1、豫北豫南名校 2017-2018学年度精英联赛高三数学（理）试题第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，又 ， ，故选 D.2. 若复数满足 ，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】因为复数满足 ，则 ，共轭复数所对应的点为 ，为第一象限点，故选 A.3. 已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解
2、析】由已知条件得： ，故选 A.4. 已知双曲线过点 ，渐近线方程为 ，则双曲线的标准方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】双曲线渐进线方程为 ，故可设双曲线方程为 ，双曲线过点 ，则 ，即 ，故双曲线的标准方程是 ，故选 C.5. 我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤 ”意思是：“现有一根金锤，头部的 尺，重 斤；尾部的 尺，重 斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列 ”则下列说法错误的是（ ）A. 该金锤中间一尺重 斤B. 中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的 倍C. 该金锤的重量为 斤D. 该金锤相邻两尺的重量之差的绝
3、对值为 斤【答案】B【解析】由题意可得金锤每一尺的重量构成等差数列中， ，则 ， 正确， 错误， 正确， 正确，故选 B.6. 已知 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，故选 D.7. 已知函数 若关于 的方程 有且只有 个不同的根，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】作出函数 的图象，令 ，关于 的方程 等价于同号，只有 同正时，方程才有根，假设 ，则，此时关于 方程 有 个不同的根，只有 ，关于 方程有且只有 个不同的根，此时 ，故选 C.8. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】此三视图的几
4、何体如图 ， ， ， ，故选 B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.9. 已知实数 ， 满足 则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意作出其平面区域如图所示，由题意可得， ，则 ，则，故 的最大值为 ，当且仅当 时，等号成立，故选 A.10. 如图，正方体 绕其体对角线 旋转 之后与其自身重合
5、，则 的值可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】在正方体中，连接 ，则对角线 垂直于平面 ，且过 的垂心，而为等边三角形，可知正方体绕对角线旋转 与原正方体重合，故选 A.11. 过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线交于 ， 两点，与抛物线准线交于 点，若 是的中点，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图，设 在准线上的射影分别为 ，且设 ，直线 的倾斜角为 ，则，由抛物线焦点弦长公式 可得 ，故选 B.【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的
6、距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.12. 设 ， ， 且 ，1.5 3 5 6 7 8 9 14 27若表中的对数值恰有两个是错误的，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】解析：由题设可知 都是正确的，所以 ，即 ，应选答案 B。第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13. 定积分 _【答案】【解析】令 ，由题意可知，积分值为扇形和三角形面积的和， ，故答案为 .14. 在数列 中， ， ，且 （ ） ，则 的值是_【答案】 【解析】由 得
7、，即数列 是等差数列，由，可得 ，当 时， ，当时， ，设数列 的前 项和为 ，故答案为 .【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义、等差数列通项公式及求和公式，属于难题.判定一个数列为等差数列的常见方法是：(1) 定义法： （ 是常数） ，则数列 是等差数列；(2) 等差中项法： （ ） ，则数列 是等差数列；(3) 通项公式： ( 为常数)， 则数列 是等差数列；(4) 前 n项和公式：( 为常数) ， 则数列 是等差数列.本题先利用方法(2)判定出数列 是等差数列后再进行解答的.15. 若关于 的不等式 在 上的解集为 ，则实数 的取值范围为_【答案】 或【解析】因为 的不等式 在 上的解
8、集为 ， ，即 ，解得 或 ，故实数 的取值范围是 或 ，故答案为 或 .16. 在 中，若 ，则 的最大值为_【答案】【解析】 ， ，若 ，则 均为钝角，不可能，故 ， 的最大值为 ，故答案为 .三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 的内角 、 、 的对边分别为 ， ， ，且 （1）求 的值；（2）若 ，且 、 、 成等差数列，求 的面积【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：(1)由题中所给的二次齐次方程结合余弦定理整理可得 .(2)由题意结合余弦定理可得： ，然后利用正弦定理角化边可得，据此可得 ，然后利用三角形面积公式可
