1、- 1 -长沙市第二十一中学 2018 年下学期期中考试高二试卷数 学（文科）时量：120 分钟 满分：150 分一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.命题“若 ，则 ”的逆否命题是( )21x1xA若 ，则 ，或 B若 ，则1x21C若 或 ，则 D若 或 ，则x2xx2.双曲线 的焦距为( )25yA B2 C2 D46 6 3 33.若函数 的单调递增区间是( )()3xfx（ ） eA . B. C. D.,1,0, 4.顶点在原点，且过点(4,4)的抛物线的标准方程是( )A y24 x B x24
2、 yC y24 x 或 x24 y D y24 x 或 x24 y5.“ ”是“ ”的( )1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6以双曲线 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )2196xyA B 202106xyC D 216xy29- 2 -7.如图是函数 的导函数 的图象,则下面判断正确的是( )()yfxfxA.在区间(-2,1)上 是增函数 B.在(1,3)上 是减函数()fx()fxC 在(4,5)上 是增函数 D.当 x=4 时 取极大值8. 是抛物线 上任意一点， ， ，则 的最小值为（ Myx42)1,0(A)2,(B|
3、MBA）A B3 C. 6 D5109.椭圆 的左、右焦点分别为 ,一直线经过 交椭圆于 两点，则2167xy12 F1F, AB的周长为( )BFA.32 B.16 C.8 D.410已知对任意实数 有 ， ，且 时， ，x()(ffx)(gx0()0fx，则 时( )()0gxA ， B ，f0gx()fx()gxC ， D ，()fx()0f11.已知两定点 A(2,0)， B(1,0)，如果动点 P 满足| PA|2| PB|，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A B4 C8 D912.已知点 , 是椭圆上 的动点，且 ，则 的取值范(10)MA214xy0MABA- 3 -
4、围是( )A B C D2,131,92,936, 3二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13. 抛物线 的准线方程是 214yx14曲线 在点（-1,-1）处的切线的倾斜角是 315. 与双曲线 有相同渐近线，且过 的双曲线方程是 12yx)0,2(16.命题 p：关于 x 的方程 x2 ax20 无实根，命题 q：函数 f(x)log ax 在(0，)上单调递增，若“ p q”为假命题， “p q”真命题，则实数 a 的取值范围是_. 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(10 分)设命题 ；命题 ，若 是 的必要不2:(4
5、3)1px2:(1)()0qxaxqp充分条件，求实数 的取值范围. a18(12 分)已知函数 ，当 时，有极大值 .32yaxb1x3（1）求函数的解析式并写出它的单调区间.（2）求此函数在-2，2上的最大值和最小值.19. (12 分)如图,直线 l: 与抛物线 C: yxb相切于点 .24xyA(1)求实数 的值; b(2)求以点 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程. - 4 -20.( 12 分)已知双曲线的方程是 .21694xy(1)求该双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;(2)设 和 是双曲线的左、右焦点,点 P 在双曲线上,且1F2 12|3PF,求 的大小.P2
6、1(12 分)已知函数 ()ln (0)fxa（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；1ayf1,f（）求函数 的单调区间；()fx（）如果 ，在（0，4上恒成立，求 的取值范围a22. (12 分)已知点 ,椭圆 的离心率为 ， 是椭圆的(02)A:E21(0)xyab32F右焦点，直线 的斜率为 ， 为坐标原点.F3O（I）求椭圆 的方程；E（II）设过点 的动直线 与 相交于 两点，当 的面积最大时，求 的方程Al,PQOl- 5 -长沙市 21 中高二上期中考试文科数学一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
7、 1.命题“若 ，则 ”的逆否命题是( D )21x1xA若 ，则 ，或 B若 ，则1x21C若 或 ，则 D若 或 ，则x2xx2.双曲线 的焦距为( B )25yA B2 C2 D46 6 3 33.若函数 的单调递增区间是( B )()3xfx（ ） eA . B. C. D.,1,0, 4.顶点在原点，且过点(4,4)的抛物线的标准方程是( C )A y24 x B x24 yC y24 x 或 x24 y D y24 x 或 x24 y5.“ ”是“ ”的(A )1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6以双曲线 的右焦点为圆心，且与其渐近线相
8、切的圆的方程是( A )2196xyA B 202106xyC D 216xy297.如图是函数 y=f(x)的导函数 f(x)的图象,则下面判断正确的是( C )- 6 -(A)在区间(-2,1)上 f(x)是增函数 (B)在(1,3)上 f(x)是减函数(C)在(4,5)上 f(x)是增函数 (D)当 x=4 时,f(x)取极大值8. 是抛物线 上任意一点， ， ，则 的最小值为（ B Myx42)1,0(A)2,(B|MA）A B3 C. 6 D5109.椭圆 的左、右焦点分别为 F,F,一直线经过 F交椭圆于 A、B 两点，则2167xy的周长为( B )FA.32 B.16 C.8
