高中数学知识点总结 - 精品学习网-学习考试资讯-中国最大的.doc-道客多多

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1、高中数学知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。如：集合，，，、、AxyByxCyxABC|lg|lg(,)|lg中元素各表示什么？2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合，AxBxa| |2301若，则实数的值构成的集合为Ba（答：，，）1033. 注意下列性质：（）集合，，，的所有子集的个

2、数是；212aan n（）若，；2ABAB（3）德摩根定律：CCUUUUB，4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数xaMa50352的取值范围。（，，，，）335501539222Maa.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有 “或 ”，且和()()“非 ”().若为真，当且仅当、均为真pqpq若为真，当且仅当、至少有一个为真若为真，当且仅当为假6. 命题的四种形式

3、及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。7. 对映射的概念了解吗？映射 f：A B ，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许 B 中有元素无原象。）8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）9. 求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数的定义域是yx432lg（答：，，，）010. 如何求复合函数的定义域？如：函数的定义域是，，，则函数的定fxabaF(xfx() )(

4、)0义域是_。（答：，）a11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？如：，求fxefxx1().令，则tt0 2 ftett()21 xx2012. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（反解 x；互换 x、y；注明定义域）如：求函数的反函数f()102（答：）fxx10()13. 反函数的性质有哪些？互为反函数的图象关于直线 yx 对称；保存了原来函数的单调性、奇函数性；设的定义域为，值域为，，，则yf(x)ACaAbf(a)=bf1()afafbafbfa111()(

5、)()，14. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判断复合函数的单调性？（，，则（外层）（内层）yfuxyfx()()()当内、外层函数单调性相同时为增函数，否则为减函数。）ffx()()如：求的单调区间yxlog12（设，由则uux02且，，如图：l1221 u O 1 2 x 当，时，，又， xuuy(log0112当，时，，又， )2）15. 如何利用导数判断函数的单调性？在区间，内，若总有则为增函数。（在个

6、别点上导数等于abfxf()()0零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？x0如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大afa a013()值是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3（令 fxaxa()302则或由已知在，上为增函数，则，即fxa()1313a 的最大值为 3）16. 函数 f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x) 定义域关于原点对称）若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxffx()()若总成

7、立为偶函数函数图象关于轴对称y注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。（）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x) f(0)如：若为奇函数，则实数aax21（为奇函数，，又， fRf() ()00即，）aa2110又如：为定义在，上的奇函数，当，时，，fxxfxx()()()()01241求在，上的解析式。f()1（令，，则，，xxfxx001241

8、()又为奇函数， ffxx()()24又，，）ffxxx()()()01024117. 你熟悉周期函数的定义吗？（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期TfTfxf0()()函数，T 是一个周期。）如：若，则fxaf()（答：是周期函数，为的一个周期）fxTafx()()2又如：若图象有两条对称轴， b即，faffbf()()()()则是周期函数，为一个周期xa2如：18. 你掌握常用的图象变换了吗？fxy()与的图象关于轴对称fx()

9、与的图象关于轴对称f()与的图象关于原点对称xy与的图象关于直线对称1faxa()与的图象关于直线对称2fx()与的图象关于点，对称0将图象左移个单位右移个单位yayfax )()()上移个单位下移个单位byfxba()() 0注意如下“翻折”变换：fxf()(|) 如： fx(log21作出及的图象yyxlog21y y=log2x O 1 x 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？ (k0) y=b O(a,b) O x x=a （）一次函

10、数：10ykxb（）反比例函数：推广为是中心，2 0ybkxaOab()的双曲线。（）二次函数图象为抛物线30242 2yaxbcacb顶点坐标为，，对称轴xba42开口方向：，向上，函数ayc042minab2，向下， x应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程axbc yaxbcx2 1220，时，两根、为二次函数的图象与轴的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。axbc0()求闭区间m，n上的最值。

11、求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。如：二次方程的两根都大于axbckbakf2002() y (a0) O k x1 x2 x 一根大于，一根小于kkf()0（）指数函数：，41yax（）对数函数，5alog由图象记性质！（注意底数的限定！） y y=ax(1) (01) 1 O 1 x (0a1) （） “对勾函数 ”6yxk利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？ y O x k 20. 你在基本运算上常出现错误吗？指数运算：，aap0110()aaamnm

