1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 =A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求出集合 A 中不等式的解集确定出 A，由 B 是奇数集合，求出两集合的交集即可.【详解】由 得 ，所以 ，又因为 B 为奇数集合，所以 ，故选 B.【点睛】该题考查的是集合的交集的运算，涉及到的知识点有对数不等式，所以正确理解对数不等式的解法是解决该题的关键.2. 设 ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：首先根据复数的运算法则，
2、将其化简得到 ，根据复数模的公式，得到 ，从而选出正确结果.详解：因为 ，所以 ，故选 C.点睛：该题考查的是有关复数的运算以及复数模的概念及求解公式，利用复数的除法及加法运算法则求得结果，属于简单题目.3. 已知 ，则 （）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先从题中观察两个角的关系，得到 ，之后应用余弦的倍角公式求得结果.【详解】 ，故选 C.【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有余弦的倍角公式，判断出两个角之间的倍数关系式解题的关键，属于简单题目.4. 设抛物线 C： y2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为 的直线与 C 交于 M， N
3、两点，则 =A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】D【解析】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点 ，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得 ，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.详解：根据题意，过点（2，0）且斜率为 的直线方程为 ，与抛物线方程联立 ，消元整理得： ，解得 ，又 ，所以 ，从而可以求得 ，故选 D.点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出 ，之后借
4、助于抛物线的方程求得 ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点 M、N 的坐标，应用韦达定理得到结果.5. 我国古代数学著作九章算术中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的 （单位：升） ，则输入 的值为A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】C【解析】分析：执行程序框图，得到输出值 ，令 ，可得 .详解：阅读程序框图，初始化数值 ，循环结果执行如下：第一次： 成立， ；第二次： 成立， ；第三次： 成立， ；第四次： 不成立，输出 ，解得
5、.故选 C.点睛：解决循环结构程序框图问题的核心在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.6. 在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 ，之后应用向量的加法运算法则-三角形法则，得到 ，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得 ，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以 ，故选 A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法
6、则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.7. 已知函数 的图象上的相邻最高点与最低点之间的距离为 ；相邻的两个对称中心的距离为 ；则函数的对称轴方程可能是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据相邻的两个对称中心的距离为 ，求得函数的周期，从而确定出 的值，之后利用整体角思维，借助于正弦函数图像的对称轴方程，列出 所满足的等量关系式，最后与选项对照，求得结果.【详解】根据题中的条件，相邻的两个对称中心的距离为 ，可以求得函数的周期为 ，所以 ，图象上的相邻最高点与最低点之间的距离为 ，可以得到 ，解得 ，令 ，解得 ，结合选项，可知 满足
7、条件，故选 C.【点睛】该题考查的是有关三角函数的图像以及性质，涉及到的知识点有图像的两个对称中心之间的距离是半个周期，从而确定出 的值，对于相邻最高点与最低点之间的距离这个条件的用在于确定其不是 0，最后列式求得结果.8. 已知一个几何体的三视图如图所示，图中长方形的长为 ，宽为 ，圆半径为 ，则该几何体的体积和表面积分别为（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】B【解析】分析：几何体为圆柱中挖去一个圆锥，分别算出圆柱体积和圆锥的体积即可算出该几何体的体积；分别算出圆柱的侧面积、底面积和圆锥展开的扇形面积即可求得该几何体的表面积详解：根据三视图可得，该几何体为圆柱中挖去一个圆锥，圆
8、柱底面半径和高均为 ，圆锥的底面圆的半径为 ，如图所示：该几何体的体积为 ；该几何体的表面积为 .故选 B.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.9. 若 ， 满足不等式组 ，则 成立的概率为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】
9、首先根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，之后再作出直线 ，所以满足条件的区域为可行域内落在直线 的下方的区域，之后分别求出其图形对应的面积，利用概率公式求得结果.【详解】作出不等式组 表示的平面区域，如图所示：因为 表示点 与定点 连线的斜率，所以 成立的点 只能在图中 的内部（含边界） ，所以由几何概型得： 成立的概率为 ，由 ，得 ，由 ，得 ，由 ，得 ，由 ，解得 ，由 ，解得 ，所以 ， ，所以 成立的概率为 ，故选 A.【点睛】该题考查的是有关几何概型的问题，涉及到的知识点有不等式组表示的平面区域，需要利用不等式表示的区域，找出满足条件的区域，随后求得其对应的几何度量，利用
10、公式求得结果，在解题的过程中，求对应图形的面积是解题的关键.10. 若曲线 ： 与曲线 ： （其中无理数 ）存在公切线，则整数 的最值情况为（ ）A. 最大值为 2，没有最小值 B. 最小值为 2，没有最大值C. 既没有最大值也没有最小值 D. 最小值为 1，最大值为 2【答案】C【解析】分析：先根据公切线求出 ，再研究函数 的最值得解.详解：当 a0 时，显然不满足题意.由 得 ，由 得 .因为曲线 ： 与曲线 ： （其中无理数 ）存在公切线，设公切线与曲线 切于点 ，与曲线 切于点 ，则将 代入 得 ，由 得 ，设当 x2 时， ，f(x)单调递减，当 x2 时， ，f(x)单调递增.或
