1、晋城市 2018 年高三第一次模拟考试理科数学第卷一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ， ， ，故选 B.2. 设 是虚数单位，若 ，则 （ ）A. -3 B. 3 C. 1 D. -1【答案】D【解析】 ， 故选 D.3. 函数 ， 的值域为 ，在区间 上随机取一个数 ，则 的概率是（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】 ，即值域 ，若在区间 上随机取一个数 的事件记为 ，则 ，故选 B.4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
2、（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知该几何体为 个圆柱和 个球的组合体，其表面积为，故选 C.5. 设 ，则“ ”是“函数 在定义域上为增函数 ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数的定义域为 ，设 ， ，在 上为增函数，当时， 为增函数， 根据同增异减原理， 在定义域内是增函数，若函数在定义域内是增函数，只需 “ ”是 “函数 在定义域上是增函数”的充分不必要条件，故选 A.6. 若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 两边平方得， ，故选 B.7. 某些首饰，如手镯，项
3、链吊坠等都是椭圆形状，这种形状给人以美的享受，在数学中，我们把这种椭圆叫做“黄金椭圆” ，其离心率 设黄金椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为 ，则 满足的关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 椭圆为黄金椭圆， ， ，故选 B.8. 执行如图所示的程序框图，则程序最后输出的结果为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由程序框图知， ；此程序 的值构成了周期为 的周期数列，当 时，即输出的 为 ，故选 B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支
4、结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9. 已知函数 的图像向右平移 个单位后，得到函数 的图像关于直线 对称，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据题意 ， ，故 ，又， ， ，故选 C.10. 在如图所示的三棱柱 中，已知 ，点 在底面上的射影是线段 的中点 ，则直线 与直线 所成角的正切值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题知， 平面 ，而
5、平面 ， ，又 ，平面 ，在 中， ，则 ，在 中， ，则 ，过点 作 ，且 ，连接 ， ，故 平面 ， ，因此为直线 与直线 所成的角，又 ， ，故选 B.【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.11. 已知 是双曲线 的左，右焦点，点 在双曲线 的右支上，如果，则双曲线 离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A.12. 已知定义
6、在 上的可导函数 的导函数为 ，对任意实数 均有 成立，且 是奇函数，则不等式 的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】原不等式等价于 ，令 在 上是增函数，又 是奇函数，原不等式为 解集为 ，故选 D.【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数解不等式,属于难题. 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手
7、：根据导函数的“形状”变换不等式“形状” ；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13. 已知向量 ， ，则向量 在向量 方向上的投影为_【答案】【解析】由向量 ， ，可得 向量 在向量 方向的投影为，故答案为 .【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式以及向量的投影，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是 ，二是 ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时 往往用坐标形式求解） ；（2）求投影， 在 上的投影是 ；（3） 向量垂直则 ;(4)求向量 的模（平方后需求 ）.14. 若 满足约束条件 ，则
8、的最小值为_【答案】【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示） ，由于 ，故 表示可行域内的点 与定点 间距离的平方，即 由图形可得 的最小值即为点 到直线 的距离，所以 答案：15. 在 的展开式中， 的系数为_ （用数字作答） 【答案】60【解析】 ，它展开式中的第 项为 ，令 ，则 ， 的系数为 ，故答案为 .16. 已知空间直角坐标系 中，正四面体 的棱长为 2，点 ， ，则 的取值范围为_【答案】【解析】三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知数列 中， ，其前 项和为 ，满足 （）求 的通项公式；（）记 ，求数列 的前 项和 ，并证明 【答案】(
9、1) (2) ，见解析【解析】试题分析：（）由 ，得 ，两式相减可得 ，得 ，从而得数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，进而可得结果；（）由，得 ，利用裂项相消法求出数列 的前 项和 ，利用放缩法可证明 .试题解析：（）由 ，得 ，后式减去前式，得 ，得 因为 ，可得 ，所以 ，即数列 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以 （）因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 【方法点晴】本题主要考查等比数列的定义通项公式、求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(
10、1) ；（2） ； （3） ；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18. 如图，在锐角 中， ， ， ，点 在边 上，且，点 在边 上，且 ， 交 于点 （）求 的长；（）求 及 的长【答案】(1)5(2) 【解析】试题分析：（）在锐角 中， ， ， ，由正弦定理可得 ；（）由诱导公式、同角三角函数之间的关系以及两角和的余弦公式可得 的值，根据直角三角形的性质可得 ，利用余弦定理求得 ，再由余弦定理得. ，根据可得结果.试题解析：（）在锐角 中， ， ， ，由正弦定理可得 ，所以 （）由 ， ，可得 ， ，所以 ，因为 ，所以 ， ，在 中， ，
