1、濮阳市 2018 届高三毕业班第二次模拟考试数学（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则集合 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 根据题意，集合 ，且 ，所以 ，故选 B2. 复数 的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 复数 的虚部为 ，故选 C.3. 在如图的程序框图中，若输入 ， ，则输出的 值是（ ）A. 3 B. 7 C. 11 D. 33【答案】C【解析】 该程序框图的作用是：用较大的数字 除以较小的数字 ，得到商和余数 ，然后再用上一式中的
2、除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，直到余数 为零，即整除时，最后得到 的最大公约数，则输出的 的值为 ，故选 C4. 已知三棱柱 的底面为等边三角形，且侧棱垂直于底面，该三棱柱截去三个角（如图（1）所示， ， ， 分别是 三边的中点）后得到的几何体如图（2） ，则该几何体沿图（2）所示方向的侧视图为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 因为平面 平面，所以几何体的左视图为直角梯形，且直角腰在左视图的左侧，故选 A5. 对于实数 ， ， “ ”是“方程 对应的曲线是椭圆”的（ ）A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案
3、】A【解析】当 时，方程 的曲线不一定是椭圆，例如：当 时，的方程 的曲线不是椭圆而是圆，或者是 都是负数，曲线表示的也不是椭圆，故前者不是后者的充分条件；当方程 的曲线是椭圆时，应有 都大于 ，且两个量不相等，得到 ，由上可得：“ ”是“方程 的曲线是椭圆”的必要不充分条件，故选 A.6. 在 内任取一个实数 ，设 ，则函数 的图象与 轴有公共点的概率等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 的图象与 轴有公共点， 或在 内取一个实数 ，函数 的图象与 轴有公共点的概率等于，故选 D.7. 设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 3【答案】B【解析】画
4、出约束条件 表示的可行域，如图，由 可得 ，平移直线，由图可知，当直线 经过点 时，直线 在 轴上的截距最小，此时 ，故选 B.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8. 若 是奇函数，则 的值为（ ）A. B. C. 1 D. -1【答案】C【解析】函数 是奇函数，所以 ， ，故选 C.9. 设 是公比为 的等比数
5、列， ，令 ，若数列 有连续四项在集合中，则 的值为（ ）A. B. C. -2 D. 【答案】B【解析】 由题意，数列 的连续四项在 中，且 ， ，则 的连续四项在 中，因为 是等比数列，等比数列中有负项，则 ，且负数项为相隔两项，所以等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值得 ，相邻两项相除 ，则可得 是数列 的连续四项，且 或 （舍去） ，故选 B10. 设 ， ， 均为实数，且 ， ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】， ， 分别是函数 与 图象的交点横坐标， 作出函数 的图象如图所示，由图可得 ，故选 A.11. 已知等差数列 一共有 9 项，前
6、 4 项和为 3，最后 3 项和为 4，则中间一项的值为（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】D【解析】由 ，可得 等差数列 一共有 项，所以中间相为 ，故选 D.12. 已知定义在 上的函数 满足 恒成立（其中 为函数 的导函数） ，则称 为 函数，例如 ， 便是 函数.任给实数 ， ，对于任意的 函数 ，下列不等式一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数 是 上的每一点处都有导数，且 在 上恒成立，设在 时恒成立， 函数 在 上是增函数， ，即， ，两式相加，得，故选 D.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件
7、和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状” ；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 若双曲线 的离心率为 ，则 的值为_【答案】2【解析】 双曲线 的焦点必在 轴上，因此 ， 双曲线 的离心率为 ， ，可得 ，解之得 ，故
