1、数学奥林匹克高中训练题(184)第一试1、填空题（每小题 8分，共 64分）1. 已知定义在复数 集上的函数（ 为复数）.若 与2()4fzizpqpq、 (1)f均为实数，则 的最小值为.()fipq2. 已知函数 ，且满足 .则()sincos()fxabxaZ、 ()0()0xfxf的最大值为.a3. 已知三棱锥 的底面是以 为斜边的等腰直角三角形，且SABCAB.则三棱锥 外接球表面积为.2SASC4. 记 .则 的最小值为.223(,)(0)xFxyy(,)Fxy5. 设任意实数 .要使abcd恒成立，则 的最小值 为.log2014llog2014log2014ac db camm
2、6. 设 是定义在 上的函数，对任意的 ，均有()fxRxR.设 .若 则3,(2)(fxf()gfx(4)201f.(2014)f7. 若非负整数 在求和时恰进位一次（十进制下） ，则称有序数对 为“好的”.mn、 (,)mn那么，所有和为 2014的好的有序数对的个数为.8. 已知非负实数 满足 .则 的取值范围是.uvw、 、 2uv22uvwu二、解答题（共 56分）9.（16 分）设数列 满足 .试求通项的表达式.na11,2()1,2)nna10.（20 分）如图 1，已知 ， 分别为 的外心、重心，(,0)1,ABQG、 ABC.QGAB（1）求点 的轨迹 的方程.CE（2）设（
3、1）中的轨迹 与 轴的两个交点为 （ 位于 下方） ，动点y12A、 12A均在轨迹 上，且满足 ，试问直线 与 的交点 是否恒在某条MN、 1AMNMP定直线 上？若是，求出直线 的方程；若不是，请说明理由.ll11.（20 分）设 均取正实数，且 .求三元函数xyz、 、 1xyz的最小值，并给出证明.22233(,)11zfxyz加 试一、 （40 分）如图 2，在 中， ， 为 的垂心， 为边 的中点，ABCHABCMBC点 在边 上且满足 ，点 在直线 上的投影为 .证明： 的SBHMSSPS外接圆与 的外接圆相切.二、 （40 分）设 ，定义： .证明：当 时，kZ211(1), ,)knnAn 1n为整数，且 为奇数当且仅当 或 .nAn2(mod4)三、 （50 分）已知 .证明： ，1,2xyz、 、 18116xyzzyzxy并指出等号成立的条件.四、(50 分)证明：存在由 2014个正整数组成的集合 ，具有下面性质：若集合 S的子集S满足对任意 ，均有 ，则 .A,aAa、 152A
