1、12 太阳与行星间的引力3 万有引力定律学习目标 1.知道太阳与行星间存在引力.2.能利用开普勒定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星之间的引力表达式.3.理解万有引力定律内容、含义及适用条件.4.认识万有引力定律的普遍性，能应用万有引力定律解决实际问题.一、太阳与行星间的引力1.太阳对行星的引力：太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，即 F .mr22.行星对太阳的引力：太阳与行星的地位相同，因此行星对太阳的引力和太阳对行星的引力规律相同，即 F .Mr23.太阳与行星间的引力：根据牛顿第三定律 F F，所以有 F ，写成等式就是 F G .Mmr2 Mmr
2、2二、月地检验1.猜想：维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”的规律.2.推理：根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度大约是它在地面附近下落时的加速度的 .16023.结论：地面物体所受的地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同(填“相同”或“不同”)的规律.三、万有引力定律1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 m1和 m2的乘积成正比、与它们之间距离 r 的二次方成反比.2.表达式： F G .m1m2r23.引力常量 G：由英国物理学家卡文迪许测量得出，常取 G6.6710
3、 11 Nm2/kg2.1.判断下列说法的正误.2(1)万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间.( )(2)引力常量是牛顿首先测出的.( )(3)物体间的万有引力与它们间的距离成反比.( )(4)根据万有引力定律表达式可知，质量一定的两个物体若距离无限靠近，它们间的万有引力趋于无限大.( )2.两个质量都是 1kg 的物体(可看成质点)，相距 1m 时，两物体间的万有引力F_N，一个物体的重力 F_N，万有引力 F 与重力 F的比值为_.(已知引力常量 G6.6710 11 Nm2/kg2，重力加速度 g10 m/s 2)答案 6.6710 11 10 6.6710 12【考点】万有
4、引力大小的分析与计算【题点】质点间引力的计算一、对太阳与行星间引力的理解1.两个理想化模型(1)将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动.(2)将天体看成质点，且质量集中在球心上.2.推导过程例 1 (多选)根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动的知识知：太阳对行星的引力F ，行星对太阳的引力 F ，其中 M、 m、 r 分别为太阳质量、行星质量和太阳与行mr2 Mr2星间的距离，下列说法正确的是( )A.由 F 和 F ，得 F F m MMr2 mr2B.F 和 F大小相等，是作用力与反作用力C.F 和 F大小相等，是同一个力D.太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力3答案 BD解
5、析 F和 F 大小相等、方向相反，是作用力和反作用力，太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力，故正确答案为 B、D.【考点】太阳与行星间引力的推导【题点】太阳与行星间引力的理解二、月地检验月地检验的推理与验证(1)月地检验的目的：检验维持月球绕地球运动的力与使物体下落的力是否为同一种性质的力，是否都遵从“平方反比”的规律.(2)推理：月心到地心的距离约为地球半径的 60 倍，如果月球绕地球运动的力与地面上使物体下落的力是同一性质的力，则月球绕地球做圆周运动的向心加速度应该大约是它在地面附近下落时加速度的 .1602(3)验证：根据已知的月地距离 r，月球绕地球运动的周期 T，由 a
6、月 r，计算出的月4 2T2球绕地球的向心加速度 a 月 ，近似等于 ，则证明了地球表面的重力与地球吸引月球的力g602是相同性质的力.例 2 “月地检验”的结果说明( )A.地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质的力B.地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力不是同一种性质的力C.地面物体所受地球的引力只与物体的质量有关，即 G mgD.月球所受地球的引力只与月球质量有关答案 A解析 地面上的物体所受地球的引力和月球所受地球的引力是同一种性质的力.三、万有引力定律如图 1 所示，天体是有质量的，人是有质量的，地球上的其他物体也是有质量的.图 1(1)任意两个物体之间都存在万
