1、河南省中原名校（即豫南九校）2018 届高三第六次质量考评文科数学试卷第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数 ，则 （ ）A. B. 2 C. D. 5【答案】D【解析】故选2. 已知集合 ，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，故选3. 2017 年年终，某 公司对 20 名优秀员工进行表彰，这 20 名员工工龄的众数与平均数相等，则实数 的值为（ ）A. 0 B. 1 C. 40 D. 41【答案】A【解析】由题意易知这 名员工工龄的众数为 ，平均
2、数为这 名员工工龄的众数与平均数相等，解得故选4. 已知等差数列 的前 项和为 ，若数列 的公差 ，且存在 ，使得 ，则（ ）A. 5 B. 9 C. D. 【答案】D.则故选5. 已知双曲线 的右支上的点到直线 的距离恒大于 ，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由双曲线 的右支上的点到直线 的距离恒大于 ，可得直线 与直线 之间的距离 大于或等于 ，即解得则双曲线 的离心率的取值范围为故选6. 已知函数 （ 且 ） ，若 有最小值，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 有最小值根据题意，可得其最小值为 ，则或解得 或则
3、实数 的取值范围是故选7. 我国东汉时期的数学名著九章算术中有这样个问题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何？设总人数为 ，鸡的总价为 ，如图的程序框图给出了此问题的一种解法，则输出的 的值分别为（ ）A. 7,58 B. 8,64 C. 9,70 D. 10,76【答案】C【解析】按照程序框图运行，所以 x=9,y=70. 故选 C.8. 函数 与 在同一坐标系内的图象不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 的图像过原点,所以图像中过原点的抛物线是函数 的图像,在选项 C 中,上面的图像是函数 的图像, 下面的是函数 的图像,所以 ,所以
4、,由题得,因为 a0,所以 恒成立，所以函数 f(x)在定义域内单调递增，不是选项C 中的图像，故选 C.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这几何体的表面积为（ ）A. 32 B. C. D. 【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体的直观图为如图所示的七面体，该几何体的表面积故选10. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 的半圆，若该圆锥的顶点及底面圆周在球 的表面上，则球 的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设圆锥的高为 ，底面圆的半径为则，设球 的半径为 ，则即 ，解得球 的体积故选11. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为
5、1 的直线与抛物线 交于点 ，以线段为直径的圆 上存在点 ，使得以 为直径的圆过点 ，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题得直线 AB 的方程为 即 y=x-1,设 A ，联立所以 ，|AB|=所以 AB 为直径的圆 E 的圆心为（3,2） ，半径为 4.所以该圆 E 的方程为 .所以点 D 恒在圆 E 外，圆 E 上存在点 P,Q，使得以 PQ 为直径的圆过点 D(-2,t)，即圆 E 上存在点 P,Q，使得 DPDQ，显然当 DP,DQ 与圆 E 相切时，PDQ 最大，此时应满足PDQ ，所以 ，整理得 .解之得，故选 D.点睛：本题的难点在于分析转化，
6、本题的分析转化，主要是利用了数形结合的思想，通过数形结合把问题转化得简洁明了. 如果不用数形结合，本题解题会很复杂.12. 已知 在 上是增函数，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】在 上是增函数，在 上恒成立当 时， 满足题意当 时， ，要使 恒成立，则 恒成立， ，解得当 时， ，要使 恒成立，则 恒成立， ，解得综上所述，故选点睛：本题主要考查的知识点是运用导数来求函数的单调性以及参量的取值范围。求导的含有参量，为满足题意，对其进行分类讨论，并且要满足同时成立，要注意本题的解题关键是分类，属于中档题。第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20
7、 分，将答案填在答题纸上）13. 已知菱形 中， ，则 _【答案】【解析】设 的中点为 ，连接 ，则14. 设 满足约束条件 ，则 的最小值是_【答案】【解析】作出可行域如图中阴影部分所示联立 与求得 ， 表示点 与点 距离的平方即可行域内的点到直线 距离的平方其最小值为点 到直线 距离的平方所求最小值为15. 某校为保证学生夜晚安全，实行教师值夜班制度，已知 共 5 名教师每周一到周五都要值一次夜班，每周如此，且没有两人同时值夜班，周六和周日不值夜班，若 昨天值夜班，从今天起 至少连续 4 天不值夜班， 周四值夜班，则今天是周_.【答案】四【解析】因为 昨天值夜班，所以今天不是周一，也不是周
8、日若今天为周二，则 周一值夜班， 周四值夜班，则周二与周三 至少有一人值夜班，与至少连续 天不值夜班矛盾若今天为周三，则 周二值夜班， 周四值夜班，则周三与周五 至少有一人值夜班，与至少连续 天不值夜班矛盾若今天为周五，则 周四值夜班，与 周四值夜班矛盾若今天为周六，则 周五值夜班， 周四值夜班，则下周一与周二 至少有一人值夜班，与至少连续 天不值夜班矛盾，综上所述，今天是周四16. 已知数列 满足当 时 ，若数列 的前 项和为 ，则满足 的 的最小值为_【答案】58【解析】由题意可知数列 中满足 的有 项这 项记作第 组，第 组中所有项的和为前 组所有项的和为且前 组的项数为前 组有 项，各