12、n(010)，对数运算：，loglogla aMNMN0l oga an， 1对数恒等式： xalog对数换底公式： llloglogacanabbm21. 如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）如：（），满足，证明为奇函数。1xRffxyfyfx()()()()（先令再令，）y0（），满足，证明是偶函数。2ffff()()()()（先令 xttt ftf()() ）（）证明单调性： 32212fxx()22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法），反函数法，换

13、元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）如求下列函数的最值：（）12314yxx（）（），323xyx（）设，，4902cos（），，501yx(23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为，半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗？（，）扇llRSR122 O R 1弧度 R 24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义sincostanMPOAT，， y T A x BSOMP 如：若，则，，的大小顺序是80sincotan又如：求函数的定义域和值域。yx12（）120cossinx

14、，如图：sinx ，25424012kxkZy25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？sincosx1，y x O 2 tg 对称点为，，kZ20yxkZsin的增区间为，2减区间为， 3图象的对称点为，，对称轴为kxkZ02yxcos的增区间为，2减区间为，kk图象的对称点为，，对称轴为 xZ20yxkktan的增区间为， 2 26.y=Asinx+正弦型函数的图象和性质要熟记。或yAxcos（）振

15、幅，周期12|AT若，则为对称轴。fxx00若，则，为对称点，反之也对。（）五点作图：令依次为，，，，，求出与，依点20232xy（x，y）作图象。（）根据图象求解析式。（求、、值）3A如图列出 ()x120解条件组求、值正切型函数，yAxTtan|27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。如：，，，求值。cosxx6232（，，，）xx376565413228. 在解含有正、余弦函数

16、的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？如：函数的值域是ysin|（时，，，时，，，）x02202xxy29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？（平移变换、伸缩变换）平移公式：（）点（，），平移至（，），则1PxyahkPxyxhyk ()（）曲线，沿向量，平移后的方程为，20 0fxyahkfxhyk()()()如：函数的图象经过怎样的变换才能得到的241sin sin图象？（横坐标伸长到原来的倍yxyx 2 214si sin 414212si

17、nsinsinyxy左平移个单位上平移个单位纵坐标缩短到原来的倍）2 si30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？如： 1 42222sincoetantcotsectansi0称为的代换。1“”化为的三角函数 “奇变，偶不变，符号看象限 ”，k2“奇”、“偶”指 k 取奇、偶数。如： costansi947621又如：函数，则的值为yyitcoA. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值（，）sinicoisinc21031. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其

18、逆向应用了吗？理解公式之间的联系：sinsicosinsinsico 令 2coscsoinscossin 令 222 tantat1 1 ttan22coscsin21 abbbasicossint2，ini4sicosin323应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）具体方法：（）角的变换：如， 122（2）名的变换：化弦或化切（3）次数的变换：升、降幂公式（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。如：已知，，求的值。sincotantan12232（由已知得：， sic

19、oi11又 tan3 ）ttantantan21231832. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？余弦定理： abcAbca22 22osc（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）正弦定理： aBcCRaAbBcCsinisinsini2SabC12sin ， ABBC ，sisiicosA2如中，C21n（）求角；1（）若，求的值。222abcABosc（（）由已知式得：111osC又， ABC02cos 或（舍）cos2又， 03（）由正弦定理及得：122ab

20、c2342sinisiniABC134coc ）s233. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。反正弦：，，，arcsinxx1反余弦：，，，o0反正切：，，arctnxxR234. 不等式的性质有哪些？（），10ababcc（），2dd（），30abcacb（），40101ababa（），5nn（），或6| |xxxa如：若，则下列结论不正确的是（）10abABab. .2 2CD|答案：C35. 利用均值不等式：ababRabab2 22，；；求最值时，你是否注意到 “， ”且

21、等号成立时的条件，积或和其中之一为定a ()()值？（一正、二定、三相等）注意如下结论：abababR2 2，当且仅当时等号成立。abcabca22，当且仅当时取等号。amn00，，，则bab1如：若，的最大值为xx234（设 y1243当且仅当，又，时，）340243xxymax又如：，则的最小值为yxy21（，最小值为）221x36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并注意简单放缩法的应用。如：证明 12

