1、- 1 -攸县二中 2019 届高三第四次月考数学试题 (文科）1、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ( )2=130MNxMN， ， ， 则A1，2 B(1，3) C1 Dl，22.如果复数 （其中 i 为虚数单位， b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么 b 等于( )ib2A6 B C D2333.实数 x， y 满足 ，且 ，则 z 的最大值为（ ）01yzxyA. 7 B. 1 C.5 D.74.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是( )A.2 至 3 月份的
2、收入的变化率与 11 至 12 月份的收入的变化率相同B.支出最高值与支出最低值的比是 6:1C.第三季度平均收入为 50 万元D.利润最高的月份是 2 月份5.九章算术是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为 8 步和 15 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是( )A. B. C. D. 31032020106.如图所示的程序框图是为了求出满足 的8n最小偶数 ，那么在 空白框中填入及最后输出n- 2 -的 值分别是（ ）nA. 和 6
3、B. 和 6 12nC. 和 8 D. 和 8 7.过双曲线 (a0， b0)的左焦点 F1(1,0)作 x 轴的垂线，垂线与双曲线交于2byxA， B 两点， O 为坐标原点，若 AOB 的面积为 ，则双曲线的离心率为（ ）23A B4 C3 D2238.已知侧棱长为 的正四棱锥 PABCD 的五个顶点都在同一个球面上，且球心 O 在底面正2方形 ABCD 上，则球 O 的表面积为（ ）A.4 B. 3 C. 2 D. 9.函数 的部分图象大致是（ ）2()|xef10.若抛物线 x2=y 在 x=1 处的切线的倾斜角为 ，则 sin2 =（ ）A B C. D451451211.将函数 （
4、 ）的图象按向量 平移后所得的图象关于点sin()3yx0(,0)a中心对称，则 的值可能为（ ）(,0)12A4 B3 C2 D1 12.已知函数 ，若函数 有 个零点，则实数 的取(1),0)xfxe()gxfa3a值范围是（ ）A B C. D21(0,)e21(,)e2(,1)e(,1)二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线上）- 3 -13.已知向量 ， ，若向量 与 垂直，则 m= 2,1a3,bmab14.已知等差数列a n中，a 3+a7=16，S 10=85，则等差数列a n公差为 315., ,2ABCABCcabDD在 中 ， 角
5、 对 边 分 别 为 ,c且 osB=2-,若 的 面 积 S则 的 最 小 值 为16.定义在 R 上的函数 f（x） ，如果存在函数 g（x）=ax+b（a，b 为常数） ，使得 f（x）g（x）对一切实数 x 都成立，则称 g（x）为函数 f（x）的一个承托函数给出如下命题：函数 g（x）=2 是函数 f（x）= 的一个承托函数；函数 g（x）=x1 是函数 f（x）=x+sinx 的一个承托函数；若函数 g（x）=ax 是函数 f（x）=e x的一个承托函数，则 a 的取值范围是0，e；值域是 R 的函数 f（x）不存在承托函数；其中，所有正确命题的序号是 三、解答题 （本大题共 7
6、小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（一）必考题：共 60 分17.若数列 的前 项和 满足 .nanS2na(1)求证：数列 是等比数列；1(2)设 ，求数列 的前 项和 .)(log2nnb1nbnT18.如图 1， 是边长为 3 的等边三角形， 在边 上， 在边 上，且ABCDACEB.将 沿直线 折起，得四棱锥 ，如图 2.EDDE（1）求证： ；（2）若平面 底面 ，求三棱锥 的体积.CA19.某高三理科班共有 60 名同学参加某次考试，从中随机挑选出 5 名同学，他们的数学成绩- 4 -x 与物理成绩 y 如下表：数学成绩 x 145 130 120 10
7、5 100物理成绩 y 110 90 102 78 70数据表明 y 与 x 之间有较强的线性关系.（1）求 y 关于 x 的线性回归方程；（2）该班一名同学的数学成绩为 110 分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；（3）本次考试中，规定数学成绩达到 125 分为优秀，物理成绩达到 100 分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为 50%和 60%，且除去抽走的 5 名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有 5 人.能否在犯错误概率不超过 0.01 的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据:回归直线的系数 ， .12niiiiixybaybx，22nadcKb
