1、12.2.1 第二课时 圆的一般方程学业水平训练1已知圆 C： x2 y22 x2 y30， AB 为圆 C 的一条直径，点 A(0,1)，则点 B 的坐标为_解析：由 x2 y22 x2 y30 得，( x1) 2( y1) 25，所以圆心 C(1，1)设B(x0， y0)，又 A(0,1)，由中点坐标公式得Error!，解得Error!，所以点 B 的坐标为(2，3)答案：(2，3)2过点 P(1,2)的直线 l 平分圆 C： x2 y24 x6 y10 的周长，则直线 l 的斜率为_解析：过点 P(1,2)的直线 l 平分圆 C 的周长，则直线 l 过圆心(2，3)，则直线 l 的斜率为
2、 k . 3 2 2 1 53答案：533点 M， N 在圆 x2 y2 kx2 y40 上，且点 M， N 关于直线 x y10 对称，则该圆的面积是_解析：将 x2 y2 kx2 y40 化为( x )2( y1) 25 ，故圆心坐标是( ，1)，k2 k24 k2由题意知，直线 x y10 过圆心，故 110，解得 k4，此时圆的半径为 3，圆k2的面积是 9.答案：94点 A(1,0)在圆 x2 y22 ax a23 a30 上，则 a 的值为_解析：点 A 在圆上， a 应满足的条件为Error!，即 Error!，解得Error! ， a2.答案：25如果圆的方程为 x2 y2 k
3、x2 y k20，那么当圆面积最大时，圆心的坐标是_解析：将 x2 y2 kx2 y k20 化为( x )2( y1) 21 k2，可知当 k0 时，圆的半k2 34径最大，即圆面积最大，此时圆心坐标是(0，1)答案：(0，1)6已知圆的方程为 x2 y26 x8 y0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和BD，则四边形 ABCD 的面积为_解析：点(3,5)在圆内，最长弦 AC 即为该圆直径， AC10，最短弦 BD AC， BD4 ，6S 四边形 ABCD ACBD20 .12 6答案：20 67试判断 A(1,2)， B(0,1)， C(7，6)， D(4,3)四点是否
4、在同一个圆上解：线段 AB， BC 的斜率分别是 kAB1， kBC1，得 kAB kBC，则 A， B， C 三点不共线，设过 A， B， C 三点的圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F0.因为 A， B， C 三点在此圆上，所以Error!，解得Error!，所以过 A， B， C 三点的圆的方程为 x2 y28 x4 y50，将 D 点坐标(4,3)代入方程，得423 2844350，即点 D 在此圆上，故 A， B， C， D 四点在同一个圆上8一圆经过 A(4,2)和 B(1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是 2，求该圆的方2程解：设所求圆的方程为 x2 y2 Dx Ey
5、F0( D2 E24 F0)，令 y0，得x2 Dx F0，所以圆在 x 轴上的截距之和为 x1 x2 D.同理圆在 y 轴上的截距之和为 y1 y2 E，由题意知 D E2. 又 A， B 在圆上，所以 1644 D2 E F0， 19 D3 E F0， 由联立方程组解得 D2， E0， F12.所以，所求圆的方程为x2 y22 x120.高考水平训练1设 A 为圆( x1) 2 y21 上的动点， PA 是圆的切线且 PA1，则 P 点的坐标( x， y)满足的方程是_解析：由题意知，圆心(1,0)到 P 点的距离为 ，所以点 P 在以(1,0)为圆心，以 为半径2 2的圆上，所以点 P
6、的坐标( x， y)满足的方程是( x1) 2 y22.答案：( x1) 2 y222已知圆 C：( x3) 2( y4) 21，点 A(0，1)， B(0,1)，设 P 是圆 C 上的动点，令d PA2 PB2，则 d 的最大值及最小值分别为_、_.解析：如图，设 P 点坐标为( x0， y0)， d x ( y01) 2 x ( y01) 220 202( x y )220 202 PO22.问题转化为求 P 点到原点 O 距离的最值， O 在圆外， OPmax CO1516，POmin CO1514. dmax26 2274， dmin24 2234.答案：74 343已知曲线 C：(1
7、 a)x2(1 a)y24 x8 ay0，(1)当 a 取何值时，方程表示圆；(2)求证：不论 a 为何值，曲线 C 必过两定点；(3)当曲线 C 表示圆时，求圆面积最小时 a 的值解：(1)当 a1 时，方程为 x2 y0，表示一条直线；当 a1 时， 2 2 表示圆(x21 a) (y 4a1 a) 4 16a2 1 a 2(2)证明：方程变形为 x2 y24 x a(x2 y28 y)0.对于 a 取任何值，上式成立，则有Error!解得Error! 或Error! C 过定点 A(0,0)， B .(165， 85)(3)由(2)曲线 C 过定点 A、 B，在这些圆中，当以 AB 为直
8、径时，圆的面积最小(其余不以 AB为直径的圆， AB 为弦，直径大于 AB 的长，圆的面积也大)，从而得以 AB 为直径圆的方程：2 2 ，(x85) (y 45) 165 ， ， ，21 a 85 4a1 a 45 4 16a2 1 a 2 165解得 a .144在平面直角坐标系 xOy 中，设二次函数 f(x) x22 x b(xR)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C.(1)求实数 b 的取值范围；(2)求圆 C 的方程；(3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)？请证明你的结论3解：(1)令 x0，得抛物线与 y 轴的交点是(0， b)；令 f(x) x2
9、2 x b0，由题意知 b0 且 0，解得 b1 且 b0.(2)设所求圆的一般方程为 x2 y2 Dx Ey F0，令 y0 得 x2 Dx F0，这与 x22 x b0 是同一个方程，故 D2， F b.令 x0 得 y2 Ey b0，此方程有一个根为 b，代入得出 E b1.所以圆 C 的方程为 x2 y22 x( b1) y b0.(3)圆 C 必过定点，证明如下：假设圆 C 过定点( x0， y0)(x0， y0与 b 无关)，将该点代入圆 C 的方程，并变形为x y 2 x0 y0 b(1 y0)0(*)，为使(*)式对所有满足 b1 且 b0 的 b 都成立，只需20 201 y00，结合(*)式得 x y 2 x0 y00，解得20 20Error!或 Error!.经检验知，点(0,1)，(2,1)均在圆 C 上，因此圆 C 过定点
