1、1高二数学 椭圆一选择题1椭圆 ax2+by2=1 与直线 y=1x 交于 A、B 两点，过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为，则 的值为（ ）AB C D2已知方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是（ ）AB （1，+） C （1，2） D3椭圆 x2+4y2=1 的离心率为（ ）AB C D4椭圆 + =1 的右焦点到直线 y= x 的距离是（ ）AB C 1 D5以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点 P（ ，4）和 Q（ ，3） ，则此椭圆的方程是（ ）A +y2=1 Bx2+ =1C+y2=1 或 x2+ =1D以上均不对6已知 P 为椭圆 + =1 上的点，F 1、F
2、 2 为其两焦点，则使 F1PF2=90的点 P 有（ ）A4 个 B 2 个 C 1 个 D0 个7椭圆 4x2+9y2=1 的焦点坐标是（ ）A（ ，0） B （0， ） C （ ，0） D（ ，0）8若椭圆 2kx2+ky2=1 的一个焦点坐标是（0，4） ，则实数 k 的值为（ ）AB C D29已知椭圆 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3，则 P 到另一焦点距离为（ ）A9 B 7 C 5 D3二填空题（共 6 小题）10 （2009湖北模拟）如图 RtABC 中，AB=AC=1，以点 C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在 AB 边上，且这个椭圆过 A、B 两点，
3、则这个椭圆的焦距长为 _ 11若 P 是椭圆 + =1 上任意一点， F1、F 2 是焦点，则 F1PF2 的最大值为 _ 12F 1、F 2 是椭圆 + =1 的两个焦点，P 是椭圆上一点，则|PF 1|PF2|有最 _ 值为 _ 13经过两点 P1（ ） ，P 2（0， ）的椭圆的标准方程 _ 14已知焦距为 8，离心率为 0.8，则椭圆的标准方程为 _ 15点 P 在椭圆 + =1 上， F1，F 2 是椭圆的焦点，若 PF1PF2，则点 P 的坐标是 _ 三解答题（共 5 小题）16已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，且过点（1，2 ） ，求椭圆的标准方程317已知
4、中心在原点，长轴在 x 轴上的椭圆的两焦点间的距离为 ，若椭圆被直线x+y+1=0 截得的弦的中点的横坐标为 ，求椭圆的方程18已知椭圆的焦点在 x 轴上，离心率为 ，且过点 P（1， ） ，求该椭圆的方程19求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在 x 轴上，a=6，e= ； （2）焦点在 y 轴上，c=3，e= 420已知椭圆两焦点的坐标分别是（2，0） ， （2，0） ，并且经过点（2， ） ，求椭圆方程21. 已知： ABC 的一边长 BC=6，周长为 16，求顶点 A 的轨迹方程5参考答案与试题解析一选择题（共 9 小题）1 （2015兴国县一模）椭圆 ax2+by2=1 与直线
5、 y=1x 交于 A、B 两点，过原点与线段 AB中点的直线的斜率为 ，则 的值为（ ）AB C D考点： 椭圆的简单性质菁优网版权所有专题： 综合题分析： 联立椭圆方程与直线方程，得 ax2+b（1x） 2=1， （a+b）x 22bx+b1=0，A（x1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由韦达定理得 AB 中点坐标：（ ） ，AB 中点与原点连线的斜率 k= = = 解答： 解：联立椭圆方程与直线方程，得 ax2+b（1x） 2=1， （a+b）x 22bx+b1=0，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，y 1+y2=1x1+1x2=2 = ，AB 中点坐标：（ ） ，AB
6、 中点与原点连线的斜率 k= = = 故选 A点评： 本题考查直线和圆锥曲线的经综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化2 （2012香洲区模拟）已知方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是（ ）AB （1，+） C （1，2） D考点： 椭圆的简单性质菁优网版权所有6专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 根据椭圆的标准方程，得焦点在 y 轴上的椭圆方程中，x 2、y 2 的分母均为正数，且y2 的分母较大，由此建立关于 k 的不等式组，解之即得实数 k 的取值范围解答：解： 方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆， ，解之得 1k2实数 k 的取值
