1、5.3直线与平面的夹角,1共面直线的夹角 当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在_内的角叫作两直线的夹角 2异面直线的夹角 当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作ABl2，我们把直线l1与直线AB的夹角叫作异面直线l1和l2的夹角,s1，s2,s1，s2,|coss1，s2|,n1，n2,n1，n2,|cosn1，n2|,|cosn，a|,4由于两条直线所成的角，线面角都是锐角或直角，因此可直接通过绝对值来表达，故可直接求出，而二面角的范围是0，有时比较难判断二面角是锐角还是钝角，因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断，故这是求二面角的难点 5异面直线夹角与
2、向量夹角的差异 根据异面直线所成角的定义得两条异面直线的夹角为锐角或直角，而向量夹角的范围为0，所以从范围上讲，这两个角并不一致，但却有着相等或互补的关系，所以它们的余弦值相等或互为相反数(向量夹角为0和时除外),1若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于( ) A120 B60 C30 D以上均错 答案 C,异面直线所成的角,总结反思 (1)向量法求异面直线所成的角的特点是程序化，即建坐标系，设点，求向量，考查数量积 (2)方法二是求两异面直线所成的角的一般方法：通常是平移变异面直线为相交直线，然后解三角形 在求两条直线所成的角时，容易忽略了两直线所成角的
3、范围 用方向向量所成的角表示异面直线所成角的大小时，若向量夹角为锐角(或直角)，则等于异面直线所成的角；若向量夹角为钝角，则它的补角等于异面直线所成的角,求二面角的大小,总结反思 本题考查空间中线面关系的判定、空间角的求法在判断空间中直线位置关系时，常用勾股定理逆定理来证明线线垂直；求二面角的平面角是高考重点，可用空间向量来解决还有面积法、异面直线法，作三垂线定理法等要灵活应用,证明 解法1：(1)连接OC，因为OAOC，D是AC的中点，所以ACOD 又PO底面O，AC底面O，所以ACPO，因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC 平面POD，而AC平面PAC，所以平面POD平面P
4、AC,(2013新课标理，18)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.,直线与平面的夹角,(1)证明：ABA1C； (2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值,解析 (1)取AB中点O，连接CO，A1B ，A1O， ABAA1，BAA160，BAA1是正三角形， A1OAB，CACB，COAB， COA1OO，AB平面COA1，ABA1C (2)由(1)知OCAB，OA1AB， 又平面ABC平面ABB1A1，平面ABC平面ABB1A1AB，OC平面ABB1A1，OCOA1，,如图所示，已知直角梯形ABCD，其中
5、ABBC2AD，AS平面ABCD，ADBC，ABBC，且ASAB求直线SC与底面ABCD的夹角的余弦值,(2014天津理)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点,向量法的综合应用,(1)证明：BEDC； (2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值； (3)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值,解析 解法一：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，由E为棱PC的中点， 得E(1,1,1),方法二：(1)证明：如图，取PD中
6、点M，连接EM，AM.,(3)解：如图，在PAC中，过点F作FHPA交AC于点H，因为PA底面ABCD，故FH底面ABCD，从而FHAC，,又BFAC，得AC平面FHB，因此ACBH，在底面ABCD内，可得CH3HA，从而CF3FP，在平面PDC内，作FGDC交PD于点G，于是DG3GP，由于DCAB，故GFAB，所以A，B，F，,G四点共面，由ABPA，ABAD，得AB平面PAD，故ABAG，所以PAG为二面角FABP的平面角,总结反思 (1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的 (2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量的夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角,
