1、12.3 数学归纳法学习目标 重点难点1了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.重点：数学归纳法的原理难点：数学归纳法的应用.数学归纳法一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有_公理：如果(1)当 n 取第一个值_时结论正确；(2)假设当_( kN *，且 k n0)时_，证明当_时结论也正确那么，命题对于从 n0开始的所有正整数 n 都成立预习交流 1做一做：用数学归纳法证明 123 n (nN *)，从 k 到 k1 时，左n(n 1)2端增加的式子为_预习交流 2用数学归纳法应注意哪些步骤？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我
2、的学困点 我的学疑点答案：预习导引数学归纳法 (1) n0(例如 n01,2 等) (2) n k结论正确 n k1预习交流 1：提示： k1预习交流 2：提示：两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)，就作出判断可能得出不正确的结论因为单靠步骤(1)无法递推下去，即 n 取 n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定同样，只有步骤(2)而缺少步骤(1)，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了用数学归纳法证明有关问题的关键在于第二步，即 n k1 时为什么成立 n k1时成立是利用假设 n k 时成立，根据有关的定理、定义、公式
3、、性质等数学结论推证出n k1 时成立，而不是直接代入，否则 n k1 时也成假设了，命题并没有得到证明用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都可用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析2一、用数学归纳法证明等式或不等式证明 122 23 24 2(2 n1) 2(2 n)2 n(2n1)思路分析：用数学归纳法证明等式时要注意等式两边的项数随 n 怎样变化，即由 n k到 n k1 时，左右两边各增添哪些项用数学归纳法证明： .112 134 1(2n 1)2n 1n 1 1n 2 1n n可用数学归纳法来证明关于自然数 n 的恒等式，证明时两步缺一不可，第一步必须验证
4、，证明 n k1 时成立，必须用到假设 n k 成立的结论二、用数学归纳法证明几何问题有 n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成 f(n) n2 n2 个部分思路分析：由 k 到 k1 时，研究第 k1 个圆与其他 k 个圆的交点个数问题证明：凸 n 边形的对角线的条数 f(n) n(n3)( n4)12(1)几何问题常常是先探索出满足条件的公式，然后加以证明，探索的方法是由特殊猜出一般结论(2)关键步骤的证明可以先用 f(k1) f(k)得出结果，再结合图形给予严谨的说明(3)几何问题的证明一要注意数形结合，二要注意要有必要的文字说明三、
5、归纳猜想证明已知等差数列 an，等比数列 bn，且 a1 b1， a2 b2(a1 a2)， an0( nN *)(1)比较 a3与 b3， a4与 b4的大小，并猜想 an与 bn(n3)的大小关系；(2)用数学归纳法证明猜想的正确性思路分析：数列的通项公式应注意由 n k 到 n k1 时的变化情况，增加哪些项是难点，注意观察寻找规律数列 an满足 Sn2 n an， nN *.(1)计算 a1， a2， a3， a4，并由此猜想通项公式 an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想观察、归纳、猜想、证明是一个完整的思维过程，既需要探求和发现结论，又需要证明所得结论的正确性，是一种十分重要的
6、思维方法观察特殊事例时要细，要注意所研讨特殊事例的特征及相互关系，关系不明时应适当变形，由观察、归纳、猜想得到的结论，可能是正确的也可能是错误的，需要由数学归纳法证明1设 f(n)1 ，则 f(k1) f(k)_.12 13 14 12n 12用数学归纳法证明 1 a a2 an1 (nN *， a1)，在验证 n1 成1 an 21 a立时，左边所得的项为_3已知数列 ， ， ， ，的前 n 项和为 Sn，计算得112 123 134 1n(n 1)S1 ， S2 ， S3 ，由此可猜测 Sn_.12 23 3434平面内原有 k 条直线，它们的交点个数为 f(k)，则增加一条直线后，它们的
