1、2.2 双曲线 2.2.1 双曲线及其标准方程,新知探求,课堂探究,新知探求 素养养成,知识点一,问题1:在平面直角坐标系中,若A(-5,0),B(5,0),当|PA|-|PB|=6,|PA|-|PB|=10,|PA|-|PB|=12时,点P的轨迹分别是什么图形? 答案:当|PA|-|PB|=6时,点P的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线;当|PA|-|PB|=10时,点P的轨迹是两条射线;当|PA|-|PB|=12时,点P的轨迹不存在. 梳理 平面内与两个定点F1,F2的距离 等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫双曲线的 ,两焦点间的距离叫
2、.集合P=M|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a0,c0.,双曲线的定义,差的绝对值,焦点,焦距,知识点二,双曲线的标准方程,问题2:怎样利用双曲线的标准方程确定焦点的位置? 答案:如果x2项的系数是正的,那么焦点在x轴上;如果y2项的系数是正的,那么焦点在y轴上. 问题3:双曲线标准方程中a,b,c之间的关系如何? 答案:双曲线标准方程中a,b,c的关系是c2=a2+b2,不同于椭圆方程中c2=a2-b2. 名师点津:(1)在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”
3、.若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支.同时注意定义的转化应用. (2)求双曲线方程时一是注意标准形式判断;二是注意a,b,c的关系易错易混.,题型一,利用双曲线的定义求轨迹方程,课堂探究 素养提升,【例1】如图,圆E:(x+2)2+y2=4,点F(2,0),动圆P过点F, 且与圆E内切于点M,求动圆P的圆心P的轨迹方程.,方法技巧 利用定义法求双曲线的标准方程的步骤 (1)找出两个定点(即双曲线的两个焦点). (2)根据条件确定动点到两个定点的距离的差(或差的绝对值)等于常数. (3)确定c和a的值,再由c2=a2+b2求出b2. (4)写出双曲线(或双曲线一支)的标准方程.,即
4、时训练1:动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=9,C2:(x-3)2+y2=1都外切,求动圆圆心C的轨迹方程.,【备用例1】 (2017绵阳高二期末)已知两个定圆O1和O2,它们的半径分别是2和4,且|O1O2|=8,若动圆M与圆O1内切,又与O2外切,则动圆圆心M的轨迹方程是( ) (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线一支 (D)抛物线 解析:设动圆圆心为M,半径为R,由题意|MO1|=R-2,|MO2|=R+4, 所以|MO2|-|MO1|=6(常数)且68=|O1O2|, 故M点的轨迹为以O1,O2为焦点的双曲线的一支.故选C.,题型二,求双曲线的标准方程,方法技巧 (1)求双曲线的标准
5、方程与求椭圆标准方程类似,也是“先定型,后定量”,利用待定系数法求解. (2)当焦点位置不确定时,应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论. (3)当已知双曲线经过两点,求双曲线的标准方程时,把双曲线方程设成mx2+ny2=1(mn0)的形式求解.,题型三,双曲线定义的应用,方法技巧 双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据.在应用时,一是注意条件|PF1|-|PF2|=2a(02a|F1F2|)的使用,二是注意与三角形知识相结合,经常利用正、余弦定理,同时要注意整体思想的应用.,即时训练3:若双曲线x2-4y2=4的左、右焦点分别是F1,F2,过F2的直线交右支于A,B两点,若|AB
6、|=5,则AF1B的周长为 . 解析:由双曲线定义可知|AF1|=2a+|AF2|=4+|AF2|, |BF1|=2a+|BF2|=4+|BF2|, 所以|AF1|+|BF1|=8+|AF2|+|BF2|=8+|AB|=13. AF1B的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=18. 答案:18,答案:48,题型四,易错辨析双曲线定义理解不清致误,错解:A(或B) 纠错:双曲线定义理解不清,没有考虑到点P可能在左右两支上,仅仅考虑其中一种情况导致丢解. 正解:双曲线的左右焦点为F1(-5,0),F2(5,0), 则由双曲线的定义知,|PF1|-|PF2|=2a=8, 而|PF2|=15, 解得|PF1|=7或23. 故选D.,学霸经验分享区,求双曲线标准方程的方法 (1)如果已知双曲线的中心在原点,且确定了焦点在x轴上或是y轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于a,b,c的方程组,解出a2,b2,从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个,也有可能是两个,注意合理取舍,但不要漏解). (2)当焦点位置不确定时,有两种方法来解决: 一种是分类讨论,注意考虑要全面;另一种是如果已知中心在原点,但不能确定焦点的具体位置,可以设双曲线的一般方程mx2+ny2=1(mn0).,谢谢观赏！,
