1、2017-2018 年度高三名校联合摸底考试第一次五校联考数学试卷（理科）第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数 ( )的虚部为 2，则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ,结合已知得 .，故选 A.2. 已知集合 ， ，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由 ;由，则有 ，故选 D3. 设等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）A. 4 B. 5 C. 8 D. 9【答案】B【解析】由题设 ， ，所以 ，应选答案 B。4. 的展开式中常数项为 ( )A. B. C.
2、 D. 25【答案】C【解析】 的通项为 ， ，根据式子可知当 或 时有常数项，令 ; 令 ;故所求常数项为 ，故选 C.【点睛】求解与二项式相关的复杂式子的一般方法及步骤是：将复杂式子分解转化成与简单的二项式相关的式子根据条件找到符合条件的二项式的项，利用二项式的通项求出符合条件的项，整合最终得出所求5. 榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图可知榫卯的榫为底边长为 高为 长方体，
3、卯为底面半径为 ，高为 的中空的圆柱体，设表面积为 ，侧面积为 ，上下底面积的和为 ，则有 ，故选 B【点睛】本题重点是抓住榫卯的工作原理榫凸卯凹、榫卯咬合连接，由此发现卯（中空的圆柱体）中间所缺失的上下表面积刚好由榫的上下表面积补充。故整个构件的上下表积刚好是两个完整的圆形的面积。6. 已知函数 （ ， ， ）的最大值为 3，的图象的相邻两条轴间的距离为 2，与 轴的交点的纵坐标为 1，则 （ ）A. 1 B. -1 C. D. 0【答案】D【解析】 ， 的最大值为， ；根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为 2，可得函数的最小正周期为 4，即 ，再根据 的图象与 轴的交点纵坐标为 ，可得，故
4、函数的解析式为， ，故选 D.7. 执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的 （ ）A. 80 B. 84 C. 88 D. 92【答案】A【解析】由题设可知当 时， ，程序运算继续执行 ，程序运算继续执行 ，程序运算继续执行 ，故此时运算程序结束，输出 ，应选答案 A。8. 设 满足约束条件 ，则 的最大值为( )A. 1 B. 3 C. 5 D. 6【答案】C【解析】由 根据题意画出上图， 区域为满足不等式组的所有点的集合 ， ，将直线 沿 轴平移，结合图象可知 的最大值点为 点，由 ，即 为 的坐标，代入式子得，故选 C.9. 在长方体 中， ， ， ，点 在平面 内运动，则线段 的最
5、小值为（ ）A. B. C. D. 3【答案】C【解析】由题意问题转化为求点 到平面 的距离，由于 ，所以 边上的高 ，故三角形 的面积为 ，又三棱锥的体积 ，所以，应选答案 C。10. 某次夏令营中途休息期间，3 位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断：甲说胡老师不是上海人，是福州人；乙说胡老师不是福州人，是南昌人；丙说胡老师不是福州人，也不是广州人.听完以上 3 人的判断后，胡老师笑着说，你们 3 人中有 1 人说的全对，有 1 人说对了一半，另 1 人说的全不对，由此可推测胡老师( )A. 一定是南昌人 B. 一定是广州人 C. 一定是福州人 D. 可能是上海人【答案】D【解
6、析】若胡老师是南昌人，则甲对一半，乙全对，丙全对；若胡老师是广州人，则甲全不对，乙全不对； 若胡老师是福州人，则甲全对，乙全错，丙全错；若胡老师是上海人，则甲全错，乙对一半，丙全对；故选择 D.11. 设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， ，过作 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为 ，已知 ， ，点 是双曲线 右支上的动点，且 恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 垂直于 轴，则 为双曲线的通径的一半， ， 的坐标为 ，则 ， ，又 ，故有在第 1 象限上即在右支上，则有 ，即 ，故选 B.12. 已知 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最大
7、值为( )A. B. 3 C. D. 【答案】A【解析】令 ，易得 与 互为反函数 与 关于直线对称 原命题等价于 在 上恒成立.记 ，记 ，同理可得 ，综上 的最大值为 ，故选 A.【点睛】本题的关键步骤有：观察发现 与 互为反函数；将原命题等价转化为 在 上恒成立 ；利用导数工具求 的最小值，从而求得 ；第卷二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 ， ，且 ，则 _【答案】【解析】由题设 ，则 ， ， ，所以 ，应填答案 。14. 在 三个盒子中各有编号分别为 1，2，3 的 3 个乒乓球，现分别从每个盒子中随机地各取出 1 个乒乓球，那么至少有一个
8、编号是奇数的概率为_【答案】【解析】从 1 是个盒子取出的乒乓球的编号是偶数的概率为 ，则从 3 个盒子取出的乒乓球的编号都是偶数的概率为 ，所以至少有一个编号是奇数的概率概率为 【点睛】本题所求概率 直接计算比较复杂，关键在于发现求其对立事件“从 3 个盒子取出的乒乓球的编号都偶数”的概率相当简单，所以事先求出其对立事件的概率 ，再利用求出 .这是求复杂事件概率较常用的一种方法.15. 在等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，则公差_【答案】3【解析】由已知可得方程组 16. 已知 为曲线 上任意一点， ， ，则的最大值是_【答案】8【解析】原曲线方程可化为 ，作图如下：由上图可得要使