9、得 .试题解析：（1）由 ，可得 .所以 ，即 .（2）因为 ， ，所以，又 成等差数列，由正弦定理，得 ，所以 ，所以 .由 ，得 ，所以 的面积 .18. 如图，三棱柱 的所有棱长均为 ，平面 平面 ， ，为 的中点（1）证明： ；（2）若 是棱 的中点，求二面角 的余弦值【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）证线线垂直，由平面 平面 得 平面 ，再由底面图形得线线垂直(2)建系求面的法向量，得法向量的夹角解：(1)证明：取 中点 ，设 与 交于点 ，连接 ， ，依题意得 ，因为平面 平面 ，平面 平面 ， ，所以 平面 ，即 平面 ，所以 ，又因为四边形 为菱形，
10、所以 ，又 ，所以 平面 ，而 平面 ，所以 .(2)解：由(1)结合已知得： ， ， ，以 为原点，如图所示建立空间直角坐标系 ，因为侧面 是边长为 2的菱形，且，所以 ， ， ， ， ，所以 ， ， ，设平面 的法向量为 ，则由 得 ，令 ，可取 ，而平面 的一个法向量 ，由图可知二面角 为锐角，因为 .所以二面角 的余弦值为 .19. 某理科考生参加自主招生面试，从 道题中（ 道理科题 道文科题）不放回地依次任取道作答（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为 ，答对文科题的概率均
11、为 ，若每题答对得 分，否则得零分现该生已抽到三道题（两理一文） ，求其所得总分 的分布列与数学期望 【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题解析:（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件 ， “该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件 ，则所以该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为（2） 的可能取值为 0，10，20，30， 则 所以 的分布列为0 10 20 30所以， 的数学期望20. 如图，曲线 由上半椭圆 ： （ ， ）和部分抛物线 ： （）连接而成， 与 的公共点为 ， ，其中 的离心率为 （1）求 ， 的值；（2）过点 的直线 与 ， 分别交于点
12、 ， （均异于点 ， ） ，是否存在直线 ，使得以为直径的圆恰好过 点，若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由【答案】 （1） ， ；（2） .【解析】试题分析：（1）在 ， 的方程中，令 ，可得 ，且 ， 是上半椭圆 的左、右顶点，设 半焦距为 ，由 及 ，联立解得 ；（2）由（1）知，上半椭圆 的方程为 ，由题意知，直线 与 轴不重合也不垂直，设其方程为 （ ） ，代入 的方程，整理得： ，设点 的坐标为，由根公式，得点 的坐标为 ，同理，得点 的坐标为 由 ，即可得出 的值，从而求得直线方程.试题解析（1）在 ， 的方程中，令 ，可得 ，且 ， 是上半椭圆 的左、右顶点，设 半焦
13、距为 ，由 及 可得设 半焦距为 ，由 及 可得 ， ， （2）由（1）知，上半椭圆 的方程为 ，易知，直线 与 轴不重合也不垂直，设其方程为 （ ） ，代入 的方程，整理得： （*）设点 的坐标为 ，直线 过点 ，点 的坐标为 ，同理，由 得点 的坐标为 依题意可知 ， ， ， ，即 ， ， ，解得 ，经检验， 符合题意，故直线 的方程为 21. 已知函数 （ ， ）有两个不同的零点 ， （1）求 的最值；（2）证明： 【答案】 （1）最大值为 ，无最小值；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出导函数 ， 在 上单增，上单减， ，无最小值；（2）通过 ，两式相减化为 ，故要证 ，即证
14、 ，不妨设 ，令，则只需证 ，构造函数 ，通过函数的导数以及函数的单调性求解最值即可.试题解析： ， 有两个不同的零点 ， 在 内必不单调，故 ，此时 在 上单增， 上单减，无最小值 由题知 ，两式相减得 ，即故要证 ，即证 ，即证不妨设 ，令 ，则只需证设 ，则设 ，则 在 上单减， 在 上单增，即 在 时恒成立，原不等式得证【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已
15、证结论先行放缩，然后再化简或者进一步构造函数利用导数证明.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系 中，已知曲线 ： （ 为参数） ，在以 原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 （1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；（2）过点 且与直线 平行的直线 交 于 ， 两点，求点 到 ， 两点的距离之积【答案】 （1） ， ；（2） .【解析】试题分析：（1）利用三角恒等式消元法消去参数，可求得求圆 的普通方程，将直线的极坐标方程利用两角和的余弦定理展开，根据利用 即可得直
16、线 的直角坐标方程； （2）直线 的参数方程代入圆 的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可求点 到 两点的距离之积.试题解析：（1）曲线 化为普通方程为 ，由 ，得 ，所以直线 的直角坐标方程为 （2）直线 的参数方程为 （ 为参数） ，代入 化简得 ，设 ， 两点所对应的参数分别为 ， ，则 ， 【名师点睛】本题考查椭圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的几何意义，消去参数方程中的参数，消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将 和 换成 和 即可.选修 4-5：
17、不等式选讲23. 已知函数 （ ） （1）当 时，解不等式 ；（2）求函数 的最小值【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：(1)零点分段可得原不等式的解集为 .(2)利用绝对值不等式的性质结合均值不等式的结论可得最小值为 .试题解析：（1） ， 原不等式为 ，或 或或 或 ，原不等式的解集为 .（2）由题意得 ，当且仅当 ，计 ，且 时， 取最小值 .绝对值不等式的解法点睛：| ax b| c(c0)和| ax b| c(c0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
