1、浙江省诸暨市 2018 届高三 5 月适应性考试数学试题第卷（共 60 分）一、选择题：1. 已知集合 ， ，全集 ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由集合 ， ， ，知 再由全集 ，能求出 【详解】由题全集 ，集合 ， ， ， 故选：D【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答2. 已知 是虚数单位)，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简等式左边，再由复数相等的条件列式求得 值【详解】 ， ，即 故选：B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题3.
2、 已知圆 与直线 ，则“ ”是“直线与圆相切”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据直线和圆相切可得 ，再根据充分条件，必要条件的定义即可判断【详解】由圆心到直线的距离 若直线与圆相切，则 ，即 ，则 ，则“ ”是 “直线与圆相切 “的充分而不必要条件，故选：A【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，以及充分条件和必要的条件，属于基础题4. 已知 是定义域为 的奇函数，且 ，当 时， ，则 （ ）A. B. C. 1 D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可得 ，则 ，即 的最小正周期为 8，可得 的值【详解
3、】 是定义域为 的奇函数，且 ，可得 ，即有 ，则 ，即 的最小正周期为 8，可得故选：C【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性的判断和运用：求函数值，考查运算能力，属于中档题5. 已知 ，则（ ）A. 的取值范围是 B. 的取值范围是C. 的取值范围是 D. 的取值范围是【答案】C【解析】【分析】去掉绝对值，得到 ，相加即可【详解】 ，由+得： ，故选：C【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查三角函数，是一道基础题6. 等差数列 的前 项和是 ，公差 不等于零，若 成等比，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由 成等比数列可得 ，利用等差数列的通项公式可得（，解出 即
4、可【详解】由 成等比数列可得 ，可得（ ，即 ，公差 不等于零，故选：C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、考查了计算能力，属于基础题7. 已知双曲线 的一条渐近线截椭圆 所得弦长为 ，则此双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程与椭圆的方程联立，利用弦长转化求解即可【详解】双曲线 的一条渐近线不妨设为： ，则： ，可得： 一条渐近线截椭圆 所得弦长为 ，可得： ，可得 ，解得 故选：B【点睛】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力属中档题.8. 平行四边形 中， 在 上投影的数量分别为 ，则 在 上的投影的取值
5、范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算和数量积求出结果【详解】 建立如图所示的直角坐标系：设 ，则： 则： 解得： 所以： 在 上的摄影 当 时， ，得到： 当 时， ， 故选：A【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积和坐标运算的应用9. 甲盒子装有 3 个红球，1 个黄球，乙盒中装有 1 个红球，3 个黄球，同时从甲乙两盒中取出 个球交换，分别记甲乙两个盒子中红球个数的数学期望为 ，则以下结论错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别就 计算概率得出数学期望，得出结论【详解】用 表示交换后甲盒子中的红球
6、数， 表示交换后乙盒子中的红球数，当 时，则 ，故 A 正确，C 正确，当 时， 故 B 正确当 时， 故 D 错误故选：D【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，组合数公式应用，属于中档题10. 如图，矩形 中， ， 是线段 （不含点 ）上一动点，把 沿折起得到 ，使得平面 平面 ，分别记 ， 与平面 所成角为 ，平面 与平面 所成锐角为 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意画出图形，作出 与平面 所成角为 ，平面 与平面 所成锐角为 ，分别求出 和 ， 与平面 所成角为 则答案可求【详解】如图，过 作 ，在 中，由 ，可得 由等积法可得 ，则平面 平面 ，且
7、 ，可得 平面 ，则 过 作 ，垂足为 ，连接 ，则 为平面 与平面 所成的锐角 到 的距离 即 故选：A【点睛】本题考查空间中直线与平面、平面与平面所成角的求法，考查空间想象能力与逻辑思维能力，是中档题第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）11. 若 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值等于_,最小值等于_【答案】 (1). 6 (2). -10【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数中 的几何意义，求出直线 的最大值即可【详解】 作出 满足约束条件 可行域如图，由 知， ，所以动直线 的纵截距 取得最大值时，目标函数取得最大值由可