8、答案为 .14. 设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题：若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平行于 ；若 外一条直线 与 内的一条直线平行，则 和 平行；设 和 相交于直线 ，若 内有一条直线垂直于 ，则 和 垂直；直线 与 垂直的充分必要条件是 与 内的两条直线垂直.上面命题中，真命题的序号为_ （写出所有真命题的序号）【答案】【解析】试题分析：由面面平行的判定定理可知， （1）正确.由线面平行的判定定理可知，（2）正确.对于（3） ， 内直线只垂直于 和 的交线 ，得不到其是 的垂线，也推不出 .对于（4） ， 必须和 内的两条相交直线垂直，才能得到 ，即若 与 内的两条
9、平行直线垂直， 不一定垂直于 .考点：空间中直线和平面之间的位置关系.15. 如图，有 5 个全等的小正方形， ，则 的值是_【答案】1【解析】 由平面向量的运算可知 ，而 ，所以 ，注意到 不共线，且 ，即 ，所以 ，即 16. 已知 ， ， 是 在 上的相异零点，则 的值为_【答案】【解析】因为 ， ， 是 在 上的相异零点，所以 ，不妨设，则 所以 ，故答案为 .【名师点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程、两角差的余弦公式以及三角函数的图象与性质等知识点，属于较难题，表面上是函数的零点问题，实际上是将问题等价转化为两角差的余弦公式以及三角函数的图象与性质的问题，结合三角函数的图象与
10、性质，将函数的零点问题巧妙的转化为利用诱导公式、两角差的余弦公式求解，此题是创新题，区别于其他函数与方程问题数形结合转化为函数图象交点的解法，从另一个层面将问题进行转化，综合考查学生的逻辑推理能力.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17. 如图，在 中，点 在边 上， ， ， ， .（）求 的值；（）求 的长.【答案】 （） .（） .【解析】试题分析：（）在 中，由 ，求得 ，进而 .两三角形的内角和及三角函数的两角和的余弦函数化简，即可
11、得到结果（）在 中，由正弦定理得 ，再由余弦定理，即可求解 的长试题解析：（）在 中， ， ，所以 .同理可得， .（）在 中，由正弦定理得 .又 ，所以 .在 中，由余弦定理得， .18. 已知 平面 ，四边形 为矩形，四边形 为直角梯形， ， ， .（）求证： 平面 ；（）求点 到平面 的距离.【答案】 （）见解析.（） .【解析】试题分析：（I）由直角梯形的性质结合勾股定理可得 ，因为 平面， ，所以 平面 ，所以 ，根据线面垂直的判定定理可得平面 ；（II）由（）知， 平面 ， ，可证明平面 ，可得 ，由 ，所以 ，设为点 到平面 的距离，利用 ，可得 ，.试题解析：（）在直角梯形 中
12、， ， ，所以 ，又易得，所以 ，所以 .因为 平面 ， ，所以 平面 ，所以 .又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .（）由（）知， 平面 ，.因为 平面 ， 平面 ，所以 ，又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，又 ，所以 .设 为点 到平面 的距离，则 ，又 ，从而 ，即点 到平面 的距离为 .19. 某地公共电汽车和地铁按照里程分段计价，具体如下表：乘公共电汽车方案10 公里（含）内 2 元；10 公里以上部分，每增加 1 元可乘坐 5 公里（含）乘坐地铁方案6 公里（含）内 3 元；6 公里至 12 公里（含）4 元；12 公里至 22 公里（含）5 元；22 公
13、里至 32 公里（含）6 元；32 公里以上部分，每增加 1 元可乘坐 20 公里（含）已知在一号线地铁上，任意一站到 站的票价不超过 5 元，现从那些只乘坐一号线地铁，且在 站出站的乘客中随机选出 120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示.（）如果从那些只乘坐一号线地铁，且在 站出站的乘客中任选 1 人，试估计此人乘坐地铁的票价小于 5 元的概率；（）已知选出的 120 人中有 6 名学生，且这 6 名学生中票价为 3、4、5 元的人数分别为3，2，1 人，现从这 6 人中随机选出 2 人，求这 2 人的票价和恰好为 8 元的概率；（）小李乘坐一号线地铁从 地到 站的票价是 5 元，返程时
14、，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是 5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为 公里，试写出的取值范围.【答案】 （） .（） .（） .【解析】试题分析：（I）由统计图可知， 人中票价小于 元的有 （人） ，根据古典概型概率公式可得票价小于 元的概率；（II）利用列举法可得从这 人中随机选出人，所有可能的结果共有 种，其中这 人的票价和恰好为 元的有 种，利用古典概型概率公式可得 人的票价和恰好为 元的概率；（）乘坐一号线地铁从 地到 站的票价是 5 元，则 ，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是 5 元，超出 10 公里以上部分为 3 元，而按照计价标准可知 20 公里花
