1、江西师大附中 2018 届高三年级测试（三模）理 科 数 学一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先化简集合 M 和 N,再求 .详解：由题得所以 .由题得所以 .故答案为：A点睛：（1）本题主要考查集合的化简即交集运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.（2）解答本题的关键是求 ，由于集合 中含有 k,所以要给 k 赋值，再求 .2. 已知复数 满足 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先求出复数 z,再求 .
2、详解：由题得所以 故答案为：B点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的共轭复数，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力. (2)复数 的共轭复数3. 设 两条不同的直线， 是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）A. 若 ，则 B. 若 ，则C. 若 ，则 D. 若 ，则【答案】D【解析】分析：利用空间线面位置关系逐一判断每一个选项的真假得解.详解：对于选项 A, 若 ，则 或 ，所以选项 A 是假命题.对于选项 B, 若 ，则 或 a 与 相交.所以选项 B 是假命题.对于选项 C, 若 ，则 或 与 相交.所以选项 C 是假命题 .对于选项 D, 若 ，则 ,是真命题.故答
3、案为：D点睛：（1）本题主要考查空间直线平面的位置关系的判断，意在考查学生对线面位置关系定理的掌握能力和空间想象能力.（2）对于空间线面位置关系的判断，一般利用举反例和直接证明法.4. 执行如图的程序框图，如果输入的 分别为 ，输出的 ，那么判断框中应填入的条件为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：直接按照程序运行即可找到答案.详解：依次执行程序框图中的程序，可得： ，满足条件，继续运行； ，满足条件，继续运行； ，不满足条件，停止运行，输出 故判断框内应填n4，即 nk+1故选 C点睛：本题主要考查程序框图和判断框条件，属于基础题,直接按照程序运行，一般都可以找到答案.5.
4、 已知函数 ，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先化简 得到 ，再求 的值.所以 故答案为：D点睛：（1）本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.6. 给出下列命题：已知 ， “ 且 ”是“ ”的充分不必要条件；已知平面向量 ， “ ”是“ ”的必要不充分条件；已知 ， “ ”是“ ”的充分不必要条件；命题 “ ，使 且 ”的否定为 “ ，都有使 且”，其中正确命题的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：逐一分析判断每一个命题的真假得解.详解：对于选项，由 a1
5、且 b1ab1，反之不成立，例如取 a=2，b=3，因此“a1 且 b1”是“ab1”的充分条件，正确；平面向量 ， 1，| |1，取 =（2，1） ， =（2，0） ，则| |=1，因此| |1 不成立反之取， = ，则| |1，| |1 不成立，平面向量 ，| |1，| |1“是“| |1”的既不必要也不充分条件；如图在单位圆 x2+y2=1 上或圆外任取一点 P（a，b） ，满足“a 2+b21” ，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|1” ，在单位圆内任取一点 M（a，b） ，满足“|a|+|b|1” ，但不满足， “a2+b21” ，故 a2+b21 是“|a|+|b
6、|1”的充分不必要条件，因此正确；命题 P：“x 0R，使 且 lnx0x 01”的否定为p：“xR，都有exx+1 或 lnxx1” ，因此不正确其中正确命题的个数是 2故答案为：C点睛：（1）本题主要考查充要条件的判断和平面向量的性质运算，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)解答真假命题的判断，方法比较灵活，可以利用举例法和直接法,要灵活选择.7. 已知 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】分析：先根据 得到 ，再求 最后求 的值.详解：由题得所以 ，所以故答案为：B点睛：（1）本题主要考查三角函数求值，意在考查学生对这些基础知识的掌握
