1、1一元二次方程中的思想方法一、转化思想例 1 对于实数 a， b，我们定义一种运算“”为： a b=a2-ab，例如 13=1 2-13.若 x4=0，则 x=_.分析：观察“新运算”的要求，将新运算转化为我们熟悉的运算，再解方程可得 x 的值.解：由题意，得 x4= x2-4x=0，解得 x1=0， x2=4.故答案为 0 或 4.2、整体思想例 2 已知 x2-2x-30，则 2x2-4x 的值为 （ ）A-6 B6 C-2 或 6 D-2 或 30分析：先将条件变形 为 x2-2x3，再将 2x2-4x 转化为 2（ x2-2x）的形式，把 x2-2x3 整体代入即可解：将 x2-2x-
2、30，变形为 x2-2x3 ，所以 2x2-4x2（ x2-2x）=236，故选 B三、分类讨论思想例 3 等腰三角形一条边长为 3，它的另两条边的边长是关于 x 的一元二次方程 x2-12x k=0 的两个解，则 k 的值是 （ ） A27 B36 C27 或 36 D1 8分析：题中没有说明已知的边长 3 是腰还是底边，故需要分腰为 3，或底边为 3 两种情况讨论，分别代入求出 k 的 值，再根据三角形任意两边之和大于第三边舍去不符合题意的答案.解：当等腰三角形的腰长为 3 时，则 x=3 也是一元二次方程 x2-12xk=0 的一个解，把 x=3 代入 x2-12x k=0，解得 k=2
3、7.此时方程的另一解为 9，则三角形的底边长为 9.因为3+39，所以不能组成三角形，故 k27.当等腰三角形底边长为 3 时，一元二次方程 x2-12xk=0 有两个相等的实数根，则=0，即 122-4k=0，解得 k=36，此时方程的解为 x1=x2=6，等腰三角形的三边长分别为3，6，6，满足三角形的三边关系.故选 B.例 4 已知关于 的方程 有实数根,试求 的取值范围.x042xk分析：方程“有实数根”,既可以是“有一个实数根”,也可以是有“有两个实数根”,即方程既可以是一元 一次方程 ,也可以是一元二次方程,故 需按 和 来分类讨论.0解： 当 =0时，原方程为 ，这时有一个实数根 .k343x当 时,方程有两个实数根，则 0，解得 ，且 0.04)(2kk综上所述, 的取值范围应为 .kk3