8、行域得 结合可行域可知当动直线经过点 时，目标函数取得最小值 目标函数经过可行域的 时，取得最大值：6故答案为：6；-10【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题12. 某几何体的三视图如图所示（单位为 ） ，则该几何体的表面积为_ ，体积为_ . 【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为该几何体为三棱锥，底面三角 为直角三角形，侧棱 底面 ，由三棱锥体积公式求体积【详解】 由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形 为直角三角形，侧棱 底面 ，由 ，可得 ，由 ，可得 ，该几何体的表面积为 则该三棱锥的体积
9、为 故答案为： ； 【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题13. 中，角 所对边分别是 ，已知 ，且 的周长为9，则_；若 的面积等于 ，则 _【答案】 (1). 4 (2). 【解析】【分析】直接利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出结果【详解】 中，角 C 所对边分别是 ，已知 ，则： 且 的周长为 9，则： 解得： 若 的面积等于 ，则： ，整理得： 由于： 故： ，解得： 或 ，所以： 故答案为：4 ； 【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用14. 已知 ，则 _， _【答案】 (1). (2). 【解析】【
10、分析】把 ，按二项式展开式定理展开，对应系数相等即可【详解】x则 故答案为： ； 【点睛】本题考查了二项式展开式的应用问题，是基础题15. 已知 ，且 ，则 的最小值等于_【答案】【解析】【分析】由条件可得 ，可得 运用基本不等式即可得到所求最小值【详解】 ，且 ，即有 ，即 ，可得 ，当且仅当 时，上式取得等号，即有 的最小值为 .故答案为：【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和运算能力，属于中档题16. 某翻译处有 8 名翻译，其中有小张等 3 名英语翻译，小李等 3 名日语翻译，另外 2 名既能翻译英语又能翻译日语，现需选取 5 名翻译参加翻译工作，3 名翻译英语，2
11、名翻译日语，且小张与小李恰有 1 人选中，则有_种不同选取方法.【答案】21【解析】【分析】据题意，对选出的 3 名英语教师分 5 种情况讨论：若从只会英语的 3 人中选 3 人翻译英语，若从只会英语的 3 人中选 2 人翻译英语， （包含小张） ，若从只会英语的 3 人选小张翻译英语，、若从只会英语的 3 人中选 2 人翻译英语， （不包含小张） ，、若从只会英语的 3人中选 1 人翻译英语， （不包含小张） ，每种情况中先分析其余教师的选择方法，由分步计数原理计算每种情况的安排方法数目，进而由分类计数原理，将其相加计算可得答案【详解】根据题意，分 5 种情况讨论：、若从只会英语的 3 人中
12、选 3 人翻译英语，则需要从剩余的 4 人（不含小李）中选出 2 人翻译日语即可，则不同的安排方案有 种，、若从只会英语的 3 人中选 2 人翻译英语， （包含小张）则先在既会英语又会日语的 2 人中选出 1 人翻译英语，再从剩余的 3 人（不含小李）中选出2 人翻译日语即可，则不同的安排方案有 种，、若从只会英语的 3 人选小张翻译英语，则先在既会英语又会日语的 2 人中选出 2 人翻译英语，再从剩余的 2 人（不含小李）中选出2 人翻译日语即可，则不同的安排方案有 种，、若从只会英语的 3 人中选 2 人翻译英语， （不包含小张）则先在既会英语又会日语的 2 人中选出 1 人翻译英语，再从
13、剩余的 4 人（小李必选）中选出2 人翻译日语即可，则不同的安排方案有 种，、若从只会英语的 3 人中选 1 人翻译英语， （不包含小张）则先在既会英语又会日语的 2 人中选出 2 人翻译英语，再从剩余的 3 人（小李必选）中选出2 人翻译日语即可，则不同的安排方案有 种，则不同的安排方法有 种故答案为：29【点睛】本题考查排列、组合的运用，注意根据题意对“既会英语又会日语”的教师的分析以及小张与小李恰有 1 人选中，是本题的难点所在17. 已知 ，关于 的方程 恰有三个不等实根，且函数 的最小值是 ，则 _【答案】5【解析】【分析】由条件可得直线 与 相切，设出切点，求得二次函数的导数，可得
14、 的方程，再由函数 的单调性，可得 的最小值，化简变形即可得到 的关系式，可得所求值【详解】关于 的方程 恰有三个不等实根，可得直线 与 相切相切，设切点为 ， ，则 ，消去 ，可得 设 与 轴的两个交点的横坐标为： ，即有函数 ，当 时， 取得最小值是 ，即有 可得 即为 ，化为 ，可得 或 ，由 ，可得 ，即 故答案为：5【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，以及导数的概念和应用，考查函数的最值的求法，以及运算能力，属于中档题三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 18. 已知函数 .（1）求 的值；（2）设 是 中的最小角， ，求 的值.
