1、数学奥林匹克高中训练题(188)第一试1、填空题（每小题 8分，共 64分）1. 已知函数 .设 为任意锐角三角形的三个内角 .则21()()xf、 、.(tanttancot(t)(cot)ffffff2. 计算： .303030si2i1si43. 设 ，且 .则 的最小值 为.abR、 ab22(,)1409fabab4. 已知四面体 的四个面 的面积分别为ABCDBCDABC、 、 、，顶点 到面 的距离为 .则 .12837、 、 、 h5. 已知向量 为平面内两个互相垂直的单位向量，且 .则ab、 (3)40acbAc的最大值为.6. 若曲线 的内接 的重心为其焦点 .则 .24y
2、xABCF22BFC7. 已知数列 满足 .则数列 的通项公式 为.na211(1),nana8. 集合 ，对于正整数 ，集合 的任一 元子集中必有一个数为另外,20S mS个数乘积的约数.则 的最小可能值为.1m二、解答题（共 56分）9.（16 分）设实数 满足abcd、 、 、 223,1.abcdab证明： .3333(1)()(1)()abcd10.（20 分）设 ，且 .0abc、 、 1abc证明： .22291(1)(1)()()(1)()abca11.（20 分）设 为椭圆 长轴的两顶点， 为椭圆上任意一点，AB、21(0)xyabP过 作椭圆的切线 ，与过点 的切线分别交于
3、点 分别为左、右焦点.证PCD、 CDMN、 、 、明： .09MN加 试一、 （40 分）在 中，设 ，垂足为 分别为ABC09,CDABPQ、 、的内心， 与 交于点 ，记 的面积为 .证明：D、 PQKS.21CKS二、 （40 分）设 .证明：(1,2)(iabinRZ、.2111()nniiiiibab三、 （50 分）求最小的实数 ，使得对任意正整数 ，均有 ，其中n,5n，表示正整数 的最大公约数， 表示不超过实数 的最大整数.(,)abab、 xx4、(50 分)设 为一个正整数，三维空间内的点集 满足下述性质：nS（1）空间内不存在 个平面，使得点集 中的每个点至少在这 个平面中的一个平面上；n（2）对于每个点 ，均存在 个平面，使得 中的每个点均至少在这 个平XSnSx n面中的一个平面上.求点集 中点的个数的最小值与最大值.S