7、有引力吗？为什么通常两个物体间感受不到万有引力，而太阳对行星的引力可以使行星围绕太阳运转？4(2)地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？答案 (1)任意两个物体间都存在着万有引力.但由于地球上物体的质量一般很小(与天体质量相比)，地球上两个物体间的万有引力远小于地面对物体的摩擦力，通常感受不到，但天体质量很大，天体间的引力很大，对天体的运动起决定作用.(2)相等.它们是一对相互作用力.1.万有引力定律表达式 F G ，式中 G 为引力常量. G6.6710 11 Nm2/kg2，由英国m1m2r2物理学家卡文迪许在实验室中比较准确地测出.测定 G 值的意义：(1)证明了万有引力定律
8、的存在；(2)使万有引力定律有了真正的实用价值.2.万有引力定律的适用条件严格地说，万有引力定律适用于计算质点间的相互作用的引力大小.常见情况如下：适用于计算两个质量分布均匀的球体间的万有引力，其中 r 是两个球体球心间的距离.计算一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力，其中 r 为球心与质点间的距离.当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，其中 r 为两物体质心间的距离.3.万有引力的特点：(1)万有引力的普遍性.万有引力不仅存在于星球间，任何客观存在的有质量的物体之间都存在着这种相互吸引力.(2)万有引力的相互性.两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相
9、等，方向相反，分别作用于两个物体上.(3)万有引力的宏观性.在通常情况下，万有引力非常小，只是在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间，它的存在才有实际的物理意义.例 3 (多选)对于质量分别为 m1和 m2的两个物体间的万有引力的表达式 F G ，下列m1m2r2说法中正确的是( )A.公式中的 G 是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的B.当两个物体间的距离 r 趋于零时，万有引力趋于无穷大C.m1和 m2所受引力大小总是相等的D.质量大的物体受到的引力大答案 AC解析 引力常量 G 的值是由英国物理学家卡文迪许通过实验测定出来的，A 正确.两个物体5之间的万有引力是一对作用力与
10、反作用力，它们总是大小相等、方向相反，分别作用在两个物体上，C 正确，D 错误.当 r 趋于零时，这两个物体不能看成质点，万有引力公式不再适用，B 错误.【考点】万有引力定律的理解【题点】万有引力定律的理解对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可依据F G 得出 r0 时 F的结论而违背公式的物理含义.因为，此时由于 r0，物体已m1m2r2不再能看成质点，万有引力公式已不再适用.例 4 如图 2 所示，两球间的距离为 r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为 m1、 m2，半径大小分别为 r1、 r2，则两球间的万有引力大小为( )图 2A.G B.Gm1m2
11、r2 m1m2r12C.G D.Gm1m2r1 r22 m1m2r1 r2 r2答案 D解析 两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由万有引力公式可知两球间的万有引力应为 G ，故选 D.m1m2r1 r2 r2【考点】万有引力大小的分析与计算【题点】质量分布均匀的球体间引力的计算四、重力和万有引力的关系1.物体在地球表面上所受引力与重力的关系地球在不停地自转，地球上的物体随着地球自转而做圆周运动，做圆周运动需要一个向心力，所以重力不直接等于万有引力而是近似等于万有引力，如图 3，万有引力为 F 引 ，重力为 G，自转向心力为 F.当然，真实情况不会有这么大偏差.6图 3(1)物体在一般位置