11、a0.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是求出 ，再研究函数的最值得解.11. 已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：首先利用正方体的棱是 3 组每组有互相平行的 4 条棱，所以与 12 条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.详解：根据相互平行的直
12、线与平面所成的角是相等的，所以在正方体 中，平面 与线 所成的角是相等的，所以平面 与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面 与 中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为 ，所以其面积为 ，故选 A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.12. 设 在 的导函数为 ，且当 时，有 ，若 ，则在区间 内，方程 的解的
13、个数为A. 0 B. 1 C. 0 或 1 D. 4【答案】B【解析】【分析】首先利用微分中值定理得到其存在性，之后应用罗尔中值定理证得其唯一性，从而得到方程根的个数是一个，求得结果.【详解】利用微分中值定理可得， ，使得 ，因为当 时， ，故 ，从而， ，又因为 ，且 在 上连续，故利用连续函数的零点存在定理可得， ，使得 ，下面证明 的唯一性.如果存在 ，使得 ，利用罗尔中值定理可得， ，使得 ，这与 矛盾，故方程 在区间 内有且仅有一个根，故选 B.【点睛】该题考查的是有关方程根的个数的问题，在解题的过程中，需要明确微分中值定理与罗尔中值定理，一个保证其存在性，一个保证其唯一性，最后得到
14、结果.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 函数 满足 ，且在区间 上， 则的值为_【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由 得函数 的周期为 4，所以 因此点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 14. 在平面直角坐标系 中， A 为
15、直线 上在第一象限内的点， ，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D若 ，则点 A 的横坐标为_【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设 ，则由圆心 为 中点得 易得 ，与联立解得点 D 的横坐标 所以 .所以 ，由 得 或 ，因为 ，所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.15. 在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分线交 于点 D，且 ，则 的最
16、小值为_【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知， ,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得 ，因此当且仅当 时取等号，则 的最小值为 .点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.16. 已知集合 ， 将 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 记 为数列 的前 n 项和，则使得 成立的 n 的最小值为_【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满
17、足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设 ，则由 得所以只需研究 是否有满足条件的解，此时 ， ，为等差数列项数，且 .由得满足条件的 最小值为 .点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ） ，符号型（如 ） ，周期型（如 ）.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17. 已知 为锐角， ， （1）求 的值；（2）求 的值【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：先根据
18、同角三角函数关系得 ，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得 ，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为 ， ，所以 因为 ，所以 ，因此， （2）因为 为锐角，所以 又因为 ，所以 ，因此 因为 ，所以 ，因此， 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦” 、 “升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换” 、 “逆用变用公式” 、 “通分约分” 、
19、 “分解与组合” 、 “配方与平方”等.18. 针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持” 、 “保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：支持 保留 不支持50 岁以下 8000 4000 200050 岁以上（含 50岁）1000 2000 3000(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取 个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了 人，求 的值；（2）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取 人看成一个总体，从这 人中任意选取 人，求 岁以下人数 的分布列和期望；（3）在接受调查的人中，有 人给这项活动打出的分数如下：， ， ， ， ， ，