11、 ， ，由余弦定理可得 ，所以 由 ，得 ，所以 19. 质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的 12 个零件质量进行检测甲、乙两个车间的零件质量（单位：克）分布的茎叶图如图所示零件质量不超过 20 克的为合格（）从甲、乙两车间分别随机抽取 2 个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率；（）质检部门从甲车间 8 个零件中随机抽取 4 件进行检测，若至少 2 件合格，检测即可通过，若至少 3 件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；（）若从甲、乙两车间 12 个零件中随机抽取 2 个零件，用 表示乙车间的零件个数，求的分布列与数学期望【答案】
12、(1) (2) （3）【解析】试题分析：（1）本题求独立事件同时发生的概率，解题时运用对立事件的概率求解比较简单 （2）运用条件概率求解，解题时要分清谁是条件 （3）由题意可得到 的所有可能取值，然后分别求出概率，列成表格的形式可得分布列，根据定义求得期望值试题解析：（1）由题意得甲车间的合格零件数为 4，乙车间的合格的零件数为 2，故所求概率为 即甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率为 （2）设事件 表示“2 件合格，2 件不合格” ；事件 表示“3 件合格，1 件不合格” ；事件 表示“4 件全合格” ； 事件 表示“检测通过” ；事件 表示“检测良好” 则 ， 故甲车间在
13、这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率为 （3）由题意可得 的所有可能取值为 0，1，2， 随机变量 的分布列为 点睛：（1）在求某事件的概率时，若事件较为复杂时，可通过求它的对立事件的概率来求解对于含有“至多” 、 “至少”等词语的概率问题，一般用对立事件的概率来解较为简单（2）求概率时，当题目中含有“在发生的条件下，求发生的概率”的字样时，一般用条件概率求解，解题时要分清楚谁是条件，然后再利用公式求解20. 如图，在四棱锥 中， ，且 （）当 时，证明：平面 平面 ；（）当四棱锥 的体积为 ，且二面角 为钝角时，求直线 与平面 所成角的正弦值【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：
14、（）取 的中点 ，连接 ，由正三角形的性质可得 ，由勾股定理可得 ，根据线面垂直的判定定理可得 平面 ，从而根据面面垂直的判定定理可得平面 平面 ；（）根据四棱锥 的体积为 ，可得， ，以 为坐标原点，以 为 轴， 轴在平面内过点 作垂直于平面 的直线为 轴，建立空间直角坐标系 ，算出直线 的方向向量与平面 的法向量，根据空间向量夹角的余弦公式可得结果.试题解析：（）取 的中点 ，连接 ， 为正三角形， ， ， ， ， ，四边形 为矩形， ，在 中， ， ， ， ， ， ， 平面 ， 平面 ，平面 平面 （） ， ， ，平面 ， 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，过点 作 平面 ，垂足 一定落在
15、平面 与平面 的交线 上四棱锥 的体积为 ， ， ， ， 如图，以 为坐标原点，以 为 轴， 轴在平面 内过点 作垂直于平面 的直线为 轴，建立空间直角坐标系 ，由题意可知 ， ， ， ， ， ，设平面 的一个法向量为 ，则 ，得 ，令 ，则 ， ，设直线 与平面 所成的角为 ，则 则直线 与平面 所成角的正弦值为 【方法点晴】本题主要考查利用线面垂直、面面垂直的判定定理以及空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出
16、法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21. 已知直线 是抛物线 的准线，直线 ，且 与抛物线 没有公共点，动点 在抛物线 上，点 到直线 和 的距离之和的最小值等于 2.（）求抛物线 的方程；（）点 在直线 上运动，过点 做抛物线 的两条切线，切点分别为 ，在平面内是否存在定点 ，使得 恒成立？若存在，请求出定点 的坐标，若不存在，请说明理由【答案】(1) (2) 存在定点 ，使得 恒成立【解析】试题分析：（）作 分别垂直 和 ，垂足为 ，抛物线 的焦点为 ，根据抛物线的定义可得 的最小值即为点 到直线 的距离，故 ，从而可得结果；（）设 ， ，
17、， ，利用导数得到切线斜率，可设出切线方程，根据点 在切线上可得到 和 是一元二次方程 的根，利用韦达定理以及平面向量数量积公式，可得 时 ，从而可得结论.试题解析：（）作 分别垂直 和 ，垂足为 ，抛物线 的焦点为 ，由抛物线定义知 ，所以 ，显见 的最小值即为点 到直线 的距离，故 ，所以抛物线 的方程为 （）由（）知直线 的方程为 ，当点 在特殊位置 时，显见两个切点 关于 轴对称，故要使得 ，点 必须在 轴上故设 ， ， ， ，抛物线 的方程为 ，求导得 ，所以切线 的斜率 ，直线 的方程为 ，又点 在直线 上，所以 ，整理得 ，同理可得 ，故 和 是一元二次方程 的根，由韦达定理得
18、，可见 时， 恒成立，所以存在定点 ，使得 恒成立22. 已知函数 ， （）当 时，讨论函数 的单调性；（）若 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：（）求出 ，对 分四种情况讨论，分别令 求得 的范围，可得函数 增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间；（）令 ，原问题等价于 在区间 上恒成立，因为，要想 在区间 上恒成立，只需 ，可得 当 时，利用导数研究函数的单调性，从而求出 ，进而可得结论.试题解析：（） ，当 ，即 时， 时， ， 时， ，所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；当 ，即 时， 和 时， ， 时， ，所以 在区间 上
19、单调递减，在区间 和 上单调递增；当 ，即 时， 和 时， ， 时， ，所以 在区间 上单调递减，在区间 和 上单调递增；当 ，即 时， ，所以 在定义域 上单调递增；综上：当 时， 在区间 上单调递减，在区间 和 上单调递增；当 时， 在定义域 上单调递增；当 时， 在区间 上单调递减，在区间 和 上单调递增；当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增（）令 ，原问题等价于 在区间 上恒成立，可见 ，要想 在区间 上恒成立，首先必须要 ，而 ，另一方面当 时， ，由于 ，可见 ，所以 在区间 上单调递增，故 ，所以 在区间 上单调递减， 成立，故原不等式成立综上，若 在区间 上恒成立，则实数 的取值范围为
