1、武汉市 2018 届高中毕业生二月调研测试理科数学2018.2.27一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数 满足 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得： .本题选择 B 选项.2. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】求解二次不等式可得： ，求解对数不等式可得： ，结合交集的定义有： .本题选择 A 选项.3. 在等差数列 中，前 项和 满足 ，则 （ ）A. 7 B. 9 C. 14 D. 18【答案】B【解析】 ，所以 ，选 B.4. 根
2、据如下程序框图，运行相应程序，则输出 的值为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】结合流程图可知该流程图运行过程如下：首先初始化数据： ，不满足 ，执行： ；，不满足 ，执行： ；，不满足 ，执行： ；，满足 ，输出 .本题选择 B 选项.5. 某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图所示，在长宽高分别为 的长方体中，题中三视图对应的几何体为图中的四棱锥 ，棱锥的底面积为 ，高为 ，其体积为 .本题选择 D 选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位
3、置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解6. 已知不过原点 的直线交抛物线 于 ， 两点，若 ， 的斜率分别为 ，则 的斜率为（ ）A. 3 B. 2 C. -2 D. -3【答案】D【解析】由题意可知，直线 的方程为： ，与抛物线方程 联立可得： ，则直线 的方程为： ，即与抛物线方程 联立可得： ，则直线 的斜率为： .本题选择 D 选项.7. 已知函数 的最大值为 2，且满足 ，则（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】函数满足 ，则函数关于直线 对称，由函数的解析式可得： ，分类讨论：
4、若 ，则 ，由函数的对称性可得： ，令 可得： ；若 ，则 ，由函数的对称性可得： ，令 可得： ；综上可得： 或 .本题选择 C 选项.8. 将 7 个相同的小球投入甲、乙、丙、丁 4 个不同的小盒中，每个小盒中至少有 1 个小球，那么甲盒中恰好有 3 个小球的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】将 7 个相同的小球投入甲、乙、丙、丁 4 个不同的小盒中，每个小盒中至少有 1 个小球有 种放法，甲盒中恰好有 3 个小球有 种放法，结合古典概型计算公式可得题中问题的概率值为 .本题选择 C 选项.9. 已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 的最大值为（ ）A. -1
5、B. -2 C. D. 【答案】D【解析】不妨设 ，则： ，则 ，故 ，即： ，则 ，当且仅当 时等号成立，综上可得： 的最大值为 .本题选择 D 选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用10. 已知实数 ， 满足约束条件 ，若不等式 恒成立，则实数 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数 ，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点 处取得最大值 ，在点 或点 处取得最小值 ，即 .题中的不等式即： ，则： 恒成
6、立，原问题转化为求解函数 的最小值，整理函数的解析式有：，令 ，则 ，令 ，则 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，且 ，据此可得，当 时，函数 取得最大值，则此时函数 取得最小值，最小值为： .综上可得，实数 的最大值为 .本题选择 A 选项.11. 已知函数 ，若 在 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当 时， 恒成立， ；当 时， 即： ，令 ，则 ，令 ，则： ，则函数 在区间 上单调递减， ，据此可得函数 ，故函数 在区间 上单调递增，的最大值为： ，综上可得，实数 的取值范围为 .本题选择 C 选项.点睛：利用导数研究函数的单调性的关键
7、在于准确判定导数的符号求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得.12. 已知直线 与曲线 相交，交点依次为 ， ， ，且 ，则直线 的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由函数的解析式可得： ，导函数的对称轴 为原函数的对称中心横坐标，则原函数对称中心纵坐标为： ，则对称中心为 ，由 可知直线 经过点 ，联立方程组： 可得： 或 ，据此可得直线 过点： ，则直线方程为： .本题选择 B 选项.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 在 的展开式中， 的系数为_【
8、答案】21【解析】由题意可知 的通项公式为： ，结合多项式的性质可得： 的系数为： .14. 已知 是等比数列 的前 项和， ， ， 成等差数列， ，则_【答案】2【解析】因为 成等差数列，所以公比 ，又 ，整理得到，所以 ，故 ，解得 ，故 ，填 15. 过圆 ： 外一点 作两条互相垂直的直线 和 分别交圆 于 、 和 、点，则四边形 面积的最大值为_【答案】【解析】如图所示， ，取 的中点分别为 ，则：，四边形 为矩形，则 ，结合柯西不等式有：，其中 , ，据此可得： ，综上可得：四边形 面积的最大值为 .点睛：1直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合， “代数法”与“几何法