8、bd.226.350.1,0.81PPK20.已知圆 E：x 2+（y ） 2= 经过椭圆49C： （ab0）的左右焦点 F1，F 2，且与椭圆 C 在第一象限的交点为 A，且1ya2F1，E，A 三点共线，直线 l 交椭圆 C 于 M，N 两点，且 = （0）O（1）求椭圆 C 的方程；（2）当三角形 AMN 的面积取得最大值时，求直线 l 的方程()(0)ln1.xfa=-（ 分 ） 设 函 数（1）若函数 f（x）在（1，+）上为减函数，求实数 a 的最小值；（2）若存在 x1，x 2e，e 2，使 f（x 1）f（x 2）+a 成立，求实数 a 的取值范围(二)选考题：共 10 分-
9、5 -22.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （ t 是参数） ，以原点 O 为极sin3co2tyx点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 =8cos（ ） 3（1）求曲线 C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线 C1与曲线 C2交于 A， B 两点，求| AB|的最大值和最小值- 6 -攸县二中 2019 届高三第四次月考文科数学试题答案一、选择题：1-5 ACCDB 6-10 DDADA 11-12 CA二、填空题13.1 14.1 15.4 16.三、解答题 17.(1) 当 1n时， 12aS，解得 1a1 分当 时，由题意，
10、n 111(2)2nn nS ，即 12na3 分所以 1nna，即 1na 数列 n是首项为 2，公比为 2 的等比数列6 分(2)由（1） ， 1nna，所以2n8 分 1)(1,log2 nnbbn10 分 )()32()1nTn12 分18.（1）在图 1 中，由题意知 1AE， 2BD在 ADE中，由余弦定理知 3222 所以 ，所以 3 分B在 AE沿直线 折起的过程中， DE与,的垂直关系不变，故在图 2 中有 BD,又 B，所以 平面 A，所以- 7 -BADE.5 分（2）如图 2，因为平面 DE底面 BC，由（1）知 ，且平面 A底面 DE，所以 底面 C，所以 EA为三棱
11、锥 的高，且 18 分又因为在图 1 中， BECADBCEDSS4360sin3260sin260sin32 10 分所以 141 SVECDDECAD故三棱锥 的体积为 23.12 分19.(（1）由题意可知 ，故10,9xy2222245209301091057890107945b.3 分18108625023，故回归方程为 .4 分9.6a0.86yx（2）将 代入上述方程，得 . 6 分1x.12（3）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为 30,36. 抽出的 5 人中，数学优秀但物理不优秀的共 1 人，故全班数学优秀但物理不优秀的人共 6 人.8 分于是可以得到 列联表
12、为：210 分于是 ，2260418610.353K因此在犯错误概率不超过 0.01 的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关.12 分- 8 -20.解：（1）如图圆 E 经过椭圆 C 的左右焦点 F1，F 2，c 2+（0 ） 2= ，解得 c= ，.1 分F 1，E，A 三点共线，F 1A 为圆 E 的直径，则|AF 1|=3，AF 2F 1F2， = =98=1，2a=|AF 1|+|AF2|=3+1=4，a=2.3 分由 a2=b2+c2得，b= ，椭圆 C 的方程是 ；.5 分（2）由（1）得点 A 的坐标（ ，1） ， （0） ，直线 l 的斜率为 kOA= ，.6 分则设直线
13、l 的方程为 y= x+m，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，由 得， ，x 1+x2= ，x 1x2=m22，且=2m 24m 2+80，解得2m2，.8 分|MN|= |x2x 1|= = ，.点 A 到直线 l 的距离 d= = ，10 分AMN 的面积 S= = = ，当且仅当 4m 2=m2，即 m= ，直线 l 的方程为 12 分21.解：（）由已知得 f（x）的定义域为（0，1）（1，+） ，f（x）在（1，+）上为减函数，- 9 -f（x）=a+ 0 在（1，+）上恒成立，a =（ ） 2 ，2 分令 g（x）=（ ） 2 ，故当 = ，即 x=e2时，g（x
14、）的最小值为 ，a ，即 aa 的最小值为 4 分（）命题“若存在 x1，x 2e，e 2，使 f（x 1）f（x 2）+a 成立” ，等价于“当 xe，e 2时，有 f（x） minf（x） max+a”，6 分由（）知，当 xe，e 2时，lnx1，2， ，1，f（x）=a+ =（ ） 2+ a，f（x） max+a= ，问题等价于：“当 xe，e 2时，有 f（x） min ”，8 分当a ，即 a 时，由（） ，f（x）在e，e 2上为减函数，则 f（x） min=f（e 2）=ae 2+ ，a ，a 10 分当 a0，即 0a 时，xe，e 2，lnx ，1，f（x）=a+ ，由复合函数的单调性知 f（x）在e，e 2上为增函数，存在唯一 x0（e，e 2） ，使 f（x 0）=0 且满足：f（x） min=f（x 0）=ax 0+ ，- 10 -要使 f（x） min ，a = ，与 a0 矛盾， a0 不合题意综上，实数 a 的取值范围为 ，+） 12 分(二)选考题：共 10 分22.解：（1）对于曲线 C2有 ，即 ，因此曲线 C2的直角坐标方程为 ，其表示一个圆4 分（2）联立曲线 C1与曲线 C2的方程可得： ，t 1+t2=2 sin，t 1t2=137 分，因此 sin=0，|AB|的最小值为 ，sin=1，最大值为 810 分
