1、12018-2019 学年第一学期平望中学第一次质量检测高三数学第 卷 (共1 60分)一、填空题（满分 70 分，共 14 题，每题 5 分。请把正确答案填写在答题纸相应的横线上）1若集合 P1，0，1，2， Q0，2，3，则 P Q _ 2. 命题“ ”的否定是 ,2xR3.函数 f（x）=lg（x1）+（x2） 0的定义域为_ 4. 由命题“ ”是假命题,求得实数 的取值范围是 ,则实数,2mxm)(a的值是_.a5已知不等式 的解集为 ，则 _ .012ba3,2ab6设 则 的大小关系是_1.,8.log,8.log7070cc,7.已知幂函数 y=f（x）的图象过点（2， ） ，则
2、 f（9）=_8、已知函数 f(x)的导函数为 )(xf,且满足 ,则 )5(f= .)2(3)(2xfx9. 曲线 ： 在点 处的切线方程为_ClnyxMe10.已知函数 ， ，则 )1lg()(22xf 618.0(f )(f11.函数 ,则关于 的方程 的实根的个数2cos,1|xf2)320fxf是 _ 12.已知函数 在区间 上既有极大值又有极小值，则 的32tfxxt0,t取值范围是_13.设函数 在 内有定义.对于给定的正数 ，定义函数)(fy),K，取函数 ，若对任意的 ，恒有Kxffk)(,)( xexf2( ),(x，则 的取值范围是_fk14. 已知定义在 上的可导函数
3、的导函数为 ，满足 且R()yfx/()fx/()fxf2为偶函数， ，则不等式 的解集为 (1)yfx(2)1f()xfe二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分 14 分）（1）求值： ；4839(log3l9)(og2l16)（2）若 ，求 的值.12a12aa及16. (本小题满分 14 分)已知集合 P=x|2x2-3x+10，Q= x|（ x-a） （ x-a-1）0 （1）若 a=1，求 PQ； （2）若 xP 是 xQ 的充分条件，求实数 a 的取值范围 17. （本小题满分 14
4、分）已知函数 （ 是常数）是奇函数12)(xaf（1）求实数 的值；（2）求函数 的值域；)(xf（3）设函数 ，求 的1)(xfg )3(2)1(0)(23 gggg 值318. （本小题满分 16 分）已知二次函数 的图象经过点 ，对任意实数 满足 ，且函数)(xf)3,0(x)(2(xff的最小值为 2（1）求函数 的解析式；)(xf xf（2）设函数 ，其中 ，求函数 在区间 上的最小值txfg)2()(Rt)(xg2,0；)(th（3）若在区间 上，函数 的图象恒在函数 的图象上方，试确定实3,1)(xfymxy数 的取值范围m19. (本小题满分 16 分)某经销商计划销售一款新型
5、的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为 x(单位：元，x0)时，销售量 q(x)(单位：百台)与 x 的关系满足：若 x 不超过 20，则 q(x) ；若 x 大于或等于 180，则销售量为零；当 20x180 时，q(x)1 260x 1ab (a，b 为实常数)x(1) 求函数 q(x)的表达式；(2) 当 x 为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值420、(本小题满分 16 分)已知 a 为实数，函数 f(x) alnx x24 x（1）当 6时，求函数 f (x)的极值；（2）若函数 f (x)在2, 3上存在单调递增区间，求实数 a 的取值范围；（
6、3）设 g(x)2 alnx x25 x ，若存在 x01, e，使得 f(x0) g(x0)成立，求实1 ax数 a 的取值范围5班级 姓名 2018-2019 学年第一学期平望中学第一次质量检测高三数学 第 卷 (共4 0分)21【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计20 分请在试卷指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲如图， CD 是圆 O 的切线，切点为 D， CA 是过圆心 O 的割线且交圆 O 于点 B，DA DC求证： CA3 CBB选修 42：矩阵与变换设矩阵 的一个特征值 对应的特征向量为 ，求
7、与 3mM12m的值.6C选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，圆 的参数方程为 为参数 以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ，已知圆心到直线 的距离等于 ，求 的值D选修 45：不等式选讲已知实数 满足 ， ，求证： 7【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.如图，在长方体 中， ， .1DCBA1A3（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；11（2）求二面角 所成角的正弦值.1ABa823袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有
8、 4 个，分别编号为 1，2，3，4现从袋中随机取两个球（1）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（2）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量 X，求随机变量 X 的概率分布与数学期望92018-2019 学年第一学期平望中学第一次质量检测高 三 数 学 第 卷 参 考 答 案一、填空题1.0，2 2. 3.x|x1 且 x24. 6. 5. ,20xR1365-bac7. 3 8.6 9. 101.382 11. 11. 5 12 13. 14. ye90,81K(0,)二、解答题16.解：(1) 7 分223331=log+llog+l762原 式（2）将 等式两边同时平方得
9、10 分123a-1+a因为 ，且 ，所以 . 211+3a120a12+=3a14 分15.解：（1） 2 分当 a=1 时，Q= x|（ x-1）（ x-2）0= x|1 x2 4 分则 PQ=1. 7 分（2） a a+1，Q= x|（ x-a）（ x-a-1）0= x|a x a+1 9 分 xP 是 xQ 的充分条件，PQ. 11 分 ，即实数 a 的取值范围是 14 分17 解：(1)由函数 是奇函数，得对任意 ， 即)(f Rx)(xff 4 分1212xxaa解得 4 分（2）由（1）知 ，因为 ，所以 ,12)(xxf 1x 120x6 分10则 所以函数 的值域为 9 分2
