的方程； (2) 通过方程，研究平面曲线的性质,用坐标系研究图形性质的基本思路是，借助于坐标系，把点与坐标，曲线与方程联系起来，从而达到形与数的结合；再通过方程对曲线的几何性质进行研究，把几何问题转化为代数问题来解决。,让我们回顾一下圆及其方程的意义。 如图，以点O为圆心，半径为r(r0)的圆，记作(O, r)，以O为原点建立直角坐标系xOy，我们可以得到圆的方程x2+y2=r2.,上述圆的方程表示的意义是：,（1）设M(x0, y0)是(O, r)上任意一点，则它到圆心O的距离等于r，,因而满足方程 ，即x2+y2=r2.,这就是说(x0, y0)是此方程的一个解；
3、如果点(x0, y0)不在(O, r)上，则必有，,即有x2+y2r2. (x0, y0)就不会是方程x2+y2=r2的解。,（2）如果(x0, y0)是方程x2+y2=r2的一个解，则可以推得，,即点M(x0, y0)到圆心的距离等于r，点M在(O, r)上；,如果(x0, y0)不是方程x2+y2=r2.的解，则可以推出,即点M(x0, y0)不在(O, r)上。,以上两点说明了(O, r)上的点与方程x2+y2=r2的解之间有一一对应关系。,我们知道(O, r)可以看成一个动点M运动的轨迹，于是在坐标平面上，当(O, r)上一个动点M运动时，点M的坐标(x, y)随着点M的运动而变化，点
4、M运动的轨迹可以用方程x2+y2=r2来表达。,一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为某种条件的点的轨迹方程。,一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)=0的形式。其中F(x，y)是关于x, y的解析式，例如y=x2可以写成x2y=0的形式。,在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)=0之间具有下列关系：（1）曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)=0的解；（2）以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。那么曲线C叫做方程F(x，y)=0的曲线，方程F(x，y)=0叫做曲线C的方程。,这就是说，如果曲线C的方程是F(x, y)=0. 则M (x，y)C F
5、(x，y)=0.,因此方程F(x，y)=0可作为描述曲线C的特征性质。曲线C用集合特征性质描述法，可以描述为C= M (x，y)| F(x，y)=0.,在坐标系选定以后，曲线被它的方程所惟一确定，但曲线的方程表示不是惟一的，除与我们选取的坐标系有关外，在同一坐标系下，还会有同解方程。,由两条曲线的方程，可求出这两条曲线的交点的坐标。,已知两条曲线C1和C2的方程分别为F(x，y)=0，G(x，y)=0，则交点的坐标必须满足上面两个方程，反之如果(x0, y0)是上面两个方程的公共解，则以(x0, y0)为坐标的点必定是两条曲线的交点。因此求两条曲线C1和C2的交点坐标，只要求方程组 的实数解就
6、可以得到。,思考与推论：,下面两个命题正确吗？ （1）到两条坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y=x；,（2）如图，MA和MB分别是动点M(x，y)与两定点A(1，0)，B(1，0)的连线，使AMB为直角的动点轨迹方程是：x2+y2=1.,不正确,不正确,例1. 已知两圆C1：x2+y2+6x16=0，C2：x2+y24x5=0，,求证：对任一不等于1的实数，方程x2+y2+6x16+(x2+y24x5)=0是通过两圆交点的圆的方程。,证明：方程x2+y2+6x16+(x2+y24x5)=0可以变形为 (1+)x2+(1+)y2+(64)x165=0,因为1，得,因为方程中等号右端大于0，所以它是
