1、2018 届高三数学测试卷一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1. 若集合 ， ，则 =（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：化简集合故选 C考点：集合的运算2. 已知 i 是虚数单位，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则即可化简得出结果【详解】故选【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。3. 已知 为一条直线, 为两个不同的平面,则下列说法正确的是（ ）A. 若 B. 若 则C. 若 D. 若【答案】D【解析】试题分析：选项 A 中，若
2、m，则 m 或 m，故 A 错误；选项 B 中，若 ，m，则 m 或 m，故 B 错误选项 C 中，若 m，则 m 与 平行或相交或 m，故 C 错误；选项 D 中，若 m，则由直线与平面垂直的判定定理知 m，故 D 正确；故选：D考点：空间中直线与直线之间的位置关系4. “ ”是“直线 与 互相平行”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用两条直线互相平行的条件进行判定【详解】当 时，直线方程为 与 ，可得两直线平行；若直线 与 互相平行，则 ，解得 ，则“ ”是“直线 与 互相平行”的充分不必要条件，故选【
3、点睛】本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题。5. 设函数 的定义域为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论中一定正确的是（ ）A. 是偶函数 B. 是奇函数C. 是奇函数 D. 是奇函数【答案】C【解析】试题分析：由奇偶函数定义可知， ，A 错；，B 错；同理 D 错；C 项正确考点：用定义判断奇偶函数6. 为得到函数 的图像，只需将函数 的图像（ ）A. 向右平移 个长度单位 B. 向左平移 个长度单位C. 向右平移 个长度单位 D. 向左平移 个长度单位【答案】B【解析】【分析】运用诱导公式先化简，然后根据图形的平移得到答案【详解】由图象平
4、移的规则可知只需将函数 的图象向左平移 个长度单位级就可以得到函数的图象故选【点睛】本题考查了三角函数图像的平移，先运用诱导公式进行化简成同名函数，然后运用图形平移求出结果，本题较为基础。7. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A. B. 1 C. D. 【答案】C【解析】该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积 故选 .8. 用 1，2，3，4，5 组成不含重复数字的五位数，要求数字 4 不出现在首位和末位，数字1，3，5 中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）A. 48 B. 60 C. 72 D. 120【答案】A【解析】【分析】对数字 分类讨论，结
5、合数字 中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论【详解】数字 出现在第 位时，数字 中相邻的数字出现在第 位或者 位，共有 个数字 出现在第 位时，同理也有 个数字 出现在第 位时，数字 中相邻的数字出现在第 位或者 位，共有 个故满足条件的不同的五位数的个数是 个故选【点睛】本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字 分类讨论，属于基础题。9. 已知点 是抛物线 ： 的焦点，点 为抛物线 的对称轴与其准线的交点，过 作抛物线 的切线，切点为 ，若点 恰好在以 ， 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意，得 ，设
6、过 的抛物线 的切线方程为 ，联立 ，令 ，解得 ，即 ，不妨设 ，由双曲线的定义得 ，则该双曲线的离心率为 .故选 C.10. 如图，已知平面 ， ， 、 是直线 上的两点， 、 是平面 内的两点，且， ， ， ， 是平面 上的一动点，且直线 ， 与平面 所成角相等，则二面角 的余弦值的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】为所求的二面角的平面角，由 得出 ，求出 在 内的轨迹，根据轨迹的特点求出 的最大值对应的余弦值【详解】 ， ， ，同理为直线 与平面 所成的角， 为直线 与平面 所成的角，又，在平面 内，以 为 轴，以 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系则 ，设
7、，整理可得：在 内的轨迹为 为圆心，以 为半径的上半圆平面 平面 ， ，为二面角 的平面角，当 与圆相切时， 最大， 取得最小值此时故选【点睛】本题主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果。二、填空题: 本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分11. 九章算术卷 5商功记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺问积几何？答曰：二千一百一十二尺术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一” 这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一” 就是说：圆堡瑽（圆柱
8、体）的体积为 （底面圆的周长的平方 高） ，则由此可推得圆周率 的取值为_.【答案】3【解析】【分析】由题意，利用圆柱体的体积 （底面圆的周长的平方 高） ，求出 ，与 联立，即可求出答案【详解】由题意 圆柱体的体积 （底面圆的周长的平方 高），解得故答案为【点睛】本题主要考查了圆柱的体积公式，只有读懂题目意思即可求出结果，较为基础12. 若 的展开式中所有项的系数之和为 256，则 =_，含 项的系数是_（用数字作答）.【答案】 (1). 4 (2). 108【解析】的展开式中所有项的系数之和为 ， ， ，项的系数是，故答案为（1） ， （2） .13. 若随机变量 的分布列如表所示：则 _