9、D.410已知对任意实数 有 ， ，且 时， ，x()(ffx)(gx0()0fx，则 时 ( B )()0gxA ， B ，f0gx()0fx()gxC ， D ，()fx()f11.已知两定点 A(2,0)， B(1,0)，如果动点 P 满足| PA|2| PB|，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于( B )A B4 C8 D9- 7 -12.已知点 , 是椭圆上 的动点，且 ，则 的取值范(10)MAB214xy0MABA围是( C )A B C D2,131,92,936, 3二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 抛物线 的准线方程是 214yx1y
10、14曲线 在点（-1,-1）处的切线的倾斜角是33415. 与双曲线 有相同渐近线，且过 的双曲线方程是 12yx)0,2( 12yx16.命题 p：关于 x 的方程 x2 ax20 无实根，命题 q：函数 f(x)log ax 在(0，)上单- 8 -调递增，若“ p q”为假命题， “p q”真命题，则实数 a 的取值范围是_.(2 ，122 ，)_. 2三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.设命题 ；命题 ，若 是 的必要不充分条2:(43)1px2:(1)()0qxaxqp件，求实数 的取值范围. a解析 由(4 x3) 21
11、，得 x1，令 A x| x1由 x2(2 a1) x a(a1)0，12 12得 a x a1，令 B x|a x a1 q 是 p 的必要不充分条件， ，即Error! ，0 a .实数 a 的取值范围是0， 12 1218 已知函数 ，当 时，有极大值3yb3（1）求函数的解析式并写出它的单调区间（2）求此函数在-2，2上的最大值和最小值解：（1） ，由题意知bxaxf23)( 3)1(,0)( ff，解得 ，03ba96236)(xxf )1(818)(2 xxf当 时， ， 的单调递增区间为100f,0当 时， ， 的单调递减区间为 当 时，x或 )(xf)(x),(0x，当 时，)
12、(f极 小 值 13)1(ff极 大 值又 ,2)(,842f 12,842)(minmax x19.如图,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A.(1)求实数 b 的值;(2)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.- 9 -解:(1)由 得 x2-4x-4b=0,(*)因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以 =(-4) 2-4(-4b)=0,解得 b=-1.(2)由(1)可知 b=-1,故方程(*)即为 x2-4x+4=0,解得 x=2,代入 x2=4y,得 y=1.故点 A(2,1),因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切,所以圆 A 的半径 r 等
13、于圆心 A 到抛物线的准线 y=-1 的距离,即 r=|1-(-1)|=2,所以圆 A 的方程为(x-2) 2+(y-1)2=4.20.(本小题满分 12 分)已知双曲线的方程是 16x2-9y2=144.(1)求该双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;(2)设 F1和 F2是双曲线的左、右焦点,点 P 在双曲线上,且|PF 1|PF2|=32,求F 1PF2的大小.解:(1)由 16x2-9y2=144 得 - =1,所以 a=3,b=4,c=5.焦点坐标为(-5,0),(5,0),离心率 e= ,渐近线方程为 y= x.(2)|PF1|-|PF2|=6,cosF 1PF2= =0.所以F
14、1PF2=90.所以F 1PF2=90.21已知函数 ()ln (0)fxa（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；ayfx(1, )f（）求函数 的单调区间；()fx（）如果 ，在（0，4上恒成立，求 的取值范围a解：（）a=1 时，f（x）=lnxx，f（x）= 1= ，- 10 -故 f（1）=1，f（1）=0，故切线方程是：y+1=0，即 y=1；（ II）f（x）= a= ， （x0）当 a0 时，由于 x0，得：1ax0，f（x）0，所以 f（x）的单调递增区间为（0，+） ，当 a0 时，f（x）=0，得 x= ，在区间（0， ）上，f（x）0，在区间（ ，+）上，f（x）0，所
15、以 f（x）的单调递增区间为（0， ） ，单调递减区间为（ ，+） ； （ III）如果 f（x）0 在（0，4上恒成立，即 a 在（0，4恒成立，令 h（x）= ，x（0，4， h（x）= ，令 h（x）0，解得：0xe，令 h（x）0，解得：ex4，故 h（x）在（0，e）递增，在（e，4递减，故 h（x） max=h（e）= ，故 a 22.已知点 ,椭圆 的离心率为 ， 是椭圆的右焦点，(02)A:E21(0)xyab32F直线 的斜率为 ， 为坐标原点.F3O（I）求 的方程；E（II）设过点 的动直线 与 相交于 两点，当 的面积最大时，求 的方程AlE,PQOl解析：（I）设 ，
16、由条件知 ，得 ，又 ，所以 ，(,0)Fc23cc32ca2a，故 的方程为 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分221baE214xy- 11 -（II）当 轴时不合题意，故可设 ， ，lx:2lykx12(,)(,)Pyx将 代入 中得 ，当 时,即 ,:2lyk214y(4)60216(43)0k234k。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分由韦达定理得 121226,4kxxk从而 1212|()()PQy211()4xx243k又点 到直线 的距离为O2dk所以 的面积 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分PQ2143|1OPQS设 ，则 ， ，因为 ,当且仅当 ，即243kt02tt4t2t时等号成立，且满足 .所以当 的面积最大时， 的方程为72OPQl或 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分yx72yx
