1、2018 学年第一学期浙江“七彩阳光”联盟期初联考高三年级 数学试题一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.1.已知全集 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知条件求出 ，再求 即可【详解】 ，则故选【点睛】本题主要考查了交集，补集的混合运算，属于基础题。2.2.双曲线 的一条渐近线方程为 ，则正实数 的值为（ ）A. 9 B. 3 C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，即可得到结果【详解】双曲线 的渐近线方程为由题意可得 ，解得故选【点睛】本题主要考查了双曲线的
2、简单性质，求出双曲线的渐近线方程是解题的关键，属于基础题。3.3.已知 i 是虚数单位，复数 满足 ，则 为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知条件计算出 ，继而得到【详解】，则故选【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。4.4.已知函数 ，且 ，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判定出函数 的单调性，然后转化为 ，运用单调性求不等式【详解】 函数函数 在 上为增函数，原不等式等价于解得实数 的取值范围是故选【点睛】本题在解答不等式时运用了函数的单调性，增函数加增函数还是增函数，在解题过程中不要忽略定义域，
3、这里容易出错5.5.“直线 与直线 平行”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行得到 或 ，再利用充分必要条件的定义判断即可【详解】 直线 与直线 平行，解得 或 ，经检验 或 时，直线 与直线 平行根据充分必要条件的定义可得“直线 与直线 平行”是“ ”的必要不充分条件故选【点睛】本题主要考查了两直线平行以及充分必要条件的定义，属于综合题目，关键是要求出的值，然后进行验证6.6.函数 的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用导数法分析函数的单调性，再结合函
4、数的零点个数，排除错误答案即可【详解】 ，则函数 只有两个零点， 和 ，故排除，由 可知函数有两个极值点，故排除故选【点睛】本题主要考查了函数的图像，依据函数求出零点，运用导数判断其单调性和极值，从而得到答案7.7.已知函数 在 上有两个不同的零点，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将已知条件转化为 ，运用辅助角公式进行化简，然后找出有两个不同的零点取值范围【详解】令即，则，两个不同的零点，如图：的取值范围为故选【点睛】本题考查了三角函数的运算，运用辅助角公式进行化简，熟练运用公式是关键，在求取值范围时采用了分步求解，注意运用图像求出两个交点的情况8.8.
5、设 为正数， ，若 在区间 不大于 0，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求导得到函数 在区间 递增，只要满足 就可以算出结果【详解】 ，当 时， ，函数 在区间 单调递增，解得故选【点睛】运用导数求得函数的单调性，然后满足题意列出不等式即可算出结果，本题较为基础9.9. 均为单位向量，且它们的夹角为 ，设 满足 ，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】依据题意求出 的轨迹，然后求出 的最小值【详解】设 ，以 所在直线为 轴，垂直于 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系则 ，则满足，故 ，如图其轨迹图象则其最小值为故选【点睛】本
6、题较为综合，在解答向量问题时将其转化为轨迹问题，求得满足题意的图像，要求最小值即算得圆心到直线的距离减去半径，本题需要转化，有一定难度。10.10.设实数 成等差数列，且它们的和为 9，如果实数 成等比数列，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意得 ， ，故 ，然后求出范围【详解】 实数 成等差数列，且它们的和为， ，实数 成等比数列，则 ，且，当 时，最小值为故 的取值范围为故选【点睛】在解答多元的取值范围时运用已知条件将其转化为单元问题，这样可以利用函数的性质求得最小值，在等差数列和等比数列中要注意 的问题进行取舍。二、填空题：本大题共 7 小题，
