1、上饶市 2018 届第二次高考模拟考试高三数学（文科）试题卷第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 全集 ，集合 ， ，集合 ，所以 ，故选 A.2. 设 ，则 （ ）A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】因为 ，所以 ，故选A.3. 已知两组数据 的对应关系如下表所示，若根据表中的数据得出 关于 的线性回归方程为 ，则表中 的值为（ ）2 4 5 6 830 38 50 72A. 50 B. 55 C. 56.
2、5 D. 60【答案】D【解析】由表中数据，计算 ， 回归直线方程 过样本中心， ，解得 ，故选 D.4. 设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ ）A. B. 1 C. 4 D. 5【答案】B【解析】画出 表示的可行域，由 ，得 ，平移直线 ，由图知，当直线 经过 时 有最小值，最小值为 ，故选 B.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将
3、最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 欧阳修的卖油翁中写道“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿” ，可见“行行出状元” ，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为 的圆面，中间有边长为 的正方形孔.现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计） ，则油滴落入孔中的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得直径为 的圆的面积为 ，而边长为 的正方形面积为，根据几何概型概率公式可得油滴落入孔中的概率为 ，故选 B.6. “ ”是“直线 与直线 垂直”的 （ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
4、条件【答案】A【解析】由直线 与直线 垂直可得，解得 或 ，所以“ ”是“直线与直线 垂直”的充分不必要条件，故选 A.7. 函数 的最大值为（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】D【解析】因为 ，即函数 的最大值为 ，故选 D.8. 如图，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ）A. 16 B. 12 C. 8 D. 6【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是以正视图为底面的四棱锥，四棱锥的高为 ，底面是直角梯形，所以该几何体的体积为 ，故选 A.9. 函数 的图像大致为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】令 ，可得 ，即函数 有唯一的零点 ，四个选项中，只有
5、选项符合题意，故选 B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.10. 如图 1 是某学习小组学生在某次数学考试中成绩的茎叶图，1 号到 20 号同学的成绩依次为 ，图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该框图的输出结果是（ ）A. 8 B. 9 C. 11 D. 12【答案】A【解析】由算法流程图
6、可知，其统计的是数学成绩不小于 的人数，所以由茎叶图知，数学成绩不小于 的人数为 ，因此输出结果为 ，故选 A.11. 已知 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线 的右支上存在点，满足 ，则双曲线 的离心率的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由双曲线定义可知， ，又 ，联立两式，可得，根据双曲线的几何性质可得， ，又 离心率范围是 ，故选 A.12. 设定义在 上的函数 满足任意 都有 ，且 时，有 ，则 的大小关系是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据题意，函数 满足任意 都有 ，则有，则 是周期为 的函数，则有 ，设 ，则导数为 ，又由时， ，则
7、有 ，则有 ，则函数 在 上为减函数，则有 ，即 ，又由 ，则有 ，变形可得，故选 C.【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状” ；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题
8、 5 分，共 20 分.13. 已知 为单位向量，且 ，则 的最大值为_【答案】【解析】 为单位向量，且 ， ，即 的最大值为 ，故答案为 .14. 二维空间中，圆的一维测度（周长） ，二维测度（面积） ；三维空间中，球的二维测度（表面积） ，三维测度（体积） .应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度 ，则其四维测度 _【答案】【解析】 二维空间中圆的一维测度（周长） ，二维测度（面积） ；观察发现，三维空间中球的二维测度（表面积） ，三维测度（体积） ，观察发现四维空间中“超球”的三维测度 ，猜想其四维测度 ，则，故答案为 .【方法点睛】本题通过观察维测度与二维测度、二维测度与三维
9、测度之间的关系，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤:通过观察个别情况发现某些相同的性质.从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.15. 抛物线 的焦点为 ，准线 是抛物线上的两个动点，且满足 .设线段 的中点 在 上的投影为 ，则 的最大值是_【答案】【解析】设 ，如图，根据抛物线的定义，可知 ，再梯形中，有 ， 中， ，又因为 ，所以 ，所以 ，故最大值是 1，故填：
10、1【点睛】本题考查了抛物线的综合，抛物线的性质中最重要的一条是抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，利用这条性质可以做出相应的图形，将边长进行转化，本题的另一个难点是利用余弦定理求 ，以及利用基本不等式转化为已知焦半径，突破是这两点，本题就迎刃而解了.16. 锐角 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 取值范围是_【答案】【解析】由 结合余弦定理可得 ，即，再由正弦定理可得， 可得 或（舍去） ， ，又 均为锐角，由于可得 ，可得，由 可得 ，故答案为 .三、解答题 ：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 数列 的前 项和为 ，且 ，数列 为等差数
