1、第三节 矩形、菱形和正方形,考点一 矩形的判定和性质 例1(2018山东临沂中考)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转(0360)，得到矩形AEFG. (1)如图，当点E在BD上时，求证：FDCD； (2)当为何值时，GCGB？画出图形，并说明理由,【分析】(1)先运用SAS判定AEDFDE，可得DFAE， 再根据AEABCD，即可得证； (2)当GBGC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨 论，依据DAG60，即可得到旋转角的度数,【自主解答】(1)由旋转可得AEAB，AEFABCDAB90，EFBCAD， AEBABE. 又ABEEDA90AEBDEF， EDADEF. 又DEED， AE
2、DFDE(SAS)，DFEA. 又AEABCD，CDDF.,(2)当GBGC时，点G在BC的垂直平分线上 分两种情况讨论： 如图，当点G在AD的右侧时，取BC的中点H，连结GH交AD于M，连结DG，CG，BG.,GCGB，GHBC， 四边形ABHM是矩形， AMBH AD AG， GM垂直平分AD，GDGADA， ADG是等边三角形，DAG60， 旋转角60.,如图，当点G在AD的左侧时，连结CG，BG，DG. 同理可得ADG是等边三角形，DAG60，旋转角36060300.,矩形的性质应用及判定方法 (1)矩形性质的应用：从边上看，两组对边分别平行且相 等；从角上看，矩形的四个角都是直角；从
3、对角线上看， 对角线互相平分且相等，同时把矩形分为四个面积相等的 等腰三角形,(2)矩形的判定方法：若四边形可以证为平行四边形，则还 需证明一个角是直角或对角线相等；若直角较多，可利用 “三个角为直角的四边形是矩形”来证,1(2018浙江衢州中考)如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点 C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若AGE32，则 GHC等于( )A112 B110 C108 D106,D,2(2018山东青岛中考)已知：如图，ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连结CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连结FD. (1)求证：ABAF； (2)若AGAB，BCD
4、120， 判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论,(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ABCD，ABCD，AFCDCG. GAGD，AGFCGD， AGFDGC，AFCD，ABAF.,(2)解：结论：四边形ACDF是矩形 理由：AFCD，AFCD， 四边形ACDF是平行四边形 四边形ABCD是平行四边形， BADBCD120，FAG60. ABAGAF，,AFG是等边三角形，AGGF. AGFDGC，FGCG，AGGD， ADCF， 四边形ACDF是矩形,考点二 菱形的判定和性质 例2(2018四川内江中考)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AECF
5、，并且AEDCFD. 求证：(1)AEDCFD； (2)四边形ABCD是菱形,【分析】(1)由全等三角形的判定定理ASA证得结论； (2)由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论,【自主解答】(1)四边形ABCD是平行四边形， AC. 在AED与CFD中，AEDCFD(ASA),(2)由(1)知AEDCFD，则ADCD. 又四边形ABCD是平行四边形， 四边形ABCD是菱形,菱形的性质应用及判定方法 (1)判定一个四边形是菱形时，一是证明四条边相等；二是先证明它是平行四边形，进而再证明它是菱形 (2)运用菱形的性质时，要注意菱形的对角线互相垂直这个条件；此外，菱形的对角线所在的直线是菱形的对称
6、轴，运用这一性质可以求出线段和的最小值,3(2018江苏镇江中考)如图，点E，F，G分别在菱形ABCD 的边AB，BC，AD上，AE AB，CF CB，AG AD.已知 EFG的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于_,27,4(2018广西柳州中考)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB2. (1)求菱形ABCD的周长； (2)若AC2，求BD的长,解：(1)四边形ABCD是菱形，AB2， 菱形ABCD的周长248. (2)四边形ABCD是菱形，AC2，AB2， ACBD，AO1，,考点三 正方形的判定和性质 例3(2018山东聊城中考)如图，正方形ABCD中，E是BC