20、 ， ， ， ，把这 个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过 概率【答案】 （1）120；（2）见解析；（3）【解析】试题分析：（1）由 比上总人数等于 30 人比上持“不支持”态度的人数即可得解；（2）列树状图，用古典概型计算即可；（3）先计算平均数，再列举出与总体平均数之差的绝对值超过 事件按，作比即可得解.试题解析：（1）参与调查的总人数为 ，其中从持“不支持”态度的人数 中抽取了 人，所以 .（2）易得，抽取的 人中， 岁以下与 岁以上人数分别为 人（记为 ， ） ， 人（记为 ， ） ，从这 人中任意选取 人，基本事件为：其中，至少有 人年龄在
21、 岁以下的事件有 个，所求概率为 .（3）总体的平均数为 ，那么与总体平均数之差的绝对值超过 的数有 ， ， ，所以任取 个数与总体平均数之差的绝对值超过 的概率为 .点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.19. 如图，已知在等腰梯形 中， ， ， ， ， =60，沿 ， 折成三棱柱 (1)若 ， 分别为 ， 的中点，求
22、证： 平面 ；(2)若 ，求二面角 的余弦值【答案】 （1）见解析；（2）【解析】分析：（1）取 的中点 ，连接 ， ，在三角形 中，得到 ，证得 平面，又由 ， 分别为 ， 的中点证得 平面 ，即可证得面 平面 ，利用面面平行的性质，即可得到 平面 .（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面 和平面 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角 的余弦值详解：（1）取 的中点 ，连接 ， ，在三角形 中， ， 分别为 ， 的中点， ， 平面 ， 平面 ， 平面 .由于 ， 分别为 ， 的中点，由棱柱的性质可得 ， 平面 ， 平面 ， 平面 .又 平面 ， 平面 ， ，平面 平面 ， 平面
23、 ， 平面 .（2）连接 ，在 中， ， ， ，又 ， ， ， ，又 且 ， 平面 .建立如图所示的空间直角坐标系，可得 ， ， ， ， ， .设平面 的法向量为 ，则 ，则 ，令 ，得 ，则 为平面 的一个法向量，设平面 的法向量为 ，则 ，则 ，令 ，得 ， 为平面 的一个法向量.设 ， 所成角为 ，则 ，由图可知二面角 的余弦值为 . 点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量
24、法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20. 如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 C 过点 ，焦点 ，圆 O 的直径为 （1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；直线 l 与椭圆 C 交于 两点若 的面积为 ，求直线 l 的方程【答案】 （1） ， ；（2）【解析】分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得 a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角
25、形面积得三角形底边边长，再结合中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.详解：解：（1）因为椭圆 C 的焦点为 ，可设椭圆 C 的方程为 又点 在椭圆 C 上，所以 ，解得因此，椭圆 C 的方程为 因为圆 O 的直径为 ，所以其方程为 （2）设直线 l 与圆 O 相切于 ，则 ，所以直线 l 的方程为 ，即 由 ，消去 y，得 （*）因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，所以 因为 ，所以 因此，点 P 的坐标为 因为三角形 OAB 的面积为 ，所以 ，从而 设 ，由（*）得 ，所以因为 ，所以 ，即 ，解得 舍去） ，则 ，因此 P 的坐标为 综上
26、，直线 l 的方程为 点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.21. 已知函数 （1）讨论 的单调性；（2）若 存在两个极值点 ，证明： 【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对 进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据 存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定 ，令 ，得到两个极值点 是方程 的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，
27、构造新函数证得结果.详解：（1） 的定义域为 ， .（i）若 ，则 ，当且仅当 ， 时 ，所以 在 单调递减.（ii）若 ，令 得， 或 .当 时， ；当 时， .所以 在 单调递减，在单调递增.（2）由（1）知， 存在两个极值点当且仅当 .由于 的两个极值点 满足 ，所以 ，不妨设 ，则 .由于，所以 等价于 .设函数 ，由（1）知， 在 单调递减，又 ，从而当时， .所以 ，即 .点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权
28、，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.22. 在平面直角坐标系 xoy 中，已知曲线 ，直线 过定点（2,2） ，且斜率为 .以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线 的直角坐标方程以及直线 l 的参数方程；(2)点 P 在曲线 上，当 时，求点 P 到直线 l 的最小距离并求点 P 的坐标【答案】 （1） ， ；（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函数平方关系，可把曲线 C 的参数方程化为普通方程，根据题意，利用直线所过的定点，以及直线的斜率，结合直线的参数方程的
29、形式，求得直线的参数方程；（2）应用曲线的参数方程，写出点 P 的坐标，将直线方程化为一般式，应用点到直线的距离公式，将距离求出，结合角的取值范围，求得其最值，并得到点 P 的坐标.【详解】 （1） ；故直线 l 的参数方程为（2）设点 P ，易知直线 l： ，则点 P 则到直线 l 的距离为，因为当且仅当 时，P 则到直线 l 的距离最小，此时 ，此时【点睛】该题考查的是有关参数方程的有关问题，涉及到的知识点有曲线的参数方程与普通方程的互化，直线的参数方程的求解，应用曲线的参数方程，求曲线上的点到直线的距离的最值，在解题的过程中，注意角的取值范围.23. 已知函数 （1）当 时，求不等式 的解集；（2）若不等式 恒成立，求关于 的不等式 的解集【答案】 （1） ；（2）见解析.【解析】（1）当 时， 即 ，当 时， ，无解；当 时， ，解得 ；当 时， ，解得 ，综上， ，所以不等式 的解集为 （2）由题可得 ，因为 恒成立，所以 ，解得 不等式 可化为 ，显然 ，设 ，则当 时，由 可得 ，即 ，解得 或 ，所以不等式 的解集为 或