7、能力和分析转化能力. (2)解答本题的关键有两点，其一是根据已知求 的隐含范围，其二是通过变角求的值， .8. 已知 满足约束条件 ，若 的最大值为 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】不等式组对应的可行域如图所示：联立 得 B(1，m-1).= 表示动点（x,y）和点 D（-1,0）的斜率，可行域中点 B 和 D 的斜率最大，所以故选 B.9. 经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系对某小组学生每周用于数学的学习时间 与数学成绩 进行数据收集如下：由样本中样本数据求得回归直线方程为 ，则点 与直线 的位置关系是（ ）A. B. C
8、. D. 与 的大小无法确定【答案】B【解析】分析：由样本数据可得 ，利用公式，求出 b，a，点（a，b）代入 x+18y，求出值与 100 比较即可得到选项详解：由题意， （15+16+18+19+22）=18， （102+98+115+115+120）=110，5 =9900， =1650，n =5324=1620，b= =3.1，a=1103.118=54.2，点（a，b）代入 x+18y，54.2+183.1=110100即 a+18b100.故答案为：B点睛：本题主要考查回归直线方程的求法，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和运算能力.10. 在区间 上任取一个数 ，则函数 在 上的
9、最大值是 的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：设函数 y=x24x+3，求出 x0，4时 y 的取值范围，再根据 a2，2讨论 a 的取值范围，判断 f（x）是否能取得最大值 3，从而求出对应的概率值详解：在区间2，2上任取一个数 a，基本事件空间对应区间的长度是 4，由 y=x24x+3=（x2） 21，x0，4，得 y1，3，1ax 24x+3a3a，|x 24x+3a|的最大值是|3a|或|1a|，即最大值是|3a|或|1+a|；令|3a|1+a|，得（3a） 2（1+a） 2，解得 a1；又 a2，2，2a1；当 a2，1时，|3a|=3a，f（x）=|x 2
10、4x+3a|+a 在 x0，4上的最大值是 3a+a=3，满足题意；当 a（1，2时，|1+a|=a+1，函数 f（x）=|x 24x+3a|+a 在 x0，4上的最大值是 2a+1，由 1a2，得 32a+15，f（x）的最大值不是 3.则所求的概率为 P= 故答案为：A点睛：（1）本题主要考查几何概型和函数的最值的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是通过函数 在 上的最大值是 分析得到 a2，1.11. 设双曲线 的右焦点为 ，过点 作 轴的垂线交两渐近线于 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 ，设 为坐标原点，若 ， ，则双曲线的离心率为（
11、）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先根据已知求出 ，再代入 求出双曲线的离心率.详解：由题得双曲线的渐近线方程为 ，设 F(c,0)，则因为 ，所以 .所以解之得因为 ，所以故答案为：A点睛：（1）本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是根据 求出 .12. 已知函数 有两个零点 ，且 ，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析:先通过函数 有两个零点 求出 ，再利用导数证明，即证明 .详解:因为函数 ,所以 ,当 a0 时， 所以 f(x)在（0，+）上单调递增，所以不可能有两个零
12、点.当 a0 时， 时， ，函数 f(x)单调递增， 时， ，函数 f(x)单调递减.所以因为函数 f(x)有两个零点，所以又又令则所以函数 g(x)在 上为减函数， =0，又 ，又 ， ，即 .故答案为：B点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间、最值和零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.(2)本题的解题关键是构造函数 求函数的图像和性质.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数 的图像与直线 以及 轴所围成的图形的面积为 ，则的展开式中的常数项为_ （用数字作答）【答案】【解析】分析：求定积分可得 a 值，然后求出二项式
13、的通项，得到 的展开式中含 x 及 的项，分别与 中的项相乘求得答案详解：由题意，a= =（x ） （2x ） 5展开式的常数项由（2x ） 5 中含 x 的项乘以 再加上含 的项乘以 x 得到的（2x ） 5 展开式的通项 Tr+1=（1） r 25r x52r 令 52r=1，得 r=2，因此（2x ） 5 的展开式中 x 的系数为（1） 223 =80令 52r=1，得 r=3，因此（2x ） 5 的展开式中 的系数为（1） 3则 的展开式中的常数项为 80（2）40=200 故答案为：20014. 某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为_【答案】【解析】由三视图可得三棱锥为如图