7、交点个数最多为_5求证： (n2， nN *)1n 1 1n 2 13n 56提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.知识精华 技能要领答案：活动与探究 1：证明：(1)当 n1 时，左边1 22 23，右边1(211)3，左边右边，等式成立(2)假设当 n k 时等式成立，即 122 23 24 2(2 k1) 2(2 k)2 k(2k1)成立则当 n k1 时，左边1 22 23 24 2(2 k1) 2(2 k)22( k1)1 22( k1) 2 k(2k1)(2 k1) 2(2 k2) 2(2 k1)( k1)4( k1) 2( k1
8、)2 k14( k1)( k1)(2 k3)( k1)2( k1)1右边，当 n k1 时，等式成立由(1)(2)可知对于任意正整数 n，等式都成立迁移与应用：证明：(1)当 n1 时，左边 ，右边 ，等式成立112 12 12(2)假设当 n k 时，等式成立，即 ，112 134 1(2k 1)2k 1k 1 1k 2 12k则当 n k1 时， 112 134 1(2k 1)2k 1(2k 1)(2k 2) 1k 1 1k 2 12k 1(2k 1)(2k 2) 1k 2 1k 3 12k 1k 1 1k 2 1k 3 12k 12k 1 12k 2 ，1(k 1) 1 1(k 1) 2
9、 1(k 1) k 1(k 1) (k 1)即当 n k1 时，等式成立根据(1)(2)可知，对一切 nN*，等式成立活动与探究 2：证明：(1)当 n1 时，即一个圆把平面分成 2 个部分 f(1)2，又n1 时， n2 n22，命题成立(2)假设当 n k(k1)时，命题成立，即 k 个圆把平面分成 f(k) k2 k2 个部分，那么设第 k1 个圆记作 O，由题意，它与 k 个圆中每个圆交于两点，又无三圆交于同一点，于是它与其他 k 个圆相交于 2k 个点把 O 分成 2k 条弧，而每条弧把原区域分成 24部分，因此这个平面的总区域增加 2k 个部分，即 f(k1) k2 k22 k(
10、k1)2( k1)2.即 n k1 时命题成立由(1)(2)可知，对任何 nN *命题均成立迁移与应用：证明：(1)当 n4 时， f(4) 4(43)2，12四边形有两条对角线，命题成立(2)假设当 n k 时命题成立，即凸 k 边形的对角线的条数 f(k) k(k3)( k4)，12当 n k1 时，凸 k1 边形是在 k 边形基础上增加了一边，增加了一个顶点 Ak1 ，增加的对角线是以顶点 Ak1 为一个端点的所有对角线，再加上原 k 边形的一边 A1Ak，共增加的对角线条数( k13)1 k1.f(k1) k(k3) k1 (k2 k2)12 12 (k1)( k2) (k1)( k1
11、)3，12 12故当 n k1 时，命题也成立由(1)(2)可知，对于 n4， nN*命题都成立活动与探究 3：(1)解：设 a1 b1 a，公差为 d，公比为 q，由 a2 b2，得a d aq. a1 a2， an0， a0， d0.由，得 d aq a， q1 1.da b3 a3 aq2( a2 d) aq2 a2 a(q1) a(q1) 20. b3 a3. b4 a4 aq3( a3 d) a(q1)( q2 q2) a(q1) 2(q2)0， b4 a4.猜想出 bn an(n3， nN*)(2)证明：当 n3 时，由(1)可知已证得 b3 a3， n3 时猜想成立假设当 n k
12、(nN*， k3)时， bk ak成立则当 n k1 时， bk1 bkq， ak1 ak d， bk1 ak1 bkq ak d bk ak d( bk ak) d( bk ak) .dbka d(bk a)a q1 1，且 b1 a0，da bn为递增数列 bk a. bk a0.又 bk ak0，( bk ak) 0.d(bk a)a bk1 ak1 0. bk1 ak1 . n k1 时，猜想也成立由和可知，对于 nN*， n3 猜想成立迁移与应用：(1)解：当 n1 时， a1 S12 a1， a11.当 n2 时， a1 a2 S222 a2， a2 .32当 n3 时， a1 a
13、2 a3 S323 a3， a3 .74当 n4 时， a1 a2 a3 a4 S424 a4，5 a4 .由此猜想 an (nN*)158 2n 12n 1(2)证明：当 n1 时， a11，结论成立假设 n k 时，结论成立，即 ak ，那么 n k1 时， ak1 Sk1 Sk2( k1)2k 12k 1 ak1 2 k ak2 ak ak1 ，2 ak1 2 ak. ak1 .2 ak2 2 2k 12k 12 2k 1 12k这表明 n k1 时，结论成立， an .2n 12n 1当堂检测1 21 a a2 3 4. f(k) k12k 12k 1 nn 15证明：(1)当 n2 时，左边 ，不等式成立13 14 15 16 56(2)假设当 n k(k2， kN*)时命题成立，即 ，1k 1 1k 2 13k 56则当 n k1 时， 1(k 1) 1 1(k 1) 2 13k 13k 1 13k 2 13(k 1) 1k 1 ，所以当 n k1 时不等式也成立1k 2 13k 56 56 56由(1)(2)可知，原不等式对一切 n2， nN*均成立