9、”是从不同的方面和思路来判断的2圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为 r，弦心距为 d，弦长为 l，则 ；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： .16. 已知正四面体 中， ， ， 分别在棱 ， ， 上，若 ，且 ，则四面体 的体积为_【答案】【解析】令 ， ， 由题意可得：，解得： ，棱长为 的正四棱锥体积为 ，则所求三棱锥的体积为：.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17. 在 中，角 ， ， 的对边分别
10、为 ， ， ，且满足 .（1）求角 ；（2）若 ， ，求边 的长.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）由题意结合正弦定理有 ，则 ，.（2）由余弦定理可得： ,据此可得关于实数 c 的方程 ，解方程可得 .试题解析：（1）由 及正弦定理可知：，而 ，.（2）由余弦定理可得：,，.18. 如图，在四棱锥 中， ，底面 为平行四边形， ， ， .（1）求 的长；（2）求二面角 的余弦值.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）过 作 于垂足 ，则 .过 点在平面 内作 交 于 ，建立以 为坐标交点. 为 轴， 为 轴， 为轴的空间直角坐标系.据此可得 ， ，由两点之间距
11、离公式可得，则 之长为 .（2）由题意结合(1)的结论可得平面 的法向量 .平面 的法向量.则二面角 的余弦值为 .试题解析：（1）过 作 于垂足 ，.过 点在平面 内作 交 于 ，建立以 为坐标交点. 为 轴， 为 轴， 为轴的空间直角坐标系.， ， ， ， ， ， ， ，所求 之长为 .（2）设平面 的法向量 ，而 ， ，由 及 可知：，取 ，则 ， ，.设平面 的法向量 ， ，由 得 ，可取 .设二面角 的平面角为 .二面角 的余弦值为 .19. 从某工厂的一个车间抽取某种产品 50 件，产品尺寸（单位： ）落在各个小组的频数分布如下表：数据分组频数3 8 9 12 10 5 3（1）根
12、据频数分布表，求该产品尺寸落在 的概率；（2）求这 50 件产品尺寸的样本平均数 .（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（3）根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均值 ， 近似为样本方差 ，经计算得 .利用该正态分布，求 .附：（1）若随机变量 服从正态分布 ，则， ；（2） .【答案】(1)0.16；(2)22.7；(3)0.1587.【解析】试题分析：（1）由题意可得产品尺寸落在 内的概率 .（2）由平均数公式可得样本平均数为 .（3）由题意可得 ， .则 ，.试题解析：（1）根据频数分布表可知，产品尺寸落在 内的概率 .（2）样本平
13、均数.（3）依题意 .而 ， ，则 .20. 已知 、 为椭圆 ： 的左、右顶点， ，且离心率为 .（1）求椭圆 的方程；（2）若点 为直线 上任意一点， ， 交椭圆 于 ， 两点，求四边形面积的最大值.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）依题意 ，结合离心率公式，则 .椭圆方程为： .（2）设 ， （ ） ，则直线 方程： ，直线 方程 .设 ， ，联立直线方程与椭圆方程有 ， . ，则 .利用换元法，设 ，则 ，面积函数 ，结合对勾函数的性质可得.试题解析：（1）依题意 ，则 ，又 ， .椭圆方程为： .（2）设 ， （不妨设 ） ，则直线 方程： ，直线 方程 .设 ，
14、，由 得 ，则 ，则 ，于是 .由 ，得 ，则 ，则 ，于是 ，.设 ，则 ，在 递减，故 .点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题21. 已知函数 ，其中 为常数.（1）当 时，讨论 的单调性；（2）当 时，求 的最大值.【答案】(1)答案见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）由函数的解析式可得 ， .分类讨论： 时： 或 时， 单增. 时， 单减. 时， 在 上单增. 时， 在 ， 上单增. 在 上单减.（2
15、）由于 ，则 在 上最大值等价于在 上最大值，记为 .则 .由（1）的结论可得 在 上单减. ，则 在 上单增. 的最大值为.试题解析：（1）对 求导数得到： ， . 时，即 时，或 时， ， 单增.时， ， 单减. 时，即 时， . 在 上单增. 时，即 时，或 时， ， 在 ， 上单增.时， . 在 上单减.（2） ，在 上最大值等价于在 上最大值，记为 .由（1）可知 时， 在 上单减， ，从而 在 上单减 .， 在 上单增.，的最大值为 .点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高
16、考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用（二）选考题：共 10 分.请考生在 22，23 两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 的参数方程为（ 为参数） ，直线 与曲线 交于 ， 两点.（1）求 的值；（2）若 为曲线 的左焦点，求 的值.【答案】(1
17、) ；(2)44.【解析】试题分析：（1）把曲线 和直线 的参数方程化为普通方程，再联立曲线与直线的方程，消元后利用韦达定理和弦长公式计算 .（2）设 ， ，则，利用韦达定理可以得到 .解析：（1）由 （ 为参数） ，消去参数 得： .由 消去参数 得： .将 代入 中得： .设 ， ，则 .值为 .（2）.23. 已知函数 ， ， .（1）若 ，求不等式 的解集；（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）利用零点分类讨论分 三种情况讨论即可.(2)问题等价于 ，利用绝对值不等式可以得到 ，从而 也就是.解析：（1）在 时， .在 时， 恒成立. .在 时， ，即 ，即 或 .综合可知： .在 时， ，则 或 ，综合可知： .由可知： .（2）因为 ，当且仅当 与 同号，故 ，要使，故只需 .故 .从而 .综合可知： .点睛：关注绝对值不等式 的应用.