7、范围是（1，2）故选：C点评： 本题给出标准方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，求参数 k 的取值范围，着重考查了椭圆的标准方程的概念，属于基础题3 （2007安徽）椭圆 x2+4y2=1 的离心率为（ ）AB C D考点： 椭圆的简单性质菁优网版权所有专题： 综合题分析： 把椭圆的方程化为标准方程后，找出 a 与 b 的值，然后根据 a2=b2+c2 求出 c 的值，利用离心率公式 e= ，把 a 与 c 的值代入即可求出值解答：解：把椭圆方程化为标准方程得：x 2+ =1，得到 a=1，b= ，则 c= = ，所以椭圆的离心率 e= = 故选 A点评： 此题考查学生掌握椭圆的离心率的求法，灵活
8、运用椭圆的简单性质化简求值，是一道综合题4 （2006东城区二模）椭圆 + =1 的右焦点到直线 y= x 的距离是（ ）AB C 1 D7考点： 椭圆的简单性质；点到直线的距离公式菁优网版权所有专题： 计算题分析： 根据题意，可得右焦点 F（1，0） ，由点到直线的距离公式，计算可得答案解答： 解：根据题意，可得右焦点 F（1，0） ，y= x 可化为 y x=0，则 d= = ，故选 B点评： 本题考查椭圆的性质以及点到直线的距离的计算，注意公式的准确记忆5以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点 P（ ，4）和 Q（ ，3） ，则此椭圆的方程是（ ）A +y2=1 Bx2+ =1C+y2=1 或
9、x2+ =1D以上均不对考点： 椭圆的标准方程菁优网版权所有专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设经过两点 P（ ， 4）和 Q（ ，3） ，的椭圆标准方程为mx2+ny2=1（m0，n0，mn） ，利用待定系数法能求出椭圆方程解答： 解：设经过两点 P（ ， 4）和 Q（ ，3） ，的椭圆标准方程为mx2+ny2=1（m0，n0，mn） ，代入 A、B 得， ，解得 m=1，n= ，所求椭圆方程为 x2+ =1故选：B8点评： 本题考查椭圆标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆简单性质的合理运用6已知 P 为椭圆 + =1 上的点， F1、F 2 为其两焦点，则使 F1P
10、F2=90的点 P 有（ ）A4 个 B 2 个 C 1 个 D0 个考点： 椭圆的简单性质菁优网版权所有专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 根据椭圆的标准方程，得出 a、b、c 的值，由F 1PF2=90得出点 P 在以 F1F2 为直径的圆（除 F1、F 2） ，且 rb，得出圆在椭圆内，点 P 不存在解答：解： 椭圆 + =1 中，a=4，b=2 ，c= =2；焦点 F1（ 2，0） ，F 2（2，0） ；又F 1PF2=90，点 P 在以 F1F2 为直径的圆 x2+y2=4 上（除 F1、F 2） ，又 r=22 =b，圆被椭圆内含，点 P 不存在点评： 本题考查了椭
11、圆的标准方程与圆的标准方程的应用问题，解题时应灵活利用F1PF2=90，是基础题7椭圆 4x2+9y2=1 的焦点坐标是（ ）A（ ，0） B （0， ） C （ ，0） D（ ，0）考点： 椭圆的简单性质菁优网版权所有专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 把椭圆方程化为标准方程，再利用 c= 即可得出解答：解：椭圆 4x2+9y2=1 化为 ，9a2= ， b2= ，c= =椭圆的焦点坐标为（ ，0） 故选：C点评： 熟练掌握椭圆的标准方程及其性质是解题的关键8若椭圆 2kx2+ky2=1 的一个焦点坐标是（0，4） ，则实数 k 的值为（ ）AB C D考点： 椭圆的简单性质菁优网版权
12、所有专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 由椭圆的焦点坐标为（0，4）可得 k0，化椭圆方程为标准式，求出 c，再由 c=4得答案解答：解：由 2kx2+ky2=1，得 ，椭圆 2kx2+ky2=1 的一个焦点坐标是（0，4） ， ， ，则 ， ，解得 故选：C点评： 本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了椭圆的标准方程，是基础题9已知椭圆 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3，则 P 到另一焦点距离为（ ）A9 B 7 C 5 D3考点： 椭圆的简单性质；椭圆的定义菁优网版权所有10专题： 综合题分析： 由椭圆方程找出 a 的值，根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数 2
