1、八市学评 2017-2018（下）高三第一次测评文科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数 ，其中 为虚数单位，则 z=（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，选 D.2. 集合 , ,若 只有一个元素，则实数 的值为（ ）A. 1 B. -1 C. 2 D. -2【答案】B【解析】因为 只有一个元素，而 ， 所以 或 ，选B.3. 执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出 的值为（ ）A. 5 B. 11 C. 23 D. 47【答案】C【解析】 ，结束循环，输出
2、，选 C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.4. 已知 ，则 =（ ）A. B. C. 5 D. 6【答案】A【解析】 = 选 A.5. 某校对高二一班的数学期末考试成绩进行了统计，发现该班学生的分数都在 90 到 140 分之间，其频率分布直方图如图所示，若 130140 分数段的人数为 2，则 100120 分数段的人数为（ ）A. 12 B. 28 C. 32 D. 40【答案】B【解析】10012
3、0 分数段对应纵坐标为 ，根据对应关系得 ，选 B. 6. 某无盖容器的三视图如下所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰梯形，腰长为 3，俯视图是半径为 1 和 2 的两个同心圆，则它的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】几何体为一圆台，母线长为 3，侧面展开图为圆环，对应圆心角为 ，所以表面积是 选 B.7. 已知均是单位向量，若 ,则向量 的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ,所以 因此 ，选 D.8. 设函数 ,若对任意的 都有 成立，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当 时， 当 时， 所以 ，选 C. 9. 在
4、 中， 是 的中点， 是 上一点，且 ，则 的值是 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 所以 ,选 A.10. 已知抛物线 的准线过双曲线 的焦点，则双曲线的渐近线方程是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得 双曲线的渐近线方程是 ，选B.点睛：1.已知双曲线方程 求渐近线：2.已知渐近线 设双曲线标准方程3，双曲线焦点到渐近线距离为 ，垂足为对应准线与渐近线的交点.11. 设 是定义在 上的奇函数，且对于任意的实数 都有 成立，若实数满足不等式 ，则 的最大值为( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 9【答案】D【解析】当 时， 在 上单独递减；因为 ，所以
5、 因此 的最大值为 ，选 D.点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为 的形式，然后根据函数的单调性去掉“ ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 与 的取值应在外层函数的定义域内12. 已知函数 ,若函数 有 4 个不同的零点，则 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 当 时， 当 时， 作图可知， 选 C.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题
6、的思路.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 观察下列关系式： ； ， 由此规律，得到的第 个关系式为_【答案】【解析】左边为等比数列，右边为等差数列，所以第 个关系式为 .14. 已知 满足约束条件 ,则 的最小值为_【答案】-7【解析】作可行域，则直线 过点 A（-4，-3）时 取最小值-7.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15
7、. 已知等差数列 中， 为数列 的前 项和，则 的最小值为_【答案】3【解析】因为 所以 因此 当且仅当 时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.16. 已知抛物线 与圆 ,直线 与 交于 两点，与 交于两点，且 位于 轴的上方，则 _【答案】1【解析】圆 ，直线 过抛物线焦点 所以 ，由 得 ，即三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，内角 的
8、对边分别为 ，已知 .(1)求角 的值；(2)若 的面积为 ，求 的值.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）先根据三角形内角关系以及诱导公式化简 再根据正弦定理将边的关系化为角的关系，即得 ，可得角 的值；（2）先根据三角形面积公式得 ,再根据余弦定理得 的值.试题解析：（1）由已知 可化为,整理得 ,又 .(2)由 得 ,由（1） ,所以由余弦定理,即，所以 .18. 如图，在四棱锥 中，四边形 是菱形， 交 BD 于点 ，是边长为 2 的正三角形， 分别是 的中点. （1）求证：EF/平面 SAD；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】(1)见解析；（2） .【解析
9、】试题分析：（1）取 中点为 ，根据平几知识得 为平行四边形，即得,再根据线面平行判定定理得结论， （2）根据菱形以及正三角形性质得 ，.根据线面垂直判定定理得 平面 .根据面面垂直判定定理得平面 平面根据面面垂直性质定理得 平面 则 就是 与平面所成的角.最后根据解直角三角形得结果.试题解析：(1)证明：记 得中点为 ，连接 ， ，因为 分别是 的中点.所以且 且 ，所以,四边形 为平行四边形，所以 ,又 面 面 所以 平面 .(2)连接 ， 是边长为 2 的正三角形， 为 中点， .由四边形 是菱形知 .又 平面 .过 作 于 ，连接 .因为平面 平面平面 就是 在平面 上的射影， 就是