12、时F mr 2， F、 F 引 、 G 不在一条直线上，重力 G 与万有引力 F 引 方向有偏差，重力大小mgG .MmR2(2)当物体在赤道上时， F达到最大值 Fmax，Fmax mR 2，此时重力最小；Gmin F 引 Fmax G mR 2.MmR2(3)当物体在两极时 F0G F 引 ，重力达到最大值 Gmax G .MmR2可见只有在两极处重力等于万有引力，其他位置重力小于万有引力.(4)由于地球自转角速度很小，自转所需向心力很小，一般情况下认为重力近似等于万有引力， mg G ， g 为地球表面的重力加速度.MmR22.重力与高度的关系若距离地面的高度为 h，则 mg G (R
13、为地球半径， g为离地面 h 高度处的重力加MmR h2速度).所以在同一纬度距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小.例 5 火星半径是地球半径的 ，火星质量大约是地球质量的 ，那么地球表面上质量为12 1950kg 的宇航员(在地球表面的重力加速度 g 取 10m/s2)(1)在火星表面上受到的重力是多少？(2)若宇航员在地球表面能跳 1.5m 高，那他在火星表面能跳多高？答案 (1)222.2N (2)3.375m解析 (1)在地球表面有 mg G ，得 g GMmR2 MR27同理可知，在火星表面上有 g GMR 2即 g g m/s2G19M12R2 4GM9R2 4
14、9 409宇航员在火星表面上受到的重力G mg50 N222.2N.409(2)在地球表面宇航员跳起的高度 Hv022g在火星表面宇航员跳起的高度 hv022g综上可知， h H 1.5m3.375m.gg 10409【考点】万有引力和重力的关系【题点】利用“万有引力重力”计算重力加速度1.(对万有引力定律的理解)关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是( )A.不能看做质点的两物体间不存在相互作用的引力B.只有能看做质点的两物体间的引力才能用 F 计算Gm1m2r2C.由 F 知，两物体间距离 r 减小时(没有无限靠近)，它们之间的引力增大Gm1m2r2D.引力常量的大小首先是牛顿测出来的，
15、且约等于 6.671011 Nm2/kg2答案 C解析 任何物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A 错；两个质量分布均匀的球体间的万有引力也能用 F 来计算，B 错；物体间的万有引力与它们间距离 r 的二次Gm1m2r2方成反比，故 r 减小，它们间的引力增大，C 对；引力常量 G 是由卡文迪许首先精确测出的，D 错.【考点】万有引力定律的理解【题点】万有引力定律的理解2.(万有引力公式的简单应用)两个质量分布均匀的球体，两球心相距 r，它们之间的万有引力为 108 N，若它们的质量、球心间的距离都增加为原来的 2 倍，则它们之间的万有引8力为( )A.108 N B.0.25108 N
16、C.4108 N D.104 N答案 A解析 原来的万有引力为 F GMmr2后来变为 F G G2M2m2r2 Mmr2即 F F10 8 N，故选项 A 正确.【考点】万有引力大小的分析与计算【题点】质量分布均匀的球体间引力的计算3.(万有引力定律的简单应用)两个完全相同的实心均质小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为 F.若将两个用同种材料制成的半径是小铁球 2 倍的实心大铁球紧靠在一起，则两大铁球之间的万有引力为( )A.2FB.4FC.8FD.16F答案 D解析 两个小铁球之间的万有引力为 F G G .实心小铁球的质量为 m V mm2r2 m24r2 r3，大铁球的半径是小铁球的
17、 2 倍，则大铁球的质量 m与小铁球的质量 m 之比为43 8，故两个大铁球间的万有引力为 F G 16 F.故选 D.mm r 3r3 m mr 2【考点】万有引力大小的分析与计算【题点】质量分布均匀的球体间引力的计算4.(重力加速度的计算)设地球表面重力加速度为 g0，物体在距离地心 4R(R 是地球的半径)处，由于地球的引力作用而产生的加速度为 g，则 为( )gg0A.1B. C. D.19 14 116答案 D解析 地球表面处的重力加速度和距离地心 4R 处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有：地面上： G mg0mMR2距离地心 4R 处： G mgmM4R29联立两式得
