1、1第一章 3.1 3.1.1 数系的扩充与复数的概念A级 基础巩固一、选择题1(2018泉州高二检测)如果复数 z a2 a2( a23 a2)i 为纯虚数，那么实数a的值为( A )A2 B1 C2 D1 或2解析 由题意知：Error!解得 a2，故选 A2设(12i)( ai)的实部与虚部相等，其中 a为实数，则 a( A )A3 B2 C2 D3解析 由题意知(12i)( ai) a2(2 a1)i a22 a1，解得 a3故选 A3(2018西安高二检测)设 a， bR，i 是虚数单位，则“ ab0”是“复数 a 为bi纯虚数”的( B )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要
2、条件 D既不充分也不必要条件解析 a a a bi为纯虚数，则 a0， b0，故选 Bbi bii24(2017潍坊高二检测)若复数 z( m2)( m29)i( mR)是正实数，则实数 m的值为( B )A2 B3 C3 D3解析 由题知Error!解得 m3故选 B5(2017上海高二检测)设 x， y均是实数，i 是虚数单位，复数( x2 y)(52 x y)i的实部大于 0，虚部不小于 0，则复数 z x yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的( A )2解析 由题可知Error!，可行域如 A所示，故选 A6若复数 z1sin2 icos ， z2cos i sin ( R)， z1
3、 z2，则 等于( 3D )A k( kZ) B2 k (kZ)3C2 k (kZ) D2 k (kZ)6 6解析 由复数相等的定义可知，Error!cos ，sin 32 12 2 k， kZ，故选 D6二、填空题7如果 x1 yi与 i3 x为相等复数， x， y为实数，则 x ， y114解析 由复数相等可知，Error! Error!8(2018广元模拟)已知 a是实数，i 是虚数单位，若 z a21( a1)i 是纯虚数，则 a1解析 z a21( a1)i 是纯虚数，Error! ，解得 a1故答案为 1三、解答题9已知 z1 i ， z2cos isin ，且 z1 z2，求(c
4、os 45) (sin 35)cos( )的值解析 由复数相等的充要条件，知Error!即 Error! 2 2得 22(cos cos sin sin )1，即 22cos( )1，所以 cos( ) 1210(2017会宁期中)设复数 z( m22 m3)( m23 m2)i，试求实数 m的取值，使得(1) z是纯虚数；(2) z对应的点位于复平面的第二象限解析 (1)复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于 0由Error!Error!，得 m33(2)当复数对应的点在第二象限时，由Error! Error!，得1 m3B级 素养提升一、选择题1已知复数 z1 m(4 m2)i(mR)，
5、 z22cos ( 3sin )i( ， R)，并且 z1 z2，则 的取值范围为( D )A7 B 7916 916C1 1 D 7916解析 由 z1 z2，得Error!消去 m，得 4sin 2 3sin 4(sin )2 38 916由于1sin 1，故 79162(2018哈尔滨高二检测)若复数 z(sin )(cos )i( R)是纯虚数，35 45则 tan( )的值为( A )4A7 B 17C7 D7 或17解析 因为复数 z是纯虚数，所以满足实部为零且虚部不为零，即Error!因为 sin 且 cos ，35 45所以 cos ，所以 tan ，45 34所以 tan(
6、) 74 tan 11 tan 34 11 34二、填空题3(2018和平区一模)设 i是虚数单位， a为实数，若复数 a 是纯虚数，则103 ia34解析 a为实数，若复数 a a a3i 是纯虚数，103 i 10 3 i 3 i 3 i则 a30，解得 a3故答案为34若复数 zlog 2(x23 x3)ilog 2(x3)为实数，则 x的值为 4_解析 复数 zlog 2(x23 x3)ilog 2(x3)为实数，Error! ，解得： x4三、解答题5若不等式 m2( m23 m)i(m24 m3)i10 成立，求实数 m的值解析 由题意，得Error!Error!当 m3 时，原不
7、等式成立6定义运算 ad bc，如果( x y)( x3)i ，求实数 x， y|a bc d| |3x 2y i y 1 |的值解析 由定义运算 ad bc，|a bc d|得 3 x2 y yi，|3x 2y i y 1 |故有( x y)( x3)i3 x2 y yi因为 x， y为实数，所以有Error!得Error! 得 x1， y2C级 能力拔高已知 zsin A( ksinAcos A1)i， A为 ABC的一内角若不论 A为何值， z总是虚数，求实数 k的取值范围解析 若 z总是虚数，则对任意的 A， ksinAcos A10 恒成立，则只需 k不在的值域内即可1 cosAsi
8、nA解法一： tan ，1 cosAsinA2sin2A22sinA2cosA2 A2其中 A(0，)当 (0， )时，tan (0，)，A2 2 A2 的值域为(0，)1 cosAsinA5当 k0 时， k恒成立，即当 k0 时，不论 A为何值，1 cosAsinAksinAcos A10 恒成立， z总是虚数解法二： ，1 cosAsinA 1sinAcosA 1而 表示点(cos A，sin A)与点(1,0)连线的斜率，sinAcosA 1又(cos A，sin A)， A(0，)在除去端点的半圆上，如图所示，利用数形结合，有 (，0)，sinAcosA 1 (0，)1 cosAsinA以下同解法一