11、列，且 .（1）分别求数列 和 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 .【答案】 （1） , ；（2） .【解析】试题分析：（1）由 可得 ，适合 ， ，由 求出首项与公差，进而可得 ；（2）结合（1）可得，根据错位相减法，利用等比数列的求和公式可得数列 的前 项和 .试题解析：（1） ，时， ，适合 ， ，由 得 ，由 得 ， ， ， .（2）由 ，得 ，相减，得 ， 【方法点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的通项以及错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列 是等差数列， 是等比数列，求数列 的前 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列 的公比，然后
12、作差求解, 在写出“ ” 与“ ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式.18. 如图所示，在直三棱柱 中，平面 平面 ，且 .（1）求证： 平面 ；（2）若三棱锥 外接球的体积为 ，求四棱锥 的体积【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）连接 ，根据棱柱的性质可得四边形 为正方形，于是，又由面面垂直的性质，可得 平面 ， ，结合 ，利用线面垂直的判定定理可得 平面 ；（2）先证明 为三棱锥 外接球的直径，可得 ，根据勾股定理可得 ，再证明 平面 后，可得.试题解析：（1）连接 ， 为直三棱柱， ，四边形 为正方形， ，又平面 平面 ，且
13、平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，又 平面 ， ，又 平面 ， ，又 ，且 ， 平面 ， 平面 ；（2）由条件可得 ，由（1）可知 ， ， 为三棱锥外接球的直径， ，又 ， ，又 ， ， ， 平面 ， 19. 上饶某购物中心在开业之后，为了解消费者购物金额的分布，在当月的电脑消费小票中随机抽取 张进行统计，将结果分成 5 组，分别是，制成如图所示的频率分布直方图（假设消费金额均在 元的区间内） （1）若在消费金额为 元区间内按分层抽样抽取 6 张电脑小票，再从中任选 2 张，求这2 张小票均来自 元区间的概率；（2）为做好五一劳动节期间的商场促销活动，策划人员设计了两种不同的促销方案：方案一：
14、全场商品打 8.5 折；方案二：全场购物满 200 元减 20 元，满 400 元减 50 元，满 600 元减 80 元，满 800 元减 120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免利用直方图的信息分析哪种方案优惠力度更大，并说明理由（直方图中每个小组取中间值作为该组数据的替代值） 【答案】 （1） ；（2）方案二优惠力度更大.【解析】试题分析：（1）根据分层抽样 中抽取 张， 中抽取 张，列举出 张电脑小票中任选 张的事件数为 ，这 张小票均来自 元区间的事件数为 ，由古典概型概率公式可得结果；（2）分别计算出两种方案的平均优惠金额，平均优惠金额较大的方案即为优惠力度较大的方案.试题解析：
15、（1）由图可知， 中抽取 2 张，设为 ， 中抽取 4 张，设为，共有 15 个基本事件： ，其中 2 张小票均来自 的基本事件为 ，所以 ；（2）方案一： 元.方案二：，所以方案二优惠力度更大.【方法点睛】本题主要考查直方图与古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先 ， . ，再 ， 依次 . 这样才能避免多写、漏写现象的发生.20. 已知椭圆 ，离心率 ，点
16、在椭圆上（1）求椭圆 的标准方程；（2）设点 是椭圆 上一点，左顶点为 ，上顶点为 ，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证： 为定值【答案】 （1） ；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据椭圆离心率 ，点 在椭圆上，结合性质 ， ，列出关于 、 、 的方程组，求出 、 、 ，即可得椭圆 的标准方程；（2）设， ， ，则 ，由 三点共线，可得 ，则 ，结合 ，消去 可得为定值 .试题解析：（1）依题意得 ，设 ，则 ，由点 在椭圆上，有 ，解得 ，则 ，椭圆 C 的方程为： .(2)设 ， ， ，则 ，由 APM 三点共线，则有，即 ，解得 ，则 ， 由 BPN 三点共线，
17、有 ，即 ，解得 ，则 = 又点 P 在椭圆上，满足 ，有 ，代入上式得= ，可知 为定值 .21. 已知函数 （1）求函数 的极值；（2）若 恒成立，求 的最小值【答案】 （1）极小值为 ，无极大值；（2） .【解析】试题分析：（1）通过两次求导可得 在 上单调递增，又 ，当 时，递减，当 时 递增， 的极小值为 ，无极大值；（2）恒成立等价于 恒成立，当 在 上单调递增，不合题意，当 可得 ，即， ，令 ，只需利用导数求出 即可的结果.试题解析：（1） ， 恒成立， 在 上单调递增，又 ，当 时， 递减，当 时， 递增， 的极小值为 ，无极大值.（2） 即 ，令 ，即证当 时， 恒成立，则
18、 ，当 在 上单调递增，当 时， ，与 矛盾.当 在 上单调递减，当 上单调递增， ，即 ， ，令 ， ，令 得 ，令 得 ， ，即当 时， 的最小值为 选考部分请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22. 在极坐标系中，已知三点 （1）求经过 三点的圆 的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆 的参数方程为（ 是参数， ） ，若圆 与圆 外切，求实数 的值【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）将 化为直角坐标，求出经过 三点的圆的直角坐标方程，然后利用 化为极坐标方程即可；
19、（2）将圆 的参数方程普通方程，利用圆心距等于两圆的半径和列出关于 的方程，解方程即可得到实数 的值.试题解析：（1） 对应的直角坐标分别为 ，则过的圆的普通方程为 ，又因为 ，代入可求得经过 的圆的极坐标方程为 .（2）圆 （ 是参数）对应的普通方程为 ，因为圆 与圆外切，所以 ，解得 .选修 4-5：不等式选讲23. 已知函数 （1）当 时，求函数 的定义域；（2）若关于 的不等式 的解集是 ，求 的取值范围【答案】 （1） 或 ；（2） .【解析】试题分析：（1）函数 的定义域即是 的解，对 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得定义域；（2）关于 的不等式的解集是 等价于 的解集为 ，求得 的最小值为 ，只需 即可.试题解析：（1）由题意 ，令 ，解得 ，函数的定义域为 或 .（2） ， ，即 解集是 ；则 ，故 .