14、所示的三棱锥 ，其中底面 为直角三角形将三棱锥还原为长方体，则长方体的长宽高分别为 ，则三棱锥外接球的球心在上下底面中心的连线 上，设球半径为 ，球心为 ，且球心到上底面的距离为 ，则球心到下底面的距离为 在如图所示的 和 中，由勾股定理可得 及，解得 所以三棱锥的外接球的表面积为 答案：点睛：已知球与柱体（或锥体）外接求球的半径时，关键是确定球心的位置，解题时要根据组合体的特点，并根据球心在过小圆的圆心且与小圆垂直的直线上这一结论来判断出球心的位置，并构造出以球半径为斜边，小圆半径为一条直角边的直角三角形，然后根据勾股定理求出球的半径，进而可解决球的体积或表面积的问题15. 已知 为抛物线
15、的焦点， 为其准线与 轴的交点，过 的直线交抛物线 于 两点， 为线段 的中点，且 ，则 _【答案】6【解析】分析：求得抛物线的焦点和准线方程，可得 E 的坐标，设过 F 的直线为 y=k（x1） ，代入抛物线方程 y2=4x，运用韦达定理和中点坐标公式，可得 M 的坐标，运用两点的距离公式可得 k，再由抛物线的焦点弦公式，计算可得所求值详解：F（1，0）为抛物线 C：y 2=4x 的焦点，E（1，0）为其准线与 x 轴的交点，设过 F 的直线为 y=k（x1） ，代入抛物线方程 y2=4x，可得 k2x2（2k 2+4）x+k 2=0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则
16、x1+x2=2+ ，中点 M（1+ ， ） ，可得 ，解得 k2=2，则 x1+x2=2+ =4，由抛物线的定义可得 =x1+x2+2=6，故答案为：6点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是利用 求出 k的值.16. 为等腰直角三角形， 是 内的一点，且满足 ，则的最小值为_【答案】【解析】分析：先建立直角坐标系，再求点 M 的轨迹，再求|MB|的最小值.详解：以 A 为坐标原点建立直角坐标系，由题得 C ,设 M(x,y)，因为 ，所以 ，所以点 M 在以 为圆心，1 为半径的圆上，且
17、在ABC 内部，所以|MB|的最小值为 .故答案为：点睛：（1）本题主要考查轨迹方程和最值的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化的能力. (2)本题的解题关键有两点，其一是建立直角坐标系，其二是求出点 M 的轨迹方程 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 的前 项和为 ， ，且满足 （1）求数列 的通项 ；（2）求数列 的前 项和为 【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：（1）先化简已知，再用项和公式求出数列 的通项 .(2)利用错位相减法求数列的前 项和为 .详解：（1） ， ，即 ；当 时， ，
18、当 时，不满足上式，所以数列 是从第二项起的等比数列，其公比为 2；所以 .（2）当 时， ，当 时， ，点睛：（1）本题主要考查数列通项的求法和错位相减法求和，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力.(2)已知 的关系，可以利用项和公式，求数列的通项.注意结果是能并则并，不并则分.所以本题中，不能合在一起.18. 某地十万余考生的成绩近似地服从正态分布，从中随机地抽取了一批考生的成绩，将其分成 6 组：第一组 ，第二组 ，第六组 ，作出频率分布直方图，如图所示：（1）用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩和标准差（精确到个位） ；（2）以这批考生成绩的平均值和标准差
19、作为正态分布的均值和标准差，设成绩超过 93 分的为“优” ，现在从总体中随机抽取 50 名考生，记其中“优”的人数为 ，是估算 的数学期望【答案】 （1） ， ；（2）【解析】分析: (1)直接利用平均数和标准差公式求解.(2)先，再求 ,最后求 的数学期望详解：（1）根据题意，计算平均数为；（2）依题意，；因为 所以 .点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图中平均数和标准差的计算，考查正态分布和随机变量的数学期望的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是能利用正态分布的性质计算出 ，其二是灵活利用二项分布性质简洁地计算出 .19. 如图， 是
20、边长为 6 的正方形，已知 ，且 并与对角线 交于，现以 为折痕将正方形折起，且 重合，记 重合后记为 ， 重合后记为.（1）求证：面 面 ；（2）求面 与面 所成二面角的余弦值.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】分析：（1）先取 中点 ，连 ，取 中点 ,连 ，再证明 面 ，再证明面 面 .（2）以与 垂直的直线为 轴， 为 轴， 为 轴建立坐标系，利用向量法求得面 与面 所成二面角的余弦值为 .详解：取 中点 ，连 ，则 .再取 中点 ,连 ，则 ，易得，于是，四边形 为平行四边形，得 ,从而 ，那么 面 ，又 面 ，故面 面 .（2）以与 垂直的直线为 轴， 为 轴， 为 轴建立坐标