10、121x )(xf)21,(（3）因为函数 是奇函数，所以对任意 ， ，即)(f R(xff，所以 ， 0)(xf )(xg1)f12 分所以 )3(2)1(0)(2)3( gg14 分0g 71218 解:（1）由对任意实数 满足 ，得二次函数 的图象关于直线x)(2(xff)(xf对称， 2 分x又函数 的最小值为 2因此可设)(f（ ）3 分12xa0a又二次函数 的图象经过点 ，所以 ，解得 所以)(f)3,(32a1a4 分21)(2xxf（2）由（1）知， ，则3)(f xtxfg)2()(3t223)(ttx当 时，函数 在区间 上单调递增，所以 ；0t)(xg2,0 3)0()
11、(mingx6 分当 时，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，所以2t)(x,t 2,t； 8 分2min3)()(tgx当 时，函数 在区间 上单调递减，所2tx,0以 10 分tgx47)(min11综上所述，函数 在区间 上的最小值 11 分)(xg2,0)(th,4732t.,0（3）由题意，得 对 恒成立， 对 恒成立.mxf)(,132xm,1 （ ）. 13 分in23(xm3,设 （ ）.则 ，而)2h,1x3)(2xh43)2(，所以 所以实数 的取值范围是 3,1x 432)(minhm,16 分19. 解：(1) 当 20x180 时，由 2 分a b20 60
12、，a b180 0， )得 4 分a 90，b 3 5.)故 q(x) 6 分 1 260x 1， 0180. )(2) 设总利润 f(x)xq(x)，由(1)得 f(x) 8 分126 000xx 1 ， 0180 )当 0x20 时，f(x) 126 000 ，f(x)在0，20上单调递增，126 000xx 1 126 000x 1所以当 x20 时，f(x)有最大值 120 000. 10 分当 20x180 时，f(x)9 000x300 x ，f(x)9 000450 ，5 x 5 x令 f(x)0，得 x80. 12 分当 200，f(x)单调递增，当 80x180 时，f(x)
13、0，f(x)单调递减，所以当 x80 时，f(x)有最大值 240 000. 14 分当 180x 时，f(x)0. 15 分答：当 x 等于 80 元时，总利润取得最大值 240 000 元 16 分20. （1）定义域为 |0， 2(1)3)xf，令 ()0fx，则 3 1 分当 时， ()0fx；当 3时， ()0fx所以当 x时 有极小值 ()6lnf，无极大值. 3 分12(2)2(1)xaf，当 2时， ()0fx， ()f在 ,)上递增，成立； 5 分当 2a时，令 ()0fx，则 12a，或 12ax，所以 ()fx在 ,3上存在单调递增区间，所以 3，解得 6, 7 分综上，
14、 6a. （注：其他解法，答案正确也给分） 8 分（3）在1 ,e上存在一点 x0，使得 00fxg成立，即在1,e上存在一点 0x，使得0hx，即函数 1lnah在1, e上的最小值小于零有 22 21()(1)()axxa 9 分当 e，即 1时， h在 e， 上单调递减，所以 hx的最小值为 e，由 10a可得21ea，因为21e，所以2a； 11 分当 a，即 0时， hx在 1e， 上单调递增，所以 hx最小值为 1，由 0a可得 2； 13 分当 1ae，即 0ae时，可得 hx最小值为 1ln1haa，因为 0ln1，所以， ln1a，故 12l2haa此时不存在 0x使 h成立
15、 15分综上可得所求 的范围是：21e或 16 分2018-2019 学年第一学期平望中学第一次质量检测高三数学 第 卷 参 考 答 案13A选修 41：几何证明选讲证明：连接 OD，因为 DA=DC，所以 DAO= C2 分在圆 O 中， AO=DO，所以 DAO= ADO， 所以 DOC=2 DAO=2 C5 分因为 CD 为圆 O 的切线，所以 ODC=90， 从而 DOC C90，即 2 C C90，故 C30， 7 分所以 OC2 OD2 OB，所以 CB OB，所以 CA3 CB 10 分B选修 42：矩阵与变换解：由题意得 ， 132m4 分则 ， 8 分426解得 ， . 10
16、 分0mC选修 44：坐标系与参数方程解 消去参数 t，得到圆的普通方程为 , 3 分由 ，得 ,所以直线 的直角坐标方程为 . 6 分14依题意，圆心 C 到直线 的距离等于 ，即 解得 . 10 分D选修 45：不等式选讲证明：因为 a2 b c1， a2 b2 c21，所以 a2 b1 c， a2 b21 c2. 3 分由柯西不等式：(1 22 2)(a2 b2)( a2 b)2， 5(1 c2)(1 c)2， 7 分整理得，3 c2 c20，解得： c1. 所以： c1. 10 分22. 解：在长方体 中，以 分别为 轴建立空间直角1DCBA1,Azyx,坐标系 ，1 分xyzO(1)
17、因为 ， ，所以 ， ，1AB3)3,01()3,1(C所以 ， ， . 3 分 21C|15|1AC从而 ，2|,cos111 BA所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .5 分11C5（2）在长方体 中，平面 的一个法向量 . 1DBA1A)0,1(ABm设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，BDA1 ),(zyxn01BDn3yxz取 ，则 ， ，所以 .7 分3xy1z),3(15所以 ， ， .3nm1|7|n从而 ，9 分213|,cos所以二面角 所成角的正弦值为 .10 分1DAB723（本小题满分 10 分）解：（1）两个球颜色不同的情况共有 C 4 296(种). 3 分24（2）随机变量 X 所有可能的值为 0，1，2，3 5 分P(X0) ， 14P(X1) ， 38P(X2) ，14P(X3) 18所以随机变量 X 的概率分布列为： 8 分所以 E(X)0 1 2 3 10 分14 38 14 18 54X 0 1 2 3P 14 38 14 18
