1、1第一章 1.1 第 1 课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理A 级 基础巩固一、选择题1从甲地到乙地一天有汽车 8 班，火车 3 班，轮船 2 班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为( A )A13 种 B16 种 C24 种 D48 种解析 应用分类加法计数原理，不同走法数为 83213(种)故选 A2(2017朝阳区高三)从 0,1,2,3,4 中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是( C )A6 B8C10 D12解析 (考点)排列与排列的运用当末位数字为 0 时，首位可以是 1,2,3,4 中的一个，有 4 个，当末位数字为 2 或 4 时，首位可以是除了 0
2、之外的其它 3 个数字中的 1 个，故有236 种，所以偶数的个数是 10 个，故选 C3定义集合 A 与 B 的运算 A*B 如下： A*B( x， y)|x A， y B，若 A a， b， c，B a， c， d， e，则集合 A*B 的元素个数为( C )A3 4 B4 3 C12 D24解析 显然( a， a)、( a， c)等均为 A*B 中的元素，确定 A*B 中的元素是 A 中取一个元素来确定 x， B 中取一个元素来确定 y，由分步乘法计数原理可知 A*B 中有 3412 个元素故选 C4如下图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连连线标注的数字表示该段
3、网线单位时间内可以通过的最大信息量现从结点 A 向结点 B 传递信息，信息可以分开从不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( D )A26 B24 C20 D19解析 因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类加法计数原理，完成从 A 向B 传递有四种方法：1253,1264,1267,1286，故单位时间内传递的最大信2息量为四条不同网线上信息量的和：346619，故选 D5有四位老师在同一年级的 4 个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是( B )A8 种 B9 种 C10 种 D11 种解析 设四个班级分别是 A、 B、
4、C、 D，它们的老师分别是 a、 b、 c、 d，并设 a 监考的是 B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有 3 种不同的方法；同理当 a 监考 C、 D 时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有 3 种不同的方法这样，由分类加法计数原理知共有 3339(种)不同的安排方法另外，本题还可让 a 先选，可从B、 C、 D 中选一个，即有 3 种选法若选的是 B，则 b 从剩下的 3 个班级中任选一个，也有3 种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有33119(种)不同的安排方法6从 0、2 中选一个数字，从 1、3、5 中选两个数字，组成无重复数字的
5、三位数，其中奇数的个数为( B )A24 B18 C12 D6解析 (1)当从 0,2 中选取 2 时，组成的三位奇数的个位只能奇数，只要 2 不排在个位即可，先排 2 再排 1,3,5 中选出的两个奇数，共有 23212(个)(2)当从 0,2 中选取 0 时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，0 必须在十位，只要排好从 1,3,5 中选出的两个奇数共有 326(个)综上，由分类加法计数原理知共有 12618(个)二、填空题7(保定市定州中学 2018 学年高二)已知集合 Pa， b， Q1,0,1，则从集合 P到集合 Q 的映射共有_9_种解析 集合 P 中的元素 a 在集合 BQ 中有 3
6、 种不同的对应方式(1,0,1 三选一)，集合 P 中的元素 b 在集合 Q 中也有 3 种不同的对应方式(1,0,1 三选一)，根据“分步计数原理(乘法原理)” ，集合 P 到集合 Q 的映射共有 N339，故答案为 98直线方程 Ax By0，若从 0,1,3,5,7,8 这 6 个数字中每次取两个不同的数作为A， B 的值，则可表示_22_条不同的直线解析 若 A 或 B 中有一个为零时，有 2 条；当 AB0 时有 5420 条，故共有20222 条不同的直线95 名乒乓球队员中，有 2 名老队员和 3 名新队员现从中选出 3 名队员排成31、2、3 号参加团体比赛 ，则入选的 3 名