21、系，则,设面 的法向量 ,由 ， 得：，取 ，得 ，所以面 的法向量 .同理可得：面 的法向量 ，则 ，所以面 与面 所成二面角的余弦值为 .点睛：（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力分析推理能力.(2) 二面角的求法一般有两种，方法一：（几何法）找 作（定义法、三垂线法、垂面法） 证（定义） 指 求（解三角形） ，方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量 ；再代入公式 （其中分别是两个平面的法向量， 是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“ ”号）20. 已知 为椭圆 上三个不同的点， 为坐标
22、原点（1）若 ，问：是否存在恒与直线 相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；（2）若 ，求 的面积.【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：（1）先求出原点 到 的距离 ，再证明存在圆 与直线 恒相切.（2）先求出点 C 的坐标，再代入 得 ，最后计算 的面积.详解：（1）设直线 ，代入 得：设 ，则 ；由 得：因为 ,所以化简得： ，于是原点 到 的距离特别地，当 轴时， 也符合，故存在圆 与直线 恒相切.（2）设 ，则代入 得 ， ，于是所以 .点睛：（1）本题主要考查直线与圆和椭圆的位置关系，考查圆锥曲线的最值问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理的能力.
23、(2)解答本题的关键有两点，其一是根据 得到 ，其二是化简 .21. 已知函数 .（1）若 ，求函数 的最大值；（2）对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1）0；（2）【解析】分析：（1）利用导数先求函数的单调性，再求函数 的最大值.(2)先转化为在 恒成立，再构造函数 求，再化简 =1，即得解.详解:（1）在 上单调递增，在 上单调递减，的最大值为（2）不等式 恒成立，等价于 在 恒成立，令令所以 在 单调递增， ，所以 存在唯一零点 ，且 ，所以 在 单调递减，在 单调递增.，即构造函数 ，易证 在 单调递增，所以 ，则 ，将这两个式子代入 ，所以 .点睛：（1）本
24、题主要考查利用导数求函数的单调性和最值，利用导数解答恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.（2）解答本题的关键有两点，其一是求出 ，其二是化简 .22. 在直角坐标系 中，曲线 （ 为参数） ，在以 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 其中 为直线 的倾斜角（ ）（1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；（2）直线 与 轴的交点为 ，与曲线 的交点分别为 ，求 的值.【答案】 （1） ；（2）3【解析】分析：（1）利用消参求曲线 的普通方程，利用极坐标公式求直线 的直角坐标方程.(2)利用参数方程参数的几何意义和韦达定理求 的值.详解：（1）曲线 的普通方程
25、为 ，直线 的直角坐标方程为 .（2）直线 与 轴的交点为 ，直线 的参数方程可设为 （ 为参数） ，将直线 的参数方程代入圆 的方程 ，得 ，. 点睛：（1）本题主要考查极坐标、参数方程和普通方程的互化，考查直线参数方程参数的几何意义，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 直线参数方程中参数 的几何意义是这样的：如果点 在定点 的上方，则点 对应的参数 就表示点 到点 的距离 ,即.如果点 在定点 的下方，则点 对应的参数 就表示点 到点 的距离 的相反数，即 .23. 已知函数 ，其中 为正实数（1）若 ，求不等式 的解集；（2）若 的最小值为 ，问是否存在正实数 ，使得不等式 能成立？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】分析：（1）利用零点分类讨论法求不等式 的解集.(2)利用绝对值三角不等式求解.详解：（1）不等式 等价于或 或解得： ，所以不等式 的解集是 .（2）存在正实数 .上式等号成立的等价条件为当且仅当 ，即 ，所以存在 ，使得不等式 成立.点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 求绝对值的最值直接使用重要绝对值不等式求解，也可以利用数形结合求解.