9、， _【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用分布列的性质求出 ，然后直接使用公式求得期望，方差【详解】由题意可知： ，解得 （舍去）或由方差计算性质得【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布和数学期望，方差等基础知识，熟记期望，方差的公式是解题的关键14. 在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ， 的面积为 ，则 _ ， _【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得 ，从而求得，结合范围 ，即可得到答案运用余弦定理和三角形面积公式，结合完全平方公式，即可得到答案【详解】 由已知及正弦定理可得，可得：解得 ，即，由面积公式可得： ，即由
10、余弦定理可得：即有解得【点睛】本题主要考查了运用正弦定理、余弦定理和面积公式解三角形，题目较为基础，只要按照题意运用公式即可求出答案15. 已知不等式 的解集不是空集,则实数 的取值范围是 ；若不等式对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用绝对值的几何意义，确定出 的最小值，然后根据题意即可得到 的取值范围化简不等式 ，求出 的最大值，然后求出结果【详解】 的最小值为 ，则要使不等式的解集不是空集，则有化简不等式 有 ，即而当 时满足题意，解得 或所以答案为【点睛】本题主要考查的是函数恒成立的问题和绝对值不等式，要注意到绝对值的几何意义，数形结合来解答本题，注意去
11、绝对值时的分类讨论化简16. 如图，在平面四边形 中， ，则 _【答案】【解析】【分析】运用向量的基底转化，向已知向量上进行转化，然后求值【详解】所以【点睛】本题主要考查的知识点是向量的运算，解题的关键是相等向量的转化以及向量运算的法则，需要按照题目已知条件进行转换17. 已知实数 ，且 由 的最大值是_【答案】【解析】【分析】将其转化为几何意义，然后根据最值的条件求出最大值【详解】由 化简得 ，又实数 ，图形为 圆，如图:，可得 ，则由几何意义得 ，则 ，为求最大值则当过点 或点 时 取最小值，可得所以 的最大值是【点睛】本题考查了二元最值问题，将其转化为几何意义，得到圆的方程及斜率问题，对
12、要求的二元二次表达式进行化简，然后求出最值问题，本题有一定难度。三、解答题：本大题共 5 个题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 已知函数 .（1）求函数 f(x)的最小正周期；（2）求 在 上的最大值和最小值【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】【分析】将函数解析式化简即可求出函数的最小正周期根据正弦函数的图象和性质即可求出函数在定义域上的最大值和最小值【详解】 （）由题意得 原式 的最小正周期为 . （） ，. 当 ，即 时， ；当 ，即 时， . 综上，得 时， 取得最小值为 0；当 时， 取得最大值为 .【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦公式展开，辅助
13、角公式，三角函数的性质等，较为综合，也是常考题型，需要计算正确，属于基础题19. 如图，已知平面 与直线 均垂直于 所在平面，且 （）求证： 平面 ； （）若 ，求 与平面 所成角的正弦值.【答案】()见解析（）【解析】试题分析：（）证明：过点 作 于点 ，平面 平面 ， 平面 2 分又 平面 , 2 分又 平面 平面 6 分（） 平面 ，又 8 分点 是 的中点，连结 ，则 平面 ，四边形 是矩形 10 分设 ，得： ，又 ， ，从而 ，过 作 于点 ，则： 是 与平面 所成角 12 分 ， 与平面 所成角的正弦值为 14 分考点：面面垂直的性质定理；线面平行的判定定理；线面垂直的性质定理；
14、直线与平面所成的角。点评：本题主要考查了线面平行的证明和直线与平面所成的角，属立体几何中的常考题型，较难本题也可以用向量法来做：用向量法解题的关键是；首先正确的建立空间直角坐标系，正确求解平面的一个法向量。注意计算要仔细、认真。20. 已知函数 （1）当 时，试求曲线 在点 处的切线；（2）试讨论函数 的单调区间【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】【分析】将 代入，求导后求出切线方程求导后对参量 进行分类讨论，然后结合定义域给出单调区间【详解】 （）当 时，函数定义域为 ，切线为（）当 时，函数定义域为 ， 在 上单调递增当 时， 恒成立，函数定义域为 ，又 在单调递增， 单调递减， 单调
15、递增当 时，函数定义域为 ， 在 单调递增， 单调递减， 单调递增当 时， 设 的两个根为 且 ，由韦达定理易知两根均为正根，且 ，所以函数的定义域为 ，又对称轴 ，且 ，在 单调递增， 单调递减， 单调递增【点睛】本题考查了导数的几何意义及求函数的单调区间，在求区间时注意分类讨论，讨论参量的范围，求出结果，不要遗漏情况，要理清过程，掌握解题方法。21. 已知直线 与抛物线 交于 两点，直线 与 轴交于点 且直线 恰好平分 （）求 的值；（）设 是直线 上一点，直线 交抛物线于另一点 ，直线 交直线于点 ，求 的值【答案】() （）【解析】试题分析：（1）联立直线的方程和抛物线的方程 ，化简写
16、出根与系数关系，由于直线 平分 ，所以 ，代入点的坐标化简得 ，结合跟鱼系数关系，可求得 ；（2）设 ， ， ，由 三点共线得，再次代入点的坐标并化简得 ，同理由 三点共线，可得 ，化简得 ，故 .试题解析：（1）由 ，整理得 ，设 ， ，则 ，因为直线 平分 ， ，所以 ，即 ，所以 ，得 ，满足 ，所以 .（2）由（1）知抛物线方程为 ，且 ， ， ，设 ， ， ，由 三点共线得 ，所以 ，即 ，整理得： ，由 三点共线，可得 ，式两边同乘 得： ，即： ，由得： ，代入得： ，即： ，所以 .所以 .考点：直线与圆锥曲线的位置关系.【方法点晴】本题考查直线与抛物线的位置关系.阅读题目后明
17、显发现，所有的点都是由直线和抛物线相交或者直线与直线相交所得.故第一步先联立 ，相当于得到 的坐标，但是设而不求.根据直线 平分 ，有 ，这样我们根据斜率的计算公式 ，代入点的坐标，就可以计算出 的值.第二问主要利用三点共线来求解.22. ()证明： ；()证明： ( )；()证明： .【答案】()见解析（）见解析（）见解析【解析】【分析】运用数学归纳法证明即可得到结果化简 ，运用累加法得出结果运用放缩法和累加法进行求证【详解】 （）数学归纳法证明 时， 当 时， 成立； 当 时，假设 成立，则 时所以 时， 成立综上可知， 时，（）由得所以 ； ；故 ，又所以() 由累加法得：所以 故【点睛】本题考查了数列的综合，运用数学归纳法证明不等式的成立，结合已知条件进行化简求出化简后的结果，利用放缩法求出不等式，然后两边同时取对数再进行证明，本题较为困难。