22、312n（ 312n12131） nn370.()解分式不等式的一般步骤是什么？fxga（移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为 1，穿轴法解得结果。）38. 用“穿轴法”解高次不等式“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始如： xx120339. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论如：对数或指数的底分或讨论a140. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）例如：解不等式 |x3（解集为）|1241.|会用不等式证明较简单的不等问题ab

23、ab如：设，实数满足fxxa() |2131求证： a(|)证明： |()| ()|f a223|()|(|)|xaxa1又， |xaxa11 f()|2（按不等号方向放缩）42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“”问题）如：恒成立的最小值afxafx()()恒成立的最大值afaf()()能成立的最小值例如：对于一切实数，若恒成立，则的取值范围是xxaa32（设，它表示数轴上到两定点和距离之和u323amin55，，即或者

24、：，）xxa32543. 等差数列的定义与性质定义：为常数，adandn n1 1()等差中项：，，成等差数列xAyAxy2前项和nSanadn112性质：是等差数列n（）若，则；1mpqaamnpq（）数列，，仍为等差数列；2212akbnnSSn，，仍为等差数列；3（）若三个数成等差数列，可设为，，；3ad（）若，是等差数列，为前项和，则；4 21abTnabSTnn m（）为等差数列（，为常数

25、，是关于的常数项为52aSanbnn0 的二次函数）S an n n的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界2项，即：当，，解不等式组可得达到最大值时的值。adaSnn1 100当，，由可得达到最小值时的值。ann110如：等差数列，，，，则SaSnnnn83112（由， an1213又， Sa33223 annn12112827）44. 等比数列的定义与性质定义：（为常数，），aqqaqn n 1 10等比中项

26、：、、成等比数列，或xGyGxyxy2前项和：（要注意）nSnaqn1()!性质：是等比数列an（）若，则 1mpqaamnpq（），，仍为等比数列2232SSnn45.由求时应注意什么？a（时，，时，）aSnn11 146. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？例如：（1）求差（商）法如：满足 aaann n1212512解： 5411时，， aan 22时，1得： n an1 n421()练习数列满足，，求aSaannnn11534（注意到代入得：

27、Snnn 1 1又，是等比数列，Snn144naS2311时，（2）叠乘法例如：数列中，，，求anan n11解： an n2131 123，又， n（3）等差型递推公式由，，求，用迭加法afaan n110()fann22331时，两边相加，得：()ffn12()() afn03()练习数列，，，求aanann n1132（）23（4）等比型递推公式acdcdn1 010、为常数，，，可转化为等比数列，设 axnnacn1令， ()xdc1 是首项为，为公比的

28、等比数列acadcn1 dcn n11 adnn11练习数列满足，，求aannn11934（）an84（5）倒数法例如：，，求aannn112由已知得： 211annn 1an112an为等差数列，，公差为12ann47. 你熟悉求数列前 n 项和的常用方法吗？例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。如：是公差为的等差数列，求adan kn1解：由 1 01aaddkkk 11dknkn 1123aaadnn练习求和： 123123n（，）aSnn（2）错位相减法：若

29、为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项babnnn n和，可由求，其中为的公比。Sqqnn如： xxn123413nxn24121： Sn nxxn12时，Snn312时，（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。aaSnnn1212相加111annn练习已知，则fxffff()()()()211213141（由 fxxx()112222 原式 ffff()()()1234）48. 你知道储蓄、贷款问题吗？零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金 p 元，每期利率为

30、r，n 期后，本利和为：Srrpnrn12112等差问题若按复利，如贷款问题按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款分期等额归还本息的借款种类）若贷款（向银行借款）p 元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第 n 次还清。如果每期利率为 r（按复利），那么每期应还 x 元，满足rxrrxn n()1112rxr xprn1p贷款数，r利率， n还款期数49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。（）分类计数原理： 112Nmn（为各类办法中的方法数）mi分步计数原理：

31、n12（为各步骤中的方法数）i（2）排列：从 n 个不同元素中，任取 m（m n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列，所有排列的个数记为 Anm.Annmnm121!规定： 0!（3）组合：从 n 个不同元素中任取 m（m n）个元素并组成一组，叫做从 n 个不同元素中取出个元素的一个组合，所有组合个数记为 Cnm.CAnnm11!规定： n0（）组合数性质：4CCCnmnmnmnn，， 101250. 解排列