7、上的一点，连结AE，过B点作BHAE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连结AF. (1)求证：AEBF. (2)若正方形边长是5，BE2，求AF的长,【分析】(1)根据ASA证明ABEBCF，可得结论； (2)根据(1)得ABEBCF，则CFBE2，最后利用勾股定理可得AF的长,【自主解答】(1)四边形ABCD是正方形， ABBC，ABEBCF90， BAEAEB90. BHAE，BHE90， AEBEBH90，BAEEBH. 在ABE和BCF中，,ABEBCF(ASA)，AEBF.,(2)ABBC5， 由(1)得ABEBCF， CFBE2，DF523. 四边形ABCD是正方形， ABAD5
8、，ADF90， 由勾股定理得AF,判定正方形的方法及其特殊性 (1)判定一个四边形是正方形，可以先判定四边形为矩形， 再证邻边相等或者对角线互相垂直；或先判定四边形为菱 形，再证有一个角是直角或者对角线相等 (2)正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，具有它们的 所有性质,5(2018山东青岛中考)已知正方形ABCD的边长为5，点 E，F分别在AD，DC上，AEDF2，BE与AF相交于点G，点 H为BF的中点，连结GH，则GH的长为_,6(2018浙江舟山中考)如图，等边AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且CEF45.求证：矩形ABCD是正方形,证明：四边形ABCD是矩形， B
9、DC90. AEF是等边三角形， AEAF，AEFAFE60. CEF45，CFECEF45， AFDAEB180456075， AEBAFD(AAS)，ABAD， 矩形ABCD是正方形,考点四 四边形综合题 百变例题(2018山东枣庄中考改编)如图， 将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边上的 点E处，过点E作EGCD交AF于点G，连结DG. (1)求证：四边形EFDG是菱形； (2)探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由； (3)若AG ，EG ，求BE的长,【分析】(1)根据翻折的性质和平行线的性质证明即可； (2)连结DE，交AF于点O.由菱形的性质可知GFDE，OGO
10、F GF，然后证明DOFADF，由相似三角形的性质可证 明DF2FOAF，于是可得到EG，AF，GF的数量关系；,(3)过点G作GHDC，垂足为H.利用(2)的结论可求得FG，然 后在ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明FGH FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据 BEADGH求解即可,【自主解答】(1)GEDF，EGFDFG. 由翻折的性质可知GDGE，DFEF，DGFEGF， DGFDFG，GDDF， DGGEDFEF， 四边形EFDG是菱形,(2)EG2 GFAF. 理由如下：如图，连结DE，交AF于点O.,(3)如图，过点G作GHDC，垂足为点H.,变式1：如
11、图，若点G在BE上，AD10，AB6，CE2，将 ABG沿AG折叠，点B恰好落在线段AE上的点H处求证： (1)FAG45； (2)SABG SEGH； (3)BGCEGE.,证明：由题意可知，BGGH，AEAD10，AHAB6， 12，34.,(1)1234BAD90， 23 BAD 9045， 即FAG45. (2)AE10，AH6，HEAEAH1064. 设BGx，GHBGx， GEADBGEC10x28x. 在RtGHE中，GE2GH2HE2，,(8x)2x242，x3，即GHBG3， SABG ABBG 639， SGHE GHHE 346，SABG SEGH. (3)GE8x835
12、，BGEC325， BGCEGE.,变式2：如图，矩形ABCD中，AD10，AB6，若点M是BC边上一点，连结AM，把B沿AM折叠，使点B落在点B处，当CMB为直角三角形时，求BM的长,解：如图，当点B落在矩形内部时，连结AC，,在RtABC中，AB6，BC10， AC B沿AM折叠，使点B落在点B处， ABMB90. 当CMB为直角三角形时，只能得到MBC90， 点A，B，C共线，即B沿AM折叠，使点B落在对角线AC上的点B处， MBMB，ABAB6，CB2 6.,设BMx，则MBx，CM10x， 在RtCMB中， MC2MB2CB2，(10x)2x2(2 6)2， 解得x,如图，当点B落在AD边上时，此时四边形ABMB为正方形，BMAB6. 综上所述，BM的长为 或6.,易错易混点一 正难则反，避实就虚 例1 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合 百般好，隔裂分家万事休”如图，在一个边长 为1的正方形纸板上，依次贴上面积为 的矩形彩 色纸片(n为大于1的整数)请用“数形结合”的思想，依数 形变化的规律，计算 .,易错易混点二 矩形的判定掌握不牢固 例2 如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ABO是等边三角形，AB1，求ABCD的面积,
