1、数学奥林匹克高中训练题(176)第一试1、填空题（每小题 8 分，共 64 分）1. 设 .则 .1()()ininixgC(2014)g2. 设函数 .若存在 ，使得 ，则实数 的2()()fxxaR,be()fba取值范围是.3. 已知数列 满足 .则数列 的通项 .nx112,()nxnxn4. 化简： .4204cosscos0555. 如图 1，在 中，已知 为 的中点，点 分别在边 上，且ABCOBMN、 ABC、.则 .06,4,3,9MNcos6. 已知 ，且 .则 .abc+R、 、 12,45abcabminax,bc7. 已知 是 所在平面 外一点， 平面 ， .则PAB
2、CPA226,t3BPCPBC点 到平面 的距离的最大值是.8. 的个位数字是.109二、解答题（共 56 分）9.（16 分）已知 ，圆 ，过圆2:4OxyA22:(5cos)(5sin)1()MxyR上任意一点 作 的两条切线 ，切点分别为 .试求 的最小值.MPPEF、 EF、 PA10. （20 分）设函数 ，其中， ，且 .()log(1)log(1)aafxxx0a1（1）当 时，若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围；al8af（2）若 ，证明： .0()1fx01x11.（20 分）设 ，2013201 130202013204() ()fxaxaxx.求 的值.0121,
3、()nnbbN1ib加 试一、 （40 分）设 是 外接圆上一点， 分别是点 在边 上的PABCXYZ、 、 PBCA、 、射影.若点 与 分别在边 的两侧，证明： .BCA二、 （40 分）已知函数 ，且满足 .证明：对任意的正1,abc、 、 22abcc整数 均有 .n221()nn三、 （50 分）设 是 的十进制写法中最后一个非零数字.证明： 是无理数.nh! 120.h四、 （50 分）在一次数学会议上，任意两位数学家要么是朋友，要么是陌生人.在进餐期间，每位数学家在两个大餐厅中的其中一个就餐，每位数学家所在的餐厅中包含偶数个他（或她）的朋友.证明：数学家能被分到两个餐厅中的不同分法的数目是 2 的正整数次幂（即形如 ，2k其中， 是某个正整数）.k