13、a，把 a 的值代入即可求出常数的值得到 P 到两焦点的距离之和，由 P 到一个焦点的距离为 3，求出 P 到另一焦点的距离即可解答：解：由椭圆 ，得 a=5，则 2a=10，且点 P 到椭圆一焦点的距离为 3，由定义得点 P 到另一焦点的距离为 2a3=103=7故选 B点评： 此题考查学生掌握椭圆的定义及简单的性质，是一道中档题二填空题（共 6 小题）10 （2009湖北模拟）如图 RtABC 中，AB=AC=1，以点 C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在 AB 边上，且这个椭圆过 A、B 两点，则这个椭圆的焦距长为 考点： 椭圆的简单性质菁优网版权所有专题： 计算题分析：
14、设另一焦点为 D，则可再 RtABC 中，根据勾股定理求得 BC，进而根据椭圆的定义知 AC+AB+BC=4a 求得 a再利用 AC+AD=2a 求得 AD 最后在 RtACD 中根据勾股定理求得 CD，得到答案解答： 解析：设另一焦点为 D，RtABC 中，AB=AC=1，BC=AC+AD=2a，AC+AB+BC=1+1+ =4a，a=又 AC=1，11AD= 在 RtACD 中焦距 CD= = 故答案为： 点评： 本题主要考查了椭圆的简单性质和解三角形的应用要理解好椭圆的定义和椭圆中短轴，长轴和焦距的关系11若 P 是椭圆 + =1 上任意一点， F1、F 2 是焦点，则 F1PF2 的最
15、大值为 考点： 椭圆的简单性质菁优网版权所有专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 先根据椭圆方程求得 a 和 b 的大小，进而利用椭圆的基本性质，确定最大角的位置，求出F 1PF2 的最大值解答：解：根据椭圆的方程可知： + =1，a=2， b= ， c=1，由椭圆的对称性可知，F 1PF2 的最大时，P 在短轴端点，此时F 1PF2 是正三角形，F1PF2 的最大值为 故答案为： 点评： 本题主要考查了椭圆的应用当 P 点在短轴的端点时 F1PF2 值最大，这个结论可以记住它在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题12F 1、F 2 是椭圆 + =1 的两个焦点，P 是椭圆上一点
16、，则|PF 1|PF2|有最 大 值为 16 考点： 椭圆的简单性质菁优网版权所有专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 运用椭圆的定义，可得|PF 1|+|PF2|=2a=8，再由基本不等式，即可求得 |PF1|PF2|的最大值12解答：解：椭圆 + =1 的 a=4，则|PF 1|+|PF2|=2a=8，则|PF 1|PF2|（ ） 2=16，当且仅当|PF 1|=|PF2|=4，则|PF 1|PF2|有最大值，且为 16故答案为：大，16点评： 本题考查椭圆的定义和性质，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题13经过两点 P1（ ） ，P 2（0， ）的椭圆的标
17、准方程 =1 考点： 椭圆的标准方程菁优网版权所有专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设椭圆方程为 mx2+ny2=1（m 0，n0，mn） ，把两点 P1（ ） ，P 2（0， ）代入，能求出结果解答： 解 L：设椭圆方程为 mx2+ny2=1（m 0，n0，mn）把两点 P1（ ） ，P 2（0， ）代入，得：，解得 m=5，n=4，椭圆方程为 5x2+4y2=1，即 =1故答案为： =1点评： 本题考查椭圆的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用14已知焦距为 8，离心率为 0.8，则椭圆的标准方程为 ，或 13考点： 椭圆的标准方程菁优网版权所有专题：
18、 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 由椭圆的焦距是 8，离心率 0.8，先求出 a=5，c=4，b，由此能求出椭圆的标准方程解答： 解： 椭圆的焦距是 8，离心率 0.6， ，解得 a=5，c=4，b 2=2516=9，椭圆的标准方程为 ，或 故答案为： ，或 点评： 本题考查椭圆的标准方程的求法，是基础题，解题时要避免丢解15点 P 在椭圆 + =1 上， F1，F 2 是椭圆的焦点，若 PF1PF2，则点 P 的坐标是 （3，4） ， （3，4） ， （ 3，4） ， （3，4） 考点： 椭圆的简单性质菁优网版权所有专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 由椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，根