32、与组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。如：学号为 1，2，3，4 的四名学生的考试成绩xi xxi890912341234，，，，，，，，且满足，()则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（）A. 24 B. 15 C. 12 D. 10解析：可分成两类：（）中间两个分数不相等，1有（种）C54（2）中间两个分数相等xx134相同两数分别取 90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有 3，4，3 种，有 10 种。共有

33、51015（种）情况51. 二项式定理()abCabCaabCnnnnrrn012二项展开式的通项公式：，Trrr101()nr为二项式系数（区别于该项的系数）性质：（）对称性：，，，，1012Crnnr（）系数和：2n01nnnn135241（3）最值：n 为偶数时，n1 为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第Cn22项，二项式系数为；为奇数时，为偶数，中间两项的二项式()系数最大即第项及第项，其二项式系数为n Cn1112如：

34、在二项式的展开式中，系数最小的项系数为（用数字x1表示）（ n 共有项，中间两项系数的绝对值最大，且为第或第项12 1267由，取即第项系数为负值为最小：Cxrrr56()161546 又如：，则2012204axaxRa010030 （用数字作答）（令，得：xa令，得： a102204 原式）30312041a52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？（）必然事件，，不可能事件，1PP)()（）包含关系：

35、， “发生必导致发生 ”称包含。2ABBA A B （）事件的和（并）：或与至少有一个发生叫做与3BAB的和（并）。（）事件的积（交）：或 “与同时发生 ”叫做与的积。4ABAB（5）互斥事件（互不相容事件）：“A 与 B 不能同时发生”叫做 A、B 互斥。B（6）对立事件（互逆事件）：“不发生 ”叫做发生的对立（逆）事件，AA，（7）独立事件：A 发生与否对 B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。BA与独立，与，与，与也相互

36、独立。53. 对某一事件概率的求法：分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即PAmn()包含的等可能结果一次试验的等可能结果的总数（）若、互斥，则2BPABP()（）若、相互独立，则 3 B（）41P()()（5）如果在一次试验中 A 发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中 A 恰好发生k次的概率： PkCpnnknk()1如：设 10 件产品中有 4 件次品，6 件正品，求下列事件的概率。（1）从中任取 2 件都是次品；4105（2）从中任取 5 件恰有 2 件次品；PC426

37、310（3）从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品；解析：有放回地抽取 3 次（每次抽 1 件），n10 3而至少有 2 件次品为“恰有 2 次品”和“三件都是次品” mC3146 P3230425（4）从中依次取 5 件恰有 2 件次品。解析：一件一件抽取（有顺序），nAmC1054563 P4256310分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征

38、是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。55. 对总体分布的估计用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。要熟悉样本频率直方图的作法：（）算数据极差；1xmain（2）决定组距和组数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；（5）画频率直方图。其中，频率小长方形的面积组距频率组距样本平均值： xnxn12样本方差： Snxxxn21222如：从 10 名女生与 5 名男生中选 6 名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组

39、成此参赛队的概率为_。（）C10452656. 你对向量的有关概念清楚吗？（1）向量既有大小又有方向的量。（）向量的模有向线段的长度，2|a（）单位向量，3100|a（）零向量，4|（）相等的向量长度相等方向相同5ab在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。（6）并线向量（平行向量）方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。baba 存在唯一实数，使()0（7）向量的加、减法如图：OABC（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）e a12，是平面内的两个不共线向量

40、，为该平面任一向量，则存在唯一实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量1212aee的一组基底。（9）向量的坐标表示ij xy，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得axyxaa ，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标()表示。设，，，by12则，，，axxy112y，，若，，，AB12则，x211| yAB2，、两点间距离公式57. 平面向量的数量积（）叫做向

42、c答案： 2（）若向量，，，，当时与共线且方向相同14axbxab答案：2（）已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么3 603o|答案： 158. 线段的定比分点设，，，，分点，，设、是直线上两点，点在PxyxyPxyPP1122 12ll上且不同于、，若存在一实数，使，则叫做分有向线段12 121200所成的比（，在线段内，，在外），且xyPxy121212，为中点时，如：，，，，，，ABCxyBCx123则重心的坐标是，Gy1123. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线线线

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