7、一个圆的方程，两圆的交点坐标满足已知圆的方程，当然也满足这个方程。因此此方程表示的圆通过两圆交点。,例2. 已知曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0的解，则下列命题中正确的是（ ） (A) 满足方程f(x，y)=0的点都在曲线C上 (B) 方程f(x，y)=0是曲线的方程 (C)曲线C是满足方程f(x，y)=0的曲线 (D) 方程f(x，y)=0的曲线包含曲线C上的任意一点,D,例3. 设圆M的方程为(x3)2+(y2)2=2,直线l的方程是x+y3=0，点P的坐标是(2，1)，那么（ ） (A) 点P在直线l上，但不在圆M上 (B) 点P不在直线l上，但在圆M上 (C) 点P在直线l上
8、，也在圆M上 (D) 点P不在直线l上，也不在圆M上,C,证明：与两条坐标轴的距离的积是常数k（k0）的点的轨迹方程是xy=k的解.,图2.1-3,证明： （1）如图2.1-3，设M（x0，y0） 是轨迹上的任一点. 因为点M与x轴的距离为|y0|， 与y轴的距离为|x0|，所以 |x0| |y0|=k，即（x0，y0）是 方程 x y=k的解.,如图2.1-3,（2）设点M1的坐标（x1，y1）是方程xy=k 的解则x1y1=k 即|x1|y1|=k，|x1|，|y1|正是点M1到纵轴和横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点.由（1）（2）可知x y =k是
9、与两条坐标的距离的积为常数k（k0）的点的轨迹方程.,已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是A（0，3），B（-2，0），C（2，0）. 问：中线AO（O为原点）所在直线的方程是 x = 0吗？为什么？,解：是，由图可知，等腰三角形ABC的边BC上的中线AO所在直线的方程是：x=0,这里的“曲线”指的是三角形ABC中BC的中线所在的直线x=0是这条曲线的方程.,在理解什么是“曲线”时，要注意曲线是满足条件的图形；在理解“方程”时，要注意方程包含对其中未知数的限制.比如本例题中，三角形ABC中BC的中线的方程是x=0（0y3）.,注意！,课堂练习,1. 下列各组方程中表示相同曲线的是（ ）,(A)
10、(B),(C) (D),D,2. 已知直线l：x+y3=0及曲线C：(x3)2+ (y2)2=2，则点M(2，1)（ ）,(A) 在直线l上，但不在曲线C上 (B) 在直线l上，也在曲线C上 (C) 不在直线l上，也不在曲线C上 (D) 不在直线l上，但在曲线C上,B,3. 曲线y= x2与x2+y2=5的交点是（ ）,(2，1) (B) (2，1),(C) (2，1)或(2 ，5) (D) (2，1)或(2 ，5),B,4. 命题“曲线S上的点的坐标满足方程F(x，y)=0”是正确的，则下列命题正确的一个是（ ）,(A)方程F(x，y)=0的曲线是S (B) 满足方程F(x，y)=0的点都在
11、曲线S上 (C)曲线S是方程F(x，y)=0的轨迹 (D)方程F(x，y)=0的曲线不一定是S,D,5. 方程4x2y2+4x+2y=0表示的曲线是（ ）,一个点 (B) 两条互相平行的直线,(C) 两条相交但不垂直的直线 (D) 两条相互垂直的直线,C,6. 经过两圆2x2+2y23x+4y=0与x2+y2+ 2x+6y6=0的交点的直线方程为。,7. P(m+1，m+4)在曲线y=x2+5x+3上，则m的值为 。,7x+8y12=0,1或5,8. “点M在曲线y=|x|上”是“点M到两坐标轴距离相等”的 条件。,9. 已知02，点P(cos ，sin )在曲线(x2)2+y2=3上，则的值为 .,充分不必要,10.已知ABC的面积为4，A、B两点的坐标分别是（2，0）、（2，0），则顶点C的轨迹方程是 _ .,y=2和 y =2,解：如图，设围成四边形为OABC，因OABC有外接圆，且AOC90，故ABC90. 两条直线x+3y-7=0,kx y 2 = 0互相垂直，(- )k=-1，即k=3.,11.已知直线x+3y-7=0， kx-y-2=0和x轴、y轴围成 四边形有外接圆，求k.,