18、( )2 ，故 D 正确.gg0 R4R 116【考点】万有引力和重力的关系【题点】利用“万有引力重力”计算重力加速度一、选择题考点一 万有引力定律的理解1.(多选)关于引力常量 G，下列说法中正确的是( )A.G 值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值B.引力常量 G 的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比C.引力常量 G 在数值上等于两个质量都是 1kg 的可视为质点的物体相距 1m 时的相互吸引力D.引力常量 G 是不变的，其数值大小由卡文迪许测出，与单位制的选择无关答案 AC解析 牛顿提出了万有引力之后的 100 年中由于 G 值没有测出，而只能进行定性分析， G
19、值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值，选项 A 正确；引力常量是一个常数，其大小与质量以及两物体间的距离无关，选项 B 错误；根据万有引力定律可知，引力常量 G 在数值上等于两个质量都是 1 kg 的可视为质点的物体相距 1 m 时的相互吸引力，选项 C 正确；引力常量是定值，其数值大小由卡文迪许测出，但其大小与单位制的选择有关，选项 D 错误.【考点】万有引力定律的理解【题点】引力常量的理解2.2018 年 6 月 5 日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“风云二号 H 星”.假设该卫星质量为 m，在离地面高度为 h 的轨道上绕地球做匀速圆周运动.已知地球质量为 M，半径为R，引力常量为
20、G，则地球对卫星的万有引力大小为( )A.G B.GMmh2 MmR hC.G D.GMmR MmR h2答案 D解析 根据万有引力定律可知 F G ，故选 D.MmR h2【考点】万有引力定律的理解【题点】万有引力定律的理解103.地球的质量是月球质量的 81 倍，若地球吸引月球的力为 F，则月球吸引地球的力的大小为( )A. B.FF81C.9F D.81F答案 B【考点】万有引力定律的理解【题点】万有引力定律的理解考点二 万有引力定律的简单应用4.要使两物体间的万有引力减小到原来的 ，下列办法不正确的是( )14A.使两物体的质量各减小一半，距离不变B.使其中一个物体的质量减小到原来的
21、，距离不变14C.使两物体间的距离增大到原来的 2 倍，质量不变D.两物体的质量和距离都减小到原来的14答案 D解析 万有引力定律的表达式为 F G ，根据该公式可知，使两物体的质量各减小一半，Mmr2距离不变，则万有引力变为原来的 ，A 正确；使其中一个物体的质量减小到原来的 ，距14 14离不变，则万有引力变为原来的 ，B 正确；使两物体间的距离增大到原来的 2 倍，质量不14变，则万有引力变为原来的 ，C 正确；两物体的质量和距离都减小到原来的 ，则万有引14 14力大小不变，D 错误.【考点】万有引力大小的分析与计算【题点】万有引力大小的分析与计算5.某物体在地面上受到地球对它的万有引
22、力为 F.若此物体受到的引力减小到 ，则此物体F4距离地面的高度应为( R 为地球半径)( )A.2RB.4RC.RD.8R答案 C解析 根据万有引力定律有 F G ， F G ，解得 h R，选项 C 正确.MmR2 14 MmR h2【考点】万有引力大小的分析与计算11【题点】万有引力大小的分析与计算6.地球质量大约是月球质量的 81 倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心的距离之比为( )A.19B.91C.110D.101答案 C解析 设月球质量为 m，则地球质量为 81m，地月间距离为 r，飞行器质量为
23、m0，当飞行器距月球球心的距离为 r时，地球对它的引力等于月球对它的引力，则G G ，所以 9， r10 r， r r110，故选项 C 正确.mm0r 2 81mm0r r 2 r rr【考点】万有引力大小的分析与计算【题点】万有引力大小的分析与计算7.如图 1 所示，一个质量均匀分布的半径为 R 的球体对球外质点 P(图中未画出)的万有引力为 F.如果在球体中央挖去半径为 r 的一部分球体，且 r ，则原球体剩余部分对质点 PR2的万有引力变为( )图 1A. B.F2 F8C. D.7F8 F4答案 C解析 利用填补法来分析此题.原来物体间的万有引力为 F，挖去的半径为 的球体的质量R2
24、为原来球体质量的 ，其他条件不变，故剩余部分对质点 P 的万有引力为 F F.18 F8 78【考点】万有引力大小的分析与计算【题点】填补法计算引力8.(多选)如图 2 所示，三颗质量均为 m 的地球同步卫星等间隔分布在半径为 r 的圆轨道上，设地球质量为 M，半径为 R，下列说法正确的是( )12图 2A.地球对一颗卫星的引力大小为GMmr R2B.一颗卫星对地球的引力大小为GMmr2C.两颗卫星之间的引力大小为Gm23r2D.三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMmr2答案 BC解析 地球与一颗卫星间的引力大小为 ，A 错误，B 正确.由几何关系可知两卫星之间的GMmr2距离为 r，两卫星之
