1、12.2.2 椭圆的几何性质基础达标1椭圆 x2 my21 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为_解析：把椭圆的方程化为标准形式 1 ，故 a2 ， b21，所以y21m x21 (1m1) 1ma ， b1,2 4，解得， m ，符合题意1m 1m 14答案：142已知椭圆的短半轴长为 1，离心率 e 满足 0b0)上一点， F1， F2是椭圆的两个焦点，如果x2a2 y2b2 PF1F275， PF2F115，则椭圆的离心率是_解析：在 Rt PF1F2中，由正弦定理，得 2 c，PF1sin 15 PF2sin 75 F1F2sin 90 2 c.PF1 PF2sin
2、 15 sin 75由椭圆的定义，知 PF1 PF22 a.2代入上式，有 e .ca 1sin 75 sin 15 63答案：636在平面直角坐标系 xOy 中，以椭圆 1( ab0)上的一点 A 为圆心的圆与 x 轴x2a2 y2b2相切于椭圆的一个焦点，与 y 轴相交于 B、 C 两点，若 ABC 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是_解析：由题意得，圆半径 r ，因为 ABC 是锐角三角形，所以 cos 0cos cosb2a A2 cr，即 2)，y2a2 x24其离心率为 ，故 ，则 a4，32 a2 4a 32故椭圆 C2的方程为 1.y216 x24(2)A， B 两点的
3、坐标分别记为( xA， yA)，( xB， yB)，由 2 及(1)知， O， A， B 三点OB OA 共线且点 A， B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 y kx.将 y kx 代入 y21 中，得(14 k2)x24，x24所以 x ，2A41 4k2将 y kx 代入 1 中，得(4 k2)x216，y216 x24所以 x ，2B164 k2又由 2 ，得 x 4 x ，即 ，OB OA 2B 2A 164 k2 161 4k2解得 k1，故直线 AB 的方程为 y x 或 y x.能力提升1过椭圆 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A， B 两点， O
4、为坐标x25 y243原点，则 OAB 的面积为_解析：椭圆 1 的右焦点 F2(1,0)，故直线 AB 的方程 y2( x1)，由Error!，x25 y24消去 y，整理得 3x25 x0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， x10， y20.由Error! 得( m22) y 2 my110，21解得 y1 ，m 2m2 2m2 2故 AF1 . x1 1 2 y1 0 2 my1 2 y212 m2 1 mm2 1m2 2同理， BF2 .2 m2 1 mm2 1m2 2()由得 AF1 BF2 ，2mm2 1m2 2解 得 m22，注意到 m0，故 m .2mm2 1m2
5、 2 62 2所以直线 AF1的斜率为 .1m 22()证明：因为直线 AF1与 BF2平行，所以 ，PBPF1 BF2AF1于是 ，PB PF1PF1 BF2 AF1AF15故 PF1 BF1.AF1AF1 BF2由 B 点在椭圆上知 BF1 BF22 ，2从而 PF1 (2 BF2)AF1AF1 BF2 2同理， PF2 (2 AF1)BF2AF1 BF2 2因此 PF1 PF2 (2 BF2) 2 .AF1AF1 BF2 2 BF2AF1 BF2 (22 AF1) 2 2AF1BF2AF1 BF2由得， AF1 BF2 ，22 m2 1m2 2AF1BF2 ，m2 1m2 2 PF1 PF22 ，222 322 PF1 PF2是定值