9、取得最大值，则 必须在菱形的顶点处，不取，或 ，均可求得 ，故 的最大值为 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 的内角 所对的边分别是 ，已知 .(1)求 ；(2)若 的面积为 ， ， ，求 ， .【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）由正弦定理得；（2）由 ，再由余弦订立的得.试题解析：（1）由已知结合正弦定理得所以即 ，亦即因为 ，所以 .（2）由 ， ，得 ，即 ，又 ，得所以 ，又 ，18. 某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，为了解某学校师生对学校教学管理的满意度，分别从教师和不同年级的同学中随
10、机抽取若干师生，进行评分(满分 100 分)，绘制如下频率分布直方图(分组区间为 ， ， ， ， ，)，并将分数从低到高分为四个等级：满意度评分满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意已知满意度等级为基本满意的有 340 人.(1)求表中 的值及不满意的人数；(2)在等级为不满意的师生中，老师占 ，现从该等级师生中按分层抽样抽取 12 人了解不满意的原因，并从中抽取 3 人担任整改督导员，记 为老师整改督导员的人数，求 的分布列及数学期望.【答案】 （1） ； 不满意的人数为 60 （2）分布列见解析；【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图可知： ，再由；（2）按分层抽样求得：12 人中
11、老师有 4 人，学生有 8 人 则 的可能取值为 0，1，2，3 ， ， ，即可求得分布列及方差 .试题解析：（1）由频率分布直方图可知：设不满意的人数为 ，则解得 .（2）按分层抽样，12 人中老师有 4 人，学生有 8 人，则 的可能取值为 0，1，2，3，则 的分布列为0 1 2 3故 .19. 如图，在多面体 中，四边形 是正方形，在等腰梯形 中， ， ，平面 平面 .（1）证明： ；（2）求二面角 的余弦值.【答案】 （1）证明见解析 （2）二面角 的余弦值为【解析】试题分析：（1）先依据题设条件运用面面垂直的性质定理证明 平面 ，从而得到 再运用线面垂直的判定定理证明 平面 ，最后
12、借助线面垂直的性质证明 ；（2）先等积转换法将 ，然后再求出 的值。解：（1）证明：连接 ，因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，又 ，所以四边形 为菱形，从而 ，同理可证 ，因此 ，由于四边形 为正方形，所以 ，又平面 平面 ，平面 平面 ，故 平面 ，从而 ，又 ，故 平面 ，所以 (2)因为 ，.所以，三棱锥 的体积为 .20. 已知圆 ，某抛物线的顶点为原点 ，焦点为圆心 ，经过点 的直线 交圆 于 ， 两点，交此抛物线于 ， 两点，其中 ， 在第一象限， ， 在第二象限.(1)求该抛物线的方程；(2)是否存在直线 ，使 是 与 的等差中项？若存在，求直线 的方程；若不存在，请说明理由
13、.【答案】 （1）抛物线的方程为 （2）存在满足要求的直线 ，其方程为或【解析】试题分析：（1）圆方程可化为可化为 圆心 的坐标为， 抛物线的方程为 ；（2）由等差数列性质可得，再由 ，存在满足要求的直线 ，其方程为 或 .试题解析：（1） 可化为 ，根据已知抛物线的方程为 （ ）.圆心 的坐标为 ， ，解得 .抛物线的方程为 .（2） 是 与 的等差中项，圆 的半径为 2，. .由题知，直线 的斜率存在，故可设直线 的方程为 ，设 ， ，由 ，得 ， ，故 ， .由 ，解得 .存在满足要求的直线 ，其方程为 或【点睛】本题解题关键有：1.利用数形结合思想求得 ，从而求得抛物线方程；2.利用转
14、化化归思想求得 ，进而取得；3.利用设而不求法及弦长公式将上述条件坐标化.21. 已知函数 的图象在点 处的切线方程为 .(1)求曲线 在 处的切线方程；(2)若存在 ，满足 ，求 的取值范围 .【答案】 （1）所求切线方程为 （2） 的取值范围为【解析】试题分析：（1）由 求得 切线方程为 ；（2）将问题转化为 在 上有解，令 ， ,再由 求得 ，在 上递减 .试题解析：（1）由 ，得 .所以 ， ，则 ，故所求切线方程为即 .（2） ，即 ，所以问题转化为 在 上有解.令 ， ，则因为 ，所以 ， ，从而 ， ，所以 ，即函数 在 上递减，因此， .要使 在 上有解，必须有 ，即所以 的取
15、值范围为【点睛】在解答题中主要考查不等式的证明与不等式的恒成立问题，常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 的参数方程为 （ 为参数） ，在以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 .（1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程（化为标准方程） ；（2）设直线 与曲线 交于 两点，求 .【答案】 （1）直线 的普通方程是 ; 曲线 的直角坐标方程是（2）【解析】解：(1)直线 的普通方程为 即 ，曲线 的直角坐标方程是 ，即 .(2)直线 的极坐标方程是 ，代入曲线 的极坐标方程得： ，所以 ，.不妨设 ，则 ，所以 .23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 （ ）.（1）证明： ；（2）若 ，求 的取值范围.【答案】 （1）证明见解析 （2）【解析】试题分析：（1）由；（2）原不等式可化为 ，由 得（*） ，当 时，不等式（*）无解，当 时，.试题解析：（1）证明：因为，又 ，所以所以 .（2）解： 可化为 ，因为 ，所以 （*）当 时，不等式（*）无解.当 时，不等式（*）可化为 ，即 ，解得 ，综上所述，