25、间的引力为 ，C 正确.三颗卫星对地球引力的合力大小为3Gmm3r2 Gm23r2零，D 错误.【考点】万有引力大小的分析与计算【题点】万有引力大小的分析与计算考点三 重力加速度的计算9.地球半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，若高空中某处的重力加速度为 ，则该处距g2地球表面的高度为( )A.( 1) R B.R2C. R D.2R2答案 A解析 万有引力近似等于重力，设地球的质量为 M，物体质量为 m，物体距地面的高度为h，分别列式 mg， G m ，联立得 2R2( R h)2，GMmR2 MmR h2 g2解得 h( 1) R，选项 A 正确.2【考点】万有引力和重力的关系【题点】
26、万有引力和重力及重力加速度的关系10.某地区的地下发现了天然气资源，如图 3 所示，在水平地面 P 点的正下方有一球形空腔13区域内储藏有天然气.假设该地区岩石均匀分布且密度为 ，天然气的密度远小于 ，可忽略不计.如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为 g；由于空腔的存在，现测得 P 点处的重力加速度大小为 kg(k1).已知引力常量为 G，球形空腔的球心深度为 d，则此球形空腔的体积是( )图 3A. B.kgdG kgd2GC. D.1 kgdG 1 kgd2G答案 D解析 如果将近地表的球形空腔填满密度为 的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满密度为 的岩石
27、，地面质量为 m 的物体的重力为 mg，没有填满时重力是 kmg，故空腔填满的岩石所引起的引力为(1 k)mg，根据万有引力定律有(1 k)mg G ，解得 V ，故选 D. Vmd2 1 kgd2G【考点】万有引力和重力的关系【题点】万有引力和重力及重力加速度的关系二、非选择题11.(万有引力定律的应用)火星半径为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的 .一位宇19航员连同宇航服在地球上的质量为 100kg，则在火星上其质量为多少？重力为多少？(设地面上重力加速度 g9.8m/s 2，星球对物体的引力等于物体的重力)答案 100kg 436N解析 质量是物体本身的属性，在不同的星球上物体质量
28、不变，还是 100kg.由 G 重 G 得，在火星表面物体重力与地球表面物体重力之比MmR2 G重 火G重 地 M火M地 R地 2R火 2 19 221 49所以物体在火星上的重力 G 重火 1009.8N436N.49【考点】万有引力和重力的关系【题点】万有引力和重力及重力加速度的关系1412.(万有引力定律的应用)一个质量均匀分布的球体，半径为 2r，在其内部挖去一个半径为 r 的球形空穴，其表面与球面相切，如图 4 所示.已知挖去小球的质量为 m，在球心和空穴中心连线上，距球心 d6 r 处有一质量为 m2的质点，求：图 4(1)被挖去的小球对 m2的万有引力为多大？(2)剩余部分对 m
29、2的万有引力为多大？答案 (1) G (2) Gmm225r2 41mm2225r2解析 (1)被挖去的小球对 m2的万有引力为F2 G Gmm25r2 mm225r2(2)将挖去的小球填入空穴中，由 V r3可知，大球的质量为 8m，大球对 m2的引力为43F1 G G8mm26r2 2mm29r2m2所受剩余部分的引力为 F F1 F2 G .41mm2225r2【考点】万有引力大小的分析与计算【题点】填补法计算引力13.(重力与万有引力)某物体在地面上受到的重力为 160N，将它放置在卫星中，在卫星以a g 的加速度随火箭向上加速升空的过程中，当物体与卫星中支持物的相互挤压的力为1290N 时，卫星距地球表面有多远？(地球半径 R 地 6.410 3km， g 表示地面处重力加速度，g 取 10m/s2)答案 1.9210 4km解析 卫星的升空过程可以认为是竖直向上的匀加速直线运动，设卫星离地面的距离为h，这时受到地球的万有引力为 F G .MmR地 h2在地球表面 G mgMmR地 2在上升至离地面 h 时， FN G ma.MmR地 h2由式得 ，R地 h2R地 2 mgFN ma15则 h( 1) R 地 .mgFN ma代入数值解得 h1.9210 4km.【考点】万有引力定律的综合应用【题点】火箭发射过程的超重现象