19、据 PF1PF2 得 =0，与椭圆方程联立解得即可解答：解：由椭圆 + =1，得 F1（5，0） ，F 2（5，0）设 P（x，y） ，=0，即（x+5） （x 5）+y 2=0 14因为 P 在椭圆上，所以 + =1，两式联立可得 x=3，P（ 3，4） ，P （3， 4） ，P （ 3，4） ，P（3，4）故答案为：P（3，4） ，P （3，4） ，P（3，4） ，P（3，4） 点评： 本题主要考查了椭圆的几何性质，向量的应用三解答题（共 5 小题）16已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，且过点（1，2 ） ，求椭圆的标准方程考点： 椭圆的标准方程菁优网版权所有专题：
20、圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 先假设椭圆的方程，再利用的椭圆 C 的离心率为 ，且过点（1，2 ） ，即可求得椭圆 C 的方程解答：解：设椭圆方程为 ，椭圆的半焦距为 c，椭圆 C 的离心率为 ， ， ，椭圆过点（1，2 ） ， 由解得：b 2= ，a 2=49椭圆 C 的方程为 点评： 本题重点考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，解题的关键是待定系数法1517已知中心在原点，长轴在 x 轴上的椭圆的两焦点间的距离为 ，若椭圆被直线x+y+1=0 截得的弦的中点的横坐标为 ，求椭圆的方程考点： 椭圆的标准方程菁优网版权所有分析：首先，设椭圆的标准方程为： =1 （ab0） ，然后，设出直线
21、与椭圆的两个交点坐标，然后，将这两个交点坐标代入椭圆方程，两个方程相减，得到关于a，b 的一个方程，再结合给定的 a，c 的关系式，求解即可解答：解：设椭圆的标准方程为： =1（ab0） ，椭圆被直线 x+y+1=0 截得的弦的中点的横坐标是 ，弦的中点的纵坐标是 ，设椭圆与直线 x+y+1=0 的两个交点为 P（x 1，y 1） ，Q （x 2，y 2） 则有 + =1 + =1 ，化简得 + =0 x1+x2=2（ ）= ，y1+y2=2（ ）= ，且 =1，由 得 a2=2b2，又由题意 2c= ，有 c= ，则可求得 c2= =b2，a 2= ，椭圆的标准方程为： + =1点评： 本题
22、重点考查了椭圆的几何性质、标准方程、直线与椭圆的位置关系等知识，属于16中档题，涉及到弦的中点问题，处理思路是“设而不求”的思想18已知椭圆的焦点在 x 轴上，离心率为 ，且过点 P（1， ） ，求该椭圆的方程考点： 椭圆的标准方程菁优网版权所有专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设椭圆方程为 （ab0） ，由已知得 ，由此能求出椭圆方程解答：解：设椭圆方程为 （ab0） ，由已知得 ，解得 ，b 2=1，椭圆方程为 点评： 本题考查椭圆方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用19求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在 x 轴上，a=6，e= ；（2）焦点在 y
23、 轴上，c=3，e= 考点： 椭圆的标准方程菁优网版权所有专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）由离心率公式，求得 c，再由 a，b，c 的关系，求得 b，即可得到椭圆方程；（2）由离心率公式，求得 a，再由 a，b，c 的关系，求得 b，即可得到椭圆方程17解答： 解：（1）a=6，e= ，即 ，解得 c=2，b 2=a2c2=32，则椭圆的标准方程为： =1；（2）c=3，e= ，即 ，解得，a=5，b 2=a2c2=259=16则椭圆的标准方程为： =1点评： 本题考查椭圆的性质和方程，考查运算能力，属于基础题20已知椭圆两焦点的坐标分别是（2，0） ， （2，0） ，
24、并且经过点（2， ） ，求椭圆方程考点： 椭圆的标准方程菁优网版权所有专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 直接根据焦点的坐标设出椭圆的方程，再根据点的坐标求出结果解答： 解：椭圆两焦点的坐标分别是（2，0） ， （2，0） ，所以：设椭圆的方程为：由于：椭圆经过点（2， ） ，则： ，且 a2=b2+4，则： ，解得： 椭圆方程为： 点评： 本题考查的知识要点：椭圆方程的求法，属于基础题型1821. 以BC边为x轴，BC线段的中垂线为y轴建立直角坐标系，则A点的轨迹是椭圆，其方程为：。若以BC边为y轴，BC线段的中垂线为x轴建立直角坐标系，则A点的轨迹是椭1625圆，其方程为： 奎 屯王 新 敞新 疆251