7、多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分11.11.公元前 3 世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（ Apollonius）在平面轨迹一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆. 已知直角坐标系中 ，则满足 的点 的轨迹的圆心为_，面积为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由阿波罗尼斯圆求出点 的轨迹的圆的方程，就可以得到圆心坐标和圆面积【详解】设，即化简可得故圆心坐标为面积为【点睛】本题考查了阿波罗尼斯圆，即一动点到两定点的距离之比是个常数时其轨迹是圆，运用两点间的距离公式就可以
8、求出圆的标准方程，从而得到结果12.12.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的体积为_，表面积为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】还原三视图，其几何体为圆锥的一半，且底面向上放置，然后求出几何体的体积和表面积【详解】该几何体为圆锥的一半，且底面向上放置，所以表面积由底面半圆，侧面的一半，和轴截面的面积组成。其体积为表面积为 ， ，即【点睛】本题考查了还原三视图，求几何体的体积和表面积，只需根据三视图还原后的几何体为三棱锥的一半，且底面向上放置，然后求出结果13.13. 展开式中所有项的系数和为_，其中 项的系数为_.【答案】 (1). 1 (2
9、). 【解析】【分析】令 即得各项系数和，若要凑成 有以下几种可能：一是 个 ， 个 ， 个 ，二是 个， 个 ，即可求出 项的系数【详解】令 ，则展开所有项的系数和为若要凑成 有以下几种可能：一是 个 ， 个 ， 个 ，二是 个 ， 个 ，则有故 项的系数为【点睛】本题主要考查了二项式系数，注意在求 项的系数时需要进行分类讨论14.14.已知 为实数，不等式 对一切实数 都成立，则_.【答案】5【解析】【分析】不等式满足对一切实数 都成立，代入 和 得到方程组求出 ，即可得到结果【详解】在 中，令 和 得，且解得 ，则故答案为【点睛】在含有绝对值的不等式问题中，往往需要去绝对值来解答，或者找
10、出最小值来求解，本题在解答过程中代入最小值求出参量的值，继而得到结果15.15.已知函数 ，则函数 的最小的极值点为_；若将 的极值点从小到大排列形成的数列记为 ，则数列 的通项公式为_.【答案】 (1). (2). 或【解析】【分析】求导后令导函数等于零求出最小极值点，结合三角函数的零点分类求出数列 的通项公式【详解】 ，或 ，显然数列 的 ，当 为偶数时，当 为奇数时，综上所述，【点睛】本题考查了含有三角函数的极值问题，运用导数求导后结合三角函数的周期性求出极值，按照要求分类讨论出极值点的通项，还是需要探究出其规律。16.16.甲、乙、丙 3 人同时参加 5 个不同的游戏活动，每个游戏最多
11、有 2 人可以参与（如果有 2 人参与同一个游戏，不区分 2 人在其中的角色） ，则甲、乙、丙 3 人参与游戏的不同方式总数是_.【答案】120【解析】【分析】分类：第一类，每一个游戏只有一个人参加；第二类，有一个游戏有两人参加，另一个游戏有一人参加，求出结果【详解】第一类，每一个游戏只有一个人参加，则有 种参与方法第二类，有一个游戏有两人参加，另一个游戏有一人参加，则有 种参与方法综上，符合题意得参与方法一共有 种参与方法故答案为【点睛】本题考查了排列组合的运用，在不同人选取不同游戏的时候，进行了分类讨论，依据题目中每个游戏最多有 人可以参与讨论一个参加和两人参加，较为基础17.17.直线
12、与椭圆 相交于 两点， 与 轴、 轴分别相交于 两点.如果 是线段 的两个三等分点，则直线 的斜率为_.【答案】【解析】【分析】设直线 的方程为 ，联立椭圆方程， 是线段 的两个三等分点，则线段 的中点与线段 的中点重合，得到关系式求出斜率【详解】由题意，设直线 的方程为 ， ，则 ，联立椭圆方程 可得，由韦达定理可得 ， ，是线段 的两个三等分点线段 的中点与线段 的中点重合，解得故答案为【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，由题目中“ 是线段 的两个三等分点”出发，联立直线方程与椭圆方程，求得线段中点坐标，得到方程求出结果，解题关键是找出相等的量。三、解答题：本大题共 5 小题，共 74
13、 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18.18.在 中，角 所对的边分别为 ，已知 且（1）判断 的形状；（2）若 ，求 的面积.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】运用正弦定理代入化简，得 或 ，判断 的形状结合 的结果，再由 ，运用余弦定理求出 ，继而求三角形面积【详解】 （1）因为 ，由正弦定理，得，即 ， 所以 ，故 或 当 时， ，故 为直角三角形；当 时， ，故 为等腰三角形 （2）由（1）知 ， ，则 ， 因为 ，所以由余弦定理，得 ，解得 ， 所以 的面积 【点睛】本题运用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形，注意在运算过程中作为隐含的条件成立并且加以运用