7、队员中至少有一名老队员，且 1、2 号中至少有1 名新队员的排法有_48_种(用数字作答)解析 本题可分为两类完成：两老一新时，有 32212(种)排法；两新一老时，有 233236(种)排法，即共有 48 种排法三、解答题10有不同的红球 8 个，不同的白球 7 个(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？解析 (1)由分类加法计数原理得，从中任取一个球共有 8715 种；(2)由分步乘法计数原理得，从中任取两个不同颜色的球共有 8756 种B 级 素养提升一、选择题1(2018石家庄高二检测)用 0、1、9 十个数字，可以组成有重
8、复数字的三位数的个数为( B )A243 B252 C261 D279解析 用 0,1，9 十个数字，可以组成的三位数的个数为 91010900，其中三位数字全不相同的为 998648，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为9006482522(2018天津高二检测)设 m1,2,3,4， n12，8，4，2，则函数 f(x) x3 mx n 在区间1,2上有零点的概率是( C )A B12 916C D1116 1316解析 根据题意， f( x)3 x2 m，又因为 m0，所以 f( x)3 x2 m0；故 f(x) x3 mx n 在 R 上单调递增，若函数 f(x) x3 mx n 在
9、区间1,2上有零点，则只需满足条件 f(1)0 且 f(2)0 m n1 且 2m n8，2 m8 n m1，当 m1 时， n 取2，4，8；m2 时， n 取4，8，12；4m3 时， n 取4，8，12；m4 时， n 取8，12；共 11 种取法，而 m 有 4 种选法， n 有 4 种选法，则函数 f(x) x3 mx n 情况有4416 种，故函数 f(x) x3 mx n 在区间1,2上有零点的概率是 ，故选 C1116二、填空题3一个科技小组中有 4 名女同学，5 名男同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法_9_种；若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，
10、共有不同的选派方法_20_种解析 由分类加法计数原理得从中任选一名同学参加学科竞赛共 549 种，由分步乘法计数原理得从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛共 5420 种4圆周上有 2n 个等分点( n 大于 2)，任取 3 点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为_2 n(n1)_解析 先在圆周上找一点，因为有 2n 个等分点，所以应有 n 条直径，不过该点的直径应有 n1 条，这 n1 条直径都可以与该点形成直角三角形，一个点可以形成以该点为直角顶点的 n1 个直角三角形，而这样的点有 2n 个，所以一共有 2n(n1)个符合题意的直角三角形三、解答题5集合 A1,2，3， B1，2
11、,3,4现从 A， B 中各取一个元素作为点P(x， y)的坐标(1)可以得到多少个不同的点？(2)在这些点中，位于第一象限的有几个？解析 (1)一个点的坐标由 x， y 两个元素确定，若它们有一个不同，则表示不同的点，可分为两类：第一类：选 A 中的元素为 x， B 中的元素为 y，有 3412(个)不同的点；第二类：选 A 中的元素为 y， B 中的元素为 x，有 4312(个)不同的点由分类加法计数原理得不同的点的个数为 121224(个)(2)第一象限内的点 x， y 必须为正数，从而只能取 A、 B 的正数，同样可分为两类，类似于(1)由分类加法计数原理得适合题意的不同点的个数为 2
12、2228(个)C 级 能力拔高如图所示，用 5 种不同的颜料给 4 块图形( A， B， C， D)涂色，要求共边两块颜色互异，求有多少种不同的涂色方案5解析 本题的解法可按照顺序涂色，但要注意分 A， C 是同色或不同色两类，也可按照涂色种类分为涂 4 种、3 种或 2 种颜色，然后在每类中分步解法一：按 A， C 颜色相同或不同进行分类若 A， C 颜色相同，则 A 有 5 种涂色方法， B 有 4 种涂色方法， D 有 4 种涂色方法，故共有 54480 种涂法若 A， C 颜色不同，则 A 有 5 种涂色方法， C 有 4 种涂色方法， B 有 3 种涂色方法， D有 3 种涂色方法，
13、故共有 5433180 种涂法根据分类加法计数原理，共有 80180260 种不同的涂色方案解法二：按涂色种类进行分类第一类：涂 4 种颜色，分四步： A 有 5 种涂法， B 有 4 种涂法， C 有 3 种涂法， D 有 2种涂法故共有 5432120 种涂法第二类：涂 3 种颜色，则 A， C 颜色相同或 B， D 颜色相同当 A， C 颜色相同时， A， C 有 5 种涂法， B 有 4 种涂法， D 有 3 种涂法故共有 54360 种涂法当 B， D 颜色相同时，同理也有 60 种不同的涂法，故共有 6060120 种涂法第三类：涂 2 种颜色，则 A， C 颜色相同， B， D 颜色相同， A， C 有 5 种涂法， B， D 有4 种涂法故共有 5420 种涂法根据分类加法计数原理，共有 12012020260 种不同的涂色方案