10、与平面 所成的角.四边形 是菱形， 是正三角形，,又 是正三角形.又 是 的中点， .又 是直角三角形， .19. 某超市周年庆典，设置了一项互动游戏如图，一个圆形游戏转盘被分成 6 个均匀的扇形区域.用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动） ，且箭头 指向每个区域的可能性都是相等的.要求每个家庭派一名儿童和一位成人先后各转动一次游戏转盘，记为 ，若一个家庭总得分,假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动，游戏规定：若 ，则该家庭可以获得一等奖一份；若 ，则该家庭可以获得二等奖一份；若 ，则该家庭可以获得纪念奖
11、一份.(1)求一个家庭获得纪念奖的概率；(2)试比较同一个家庭获得一等奖和二等奖概率的大小.【答案】 （1）一个家庭获得纪念奖的概率为 ；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用枚举法确定获得纪念奖的情况，再根据古典概型概率公式求概率， （2）利用枚举法确定获得一等奖和二等奖的情况，再根据古典概型概率公式求概率，最后比较大小.试题解析：(1)由题意可知，一个家庭的得分情况共有 36 种，获得纪念奖的情况为.共有 19 种.记事件 “一个家庭获得纪念奖” ，则 .故一个家庭获得纪念奖的概率为 .(2)记事件 “一个家庭获得一等奖”,则符合获得一等奖条件的得分情况包括：共 3 种，则 .记事件
12、“一个家庭获得二等奖”,则符合获得二等奖条件的得分情况包括：共 3 种，所以 .所以同一个家庭获得一等奖和二等奖的概率相等20. 已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上.(1)求椭圆 的方程；(2)若不过原点 的直线 与椭圆 相交于 两点，与直线 相交于点 ，且 是线段 的中点，求 面积的最大值.【答案】 （1）椭圆 的方程为 ；（2） 面积的最大值为： .【解析】试题分析：（1）将坐标代入椭圆方程，与离心率联立方程组解得 （2）先根据点差法求 AB 斜率，再设 AB 点斜式方程，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理以及弦长公式求弦长 AB，根据点到直线距离公式得三角形的高，代入三角形面积公式，
13、最后根据基本不等式求最值.试题解析：(1) 由椭圆 C: 的离心率为 ,点 在椭圆 上得解得 所以椭圆 的方程为 .(2)易得直线 的方程为 .当直线 的斜率不存在时， 的中点不在直线 上，故直线 的斜率存在.设直线 的方程为 ,与 联立消 得,所以 .设 ,则 , .由 ,所以 的中点 , 因为 在直线 上，所以 ,解得所以 ,得 ,且 ,又原点 到直线 的距离 ,所以 ，当且仅当 时等号成立，符合 ,且 .所以 面积的最大值为： .点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦 AB 所在直线方程的斜率 k,方法一利用点差法，列出有关弦 AB 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出
14、斜率 k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.21. 已知函数 .(1)若 ,求 的极值；(2)是否存在实数 .使得函数 在区间 上是单调函数，若存在，请求出 的范围；若不存在，请说明理由.【答案】 （1） 的极小值为 ；无极大值；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定极值， （2）先求导函数零点，再讨论零点与 1 的关系以及两零点大小关系，即得结果.试题解析：（1）当 时， ,；令 得， .列表极小值由上表可得： 的极小值为 ；无极大值.(2) ；当 时， 在区间 上是单调增函数；当 ,即 时，若 在区间 上是单调函数，则有
15、 ,故 ；当 ,即 时，若 在区间 上是单调函数，则有 ,故 ；综上可得存在实数 使得函数 在区间 上是单调函数.22. 在平面直角坐标系中 中，直线 ,圆 的参数方程为 为参数)，以坐标原点为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(1)求直线 和圆 的极坐标方程；(2)若直线 与圆 交于 两点，且 的面积是 ，求实数 的值.【答案】 （1）圆 的极坐标方程为 ；（2） 的取值为 或或 .【解析】试题分析：（1）根据 将直线 直角坐标方程化为极坐标方程，先根据三角函数平方关系将圆 的参数方程化为普通方程，再根据将圆 的直角坐标方程化为极坐标方程， （2）先根据三角形面积求 ，再得圆心到直线距
16、离，最后根据点到直线距离公式求实数 的值.试题解析：（1）由 得 ，所以将 化为直角坐标方程为 ,所以 .将 代入上式得 .圆 的极坐标方程为 .(2)因为 ,得或 ，当 时， .由（1）知直线 的极坐标方程为 ,代入圆 的极坐标方程得.所以 ,化简得 ,解得 或 .当 时， ,同理计算可得 或 .综上： 的取值为 或 或 .23. 已知函数 .(1)若 ,求 的取值集合；(2)若不等式 对于 恒成立，求 的取值范围.【答案】 （1） 的取值集合为 ；（2） .【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集， （2）先根据绝对值定义分类讨论，再参变分离转化为对应函数最值，最后根据最值得 的取值范围.试题解析：（1）当 时， ,解得 ；当 时， ,解得 ；当 时， ,解得 ；综合得 的取值集合为 .（2）分两种情况讨论：当 时，原不等式转化为 ,即 恒成立，当 时，原不等式转化为 ,即 恒成立， .综上可知： .点睛：不等式的恒成立问题可转化为最值问题，即 恒成立 ， 恒成立 .