14、。19.19.如图，已知四棱锥 ，底面 为矩形， 且侧面 平面 ，侧面平面 ， 为正三角形，（1）求证： ；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】因为 ，所以 平面 ，由线面平行的性质定理推出结果解法一：过 作 交 于 ，结合 可得 平面 ，过 作 交 于 ，连接，所以 即为直线 与平面 所成角，然后解三角形；解法二：以 的中点为原点，建立空间坐标系 ，设 ，设 与面 所成的角为 ，计算平面 的一个法向量为 ，计算平面 的一个法向量为 ，解得 ，代入求出结果【详解】 （1）因为 ，所以 平面 ； 又因为 平面 且平面 平面 ，由线面平行的性质定理知
15、 . （2）过 作 交 于 ，所以 .因为侧面 平面 ，侧面 平面 ，所以 平面 ，过 作 交 于 ，连接 ，所以 即为直线 与平面 所成角 又因为 ，所以 ，于是在 中， 解法二：以 的中点为原点，建立空间坐标系 ，设 ，则 ，设 与面 所成的角为 ，由题意 点在面 的射影 必在 轴上，且由是边长为 2 的正三角形得 ，所以， 设平面 的一个法向量为 ，则，解得 ，因为 ，设平面 的一个法向量为 ，则,解得 ， ，所以 ， ，设直线 与平面 所成角为 ，于是 【点睛】本题考查了立体几何中的线线平行及线面角，在证明线线平行时运用了线面平行的性质定理，这是在证明过程中容易忽略的，也是在证明此类问
16、题的关键点，而在求线面角时运用了两种方法：一是通过作图找出线面角然后解三角形；另一个是通过建立空间直角坐标系，结合法向量来求解。20.20.数列 满足 .（1）求 的值；（2）如果数列 满足 ，求数列 的通项公式 .【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】直接代入求出 的值因为 ，且由已知可得 ，把 代入得即 ，运用累加法求出通项【详解】 （1）由已知得 （ ） ，因为 ，所以 （2）因为 ，且由已知可得 ，把 代入得即 ， ，所以 ，累加得 ， 又 ，因此 【点睛】本题考查了数列通项的求法，运用已知条件进行化简，然后运用累加法求出通项，较为基础，主要是注意计算过程。21.21.已知抛物
17、线 的方程为 ，其焦点为 ， 为过焦点 的抛物线 的弦，过 分别作抛物线的切线 ，设 相交于点 .（1）求 的值；（2）如果圆 的方程为 ，且点 在圆 内部，设直线 与 相交于 两点，求的最小值.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】设 ，联立直线方程与抛物线方程求得 ，求导算出斜率得，即 ，所以结合 ，联立 在点 、 处的切线方程得交点 ，点 在圆内，表示出 和，列出 的表达式，然后求解结果【详解】 （1）设 ，因为 ，所以设 AB 的方程为 ，代入抛物线方程得 ，所以 为方程的解，从而 ，又因为 ， ，因此 ，即 ，所以 （2）由（1）知 ，联立 C1在点 A，B 处的切线方程分别
18、为 ，得到交点 由点 P 在圆内得 ，又因为， ，其中 d 为 O 到直线 AB 的距离 所以 . 又 的方程为 ，所以，令 ，由 得 又由 ，所以 ，从而 所以，当 m=2 时， 【点睛】本题以抛物线为载体，结合了直线与抛物线、直线与圆的综合问题，在求解线段乘积的最值时通过设点坐标来表示线段的长度，然后在计算过程中运用了整体换元的思想来求解，本题还是有一定难度。22.22.已知函数（1）判断 的单调性；（2）若函数 存在极值，求这些极值的和的取值范围.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】求导后分类讨论 的取值范围来确定函数单调性存在极值即 在 上有解，即方程 在 上有解，然后讨论求
19、出结果【详解】 （1）因为 ，所以 ，令 ，即 时， 恒成立，此时 ，所以函数 在 上为减函数； ，即 或 时， 有不相等的两根，设为（ ） ，则 ， 当 或 时， ，此时，所以函数 在 和 上为减函数；当 时， ，此时 ，所以函数 在 上为增函数 （2）对函数 求导得 . 因为 存在极值，所以 在上有解，即方程 在 上有解，即 .显然当 时， 无极值，不合题意，所以方程 必有两个不等正根. 设方程 的两个不等正根分别为 ，则 ，由题意知 ， 由 得 ，即这些极值的和的取值范围为 【点睛】本题考查了含有参量的函数单调性和极值问题，求导后对其分类讨论是解答此类问题的关键，在分类过程中，一定要理清题意和思路，按部就班求出分类后的结果，一定要熟练掌握这类题目的解答方法。