15、费 4 元，则 ，综上可得结果 .试题解析：（）记事件 为“此人乘坐地铁的票价小于 5 元” ，由统计图可知，120 人中票价为 3 元、4 元、5 元的人数分别为 60，40，20 人.所以票价小于 5 元的有 60+40=100（人）.故 120 人中票价小于 5 元的频率是 .所以估计此人乘坐地铁的票价小于 5 元的概率 .（）记事件 为“这 2 人的票价和恰好为 8 元”.记票价为 3 元的同学为 ， ， ，票价为 4 元的同学为 ， ，票价为 5 元的同学为甲，从这6 人中随机选出 2 人，所有可能的结果共有 15 种，它们是 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， .其
16、中事件 对应的结果有 4 种，它们是 ， ， ， .所以这 2 人的票价和恰好为 8 元的概率为 .（）乘坐一号线地铁从 地到 站的票价是 5 元，则 ，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是 5 元，超出 10 公里以上部分为 3 元，而按照计价标准可知 20 公里花费 4 元，则 .综上， .【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先 ，
17、. ，再， 依次 . 这样才能避免多写、漏写现象的发生.20. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的顶点在原点，且该抛物线经过点 ，其焦点在 轴上.（）求过点 且与直线 垂直的直线的方程；（）设过点 的直线交抛物线 于 ， 两点， ，求 的最小值.【答案】 （） .（）12.【解析】试题分析：（I）设抛物线方程为 ，由点 在 上，得 ，从而得点 的坐标为 ，又直线 的斜率为 1，从而其垂线的斜率为-1，根据点斜式可得结果；（II）直线 的方程是 ， .将 代入 ，有 ，利用求根公式求得 ，由 知 ，化简得，根据两点间距离公式， 可化为 ，利用基本不等式求解即可.试题解析：（）设抛物线方程为 ，由点
18、 在 上，得 .从而点 的坐标为 .又直线 的斜率为 1，从而其垂线的斜率为-1，因此所求直线方程为 .（）设点 和 的坐标为 和 ，直线 的方程是 ， .将 代入 ，有 ，解得 .由 知 ，化简得 .因此 .所以 ，当且仅当 时取等号，即的最小值为 12.21. 已知函数 .（）讨论 的单调性；（）是否存在实数 ，使得 有三个相异零点？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.【答案】 （）见解析.（）见解析.【解析】试题分析：（I）求出 ，分三种情况讨论 的范围，分别令 求得 的范围，可得函数 增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间；（II）假设 有三个相异零点，由（）的讨论可知，一定有
19、 且 的极大值大于 0，极小值小于 0，则取得极大值和极小值时 或 ，注意到此时恒有，则必有 为极小值，此时极值点满足 ，即，还需满足 ，换元后只需证明 即可.试题解析：（）由题可知 .当 ，即 时，令 得 ，易知 在 上单调递减，在 上单调递增.当 时，令 得 或 .当 ，即 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；当 时， ， 在 上单调递增；当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.（）不存在.理由如下：假设 有三个相异零点.由（）的讨论，一定有 且 的极大值大于 0，极小值小于 0.已知取得极大值和极小值时 或 ，注意到此时恒有 ，则必有 为极小值，此时极值点满足 ，即 ，还需满
20、足 ，又 ， ，故存在 使得 ，即存在 使得 .令 ，即存在 满足 .令 ， ，从而 在 上单调递增，所以 ，故不存在 满足 ，与假设矛盾，从而不存在 使得 有三个相异零点.（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，已知直线 的参数方程是 （ 是参数） ，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 .（）求圆心 的直角坐标；（）由直线 上的任一点向圆 引切线，求切线长的最小值.【答案】 （） .（） .【解析】试题分析：（1）把圆 的极坐标方程展开后，由公式
21、可化极坐标方程为直角坐标方程，再配方后可得圆心坐标；（2）此题一种方法是由直线参数方程写出直线上点 的坐标 ，此点到圆心的距离最小时，切线长最短，因此由两点间距离公式求得 ，并求得其最小值，再由勾股定理可得切线长最小值也可把直线方程化为直角坐标方程，切线长最小时， 的最小值为圆心到直线的距离.试题解析：（1） , 圆 的直角坐标方程为,即 圆心直角坐标为 .（2）直线 上的点向圆 引切线长是,直线 上的点向圆 引的切线长的最小值是 .考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，圆的切线长问题视频23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 ， ，且 的解集为 .（）求 的值；（）若 ，且 ，求证： .【答案】 （） .（）见解析.【解析】试题分析：（） 结合题意即可得解；（）由 ，利用基本不等式即可证得.试题解析：（）由 的解集为 可知 .（） 则.当且仅当 时等号成立，即 ， ， 时等号成立.