15、【答案】 （1）-2;（2） .【解析】【分析】（1）代入函数 的解析式求值即可；（2）化 为正弦型函数，根据， 的值求 的值【详解】 （1）（2）， .【点睛】本题考查三角函数的图象与性质的应用问题，考查三角恒等变换问题，是中档题19. 如图，四棱锥 中，平面 平面 ， 是边长为 2 的等边三角形，底面 是直角梯形， ， ， 是 的中点.（1）证明： ；（2）设 是棱 上的点， 平面 ，求 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】【分析】（1）取 中点 ，连 ， ，推导出 平面 ， ， ，从而 平面，进而 ，由此能证明 平面 ，从而 （2）作 交 于 ，连 ，推导出
16、四边形 是平行四边形， 面 ，作于 ， 为所求线面角，由此能求出 与平面 所成角的正弦值【详解】 （1）取 中点 ，连 ，面 平面 ， ，面 平面 ，得 平面又 平面 ，（2）作 交 于 ，连面 ，面 面四边形 为平行四边形 ，且 ，即 为 的一个四等分点，面 面 面作 于 ， ， ， 面 为所求线面角，.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，是中档题20. 已知函数 ， ， .（1）当 时，求函数 的极值；（2）若 ，且函数 与 在 处的切线重合，求证：
17、恒成立.【答案】 （1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）代入 的值，求出切线方程，一方面先证： ，另一方面：恒成立，令 ，根据函数的单调性证明即可【详解】 （1）令 在 ， 上单调递减，在 上单调递增极大值 ， 极小值（2） ，即切线为， 且 过一方面先证： ，另一方面： 恒成立令 ，令 ，为 上的单调递增函数， ，令 得 在 递增，在 递减， ，即 .【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题21. 已知 是抛物线 的焦点，过 的直线交
18、抛物线 于不同两点 ，且 .（1）求抛物线 的方程；（2）过点 作 轴的垂线交直线 （ 是原点）于 ，过 作直线 的垂线与抛物线 的另一交点为 ， 中点为 .求点 的纵坐标；求 的取值范围.【答案】 （1） ;（2）见解析.【解析】【分析】（1）设 方程 y ，与抛物线方程联立消元，根据根与系数的关系列方程得出 的值；（2）根据 的方程计算 点纵坐标，求出 方程得出 点坐标，计算 化简 ，根据 的范围得出 的范围【详解】 （1）设 ： ， ，（2）直线 ： 即 ， ，即直线 ： , 三点共线 .【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题22. 已知数列 的各项都小于 1， ， .（1）求证： ；（2）设数列 的前 项和为 ，求证： ；（3）记 ，求证： .【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）证明 ，再利用 .化简证明 ；（2）求解前 项和为 ，利用（1）的结论可得证明；（3）根据数列 的单调性，求解 的单调性，即可证明： .【详解】 （1）先证：， 同号， ，所以又 ，所以（2）由（1）得所以 （3）由 得 ，从而下证 为单调递减数列 我们先证 为单调递减数列所以 为单调递减数列， .【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列通项公式和前 项和之间的关系，不等式的转化证明，属于难题