9、项均为 ，即由 可得满足 的 的最小值为故答案为三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知 的内角 的对边分别为 ，且 .（1）求 ；（2）若角 的平分线与 交于点 ，且 ，求 的值.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析： 方法一：根据余弦定理可得 ，化简求出结果即可；方法二：利用正弦定理得 ，化简即可求得结果先求出 ，利用面积法， ，结合面积公式求出结果解析：（1）方法一：由 及余弦定理得 ，整理得 ，所以 .方法二：由 及正弦定理得為 ，又 ，所以 .（2）由（1）可知 ，且 ，所以，同理可得 ，设 的面积分别为 ，则
10、， ，由 得 ，所以 .18. 如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，平面 平面 ， 为 中点.（1）求证： ；（2）求四棱锥 的体积 .【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析： 连接 ，求出 ，利用勾股定理 ，由已知，面面垂直可得 ，即 平面 ，从而得证，求出 ， ，代入求出结果解析：（1）如图，连接 ，由 ，易得 ，因为四边形 是平行四边形，所以 ，又 ，所以在 中 ，所以 ，由 为 中点， 可得 ，因为平面 平面 ，且平面 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，因为 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 . （2）如图，连接 ，因为四边形 是平行四边形， 所以 ，由（
11、1）知 ，且 ，所以 ，又 ，且 平面 ，所以 ，所以 ，即四棱锥 的体积为 .19. 前几年随着网购的普及，线下零售遭遇挑战，但随着新零售模式的不断出现，零售行业近几年呈现增长趋势，下表为 年中国百货零售业销售额（单位：亿元，数据经过处理， 分别对应 ）：年份代码 1 2 3 4销售额 95 165 230 310（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立 关于 的回归方程，并预测 2018 年我国百货零售业销售额；（3）从 年这 4 年的百货零售业销售额及 2018 年预测销售额这 5 个数据中任取 2个数据，求这 2 个数据之差的绝对值大于
12、200 亿元的概率.参考数据：，参考公式：相关系数 ，回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， .【答案】(1)答案见解析；(2)回归方程为 .预测 2018 年我国百货零售业销售额为 377.5 亿元；(3) .【解析】试题分析： 根据表中的数据和参考数据，分别代入公式求出相对应的参数，根据公式 ，求出 的值，当 的值越接近于 ，说明其相关关系越强； 根据所给公式分别求出线性回归方程中的 ， 的值，然后可以求出 关于 的回归方程为，将 年对应的 代入回归方程即可预测 2018 年我国百货零售业销售额；求出从这 个数据中任取 个数据的所有可能性，并求得所取 个数据之差的绝对值大于亿元
13、的可能性，即可求得其概率解析：（1）由表中的数据和参考数据得， ， .因为 与 的相关系数近似为 0.999，说明 与 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合 与 的关系.（2）由 及（1）得 ，所以 关于 的回归方程为 .将 2018 年对应的 代入回归方程得 .所以预测 2018 年我国百货零售业销售额为 377.5 亿元.（3）从这 5 个数据中任取 2 个数据，结果有：，共 10 个.所取 2 个数据之差的绝对值大于 200 亿元的结果有：，共 3 个，所以所求概率 .20. 已知椭圆 及点 ，若直线 与椭圆 交于点 ，且（ 为坐标原点） ，椭圆 的离心率为 .（1）求椭圆
14、的标准方程；（2）若斜率为 的直线 交椭圆 于不同的两点 ，求 面积的最大值.【答案】(1) ；(2)1.【解析】试题分析： 由椭圆的离心率公式得到 ，设点 在第一象限，由椭圆的对称性可知 ，所以 ，进而求得点 的坐标，然后联立方程求得 ，即可得到椭圆 的标准方程；设直线 的方程为 ，联立椭圆方程，求得 或 ，设，求出 的值，又由题意得， 到直线 的距离 ，进而求得 面积的最大值解析：（1）由椭圆 的离心率为 ，得 ，所以 .设点 在第一象限，由椭圆的对称性可知 ，所以 ，因为点 坐标为 ，所以点 坐标为 ，代入椭圆 的方程得 ，与 联立， 可得 ，所以椭圆 的标准方程为 .（2）设直线 的方
15、程为 ，由 得 .由题意得， ，整理得 ，所以 或 .设 ，则 ，所以.又由题意得， 到直线 的距离 .的面积当且仅当 ，即 时取等号，且此时满足 ，所以 面积的最大值为 1.点睛：本题主要考查的知识点是椭圆的方程和性质以及三角形面积的最大值的求法，主要考查了椭圆的方程的运用，熟练掌握椭圆的性质和韦达定理是解题的关键，在求三角形面积时可以采用底和高的面积公式，本题还要有一定的计算能力。21. 已知函数 .（1）若曲线 在 处的切线过原点，求实数 的值；（2）若 ，求证当 时， .参考数据： .【答案】(1) ；(2)证明见解析.【解析】试题分析： 求出导数，求得切点的斜率，然后根据两点间的斜率
16、公式，解方程即可求得实数 的值； 构造 ，求导得 在 上单调递减，设 ，代入换元，求导证明结果解析：（1）因为 ，所以 ，由题意知，曲线 在 处的切线过原点，则切线斜率 ，即 ，整理得 ，所以 . （2）由 ，且 ，得 ，所以 .设 ，则 ，由 且 ，可知 ，所以 在 上单调递减，所以当 时， . 设 ，则 ，设 ，则 ，令 ，则 ，易知当 时， ，所以 在 上单调递増，所以 ，所以 在 上单调递増，所以 ，所以 ，即 ，所以当 时， ，即当 时， .点睛：本题主要考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，还考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，考查了学生的运算求解能力，在证
17、明过程中注意换元思想及二阶导数的运用。请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为 （ 为参数)，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 经过点 ，曲线 的极坐标方程为.（1）求曲线 的极坐标方程；（2）若 是曲线 上两点，求 的值.【答案】(1) ；(2) .试题解析：（1）将曲线 的参数方程 化为普通方程为 ，即 ，由 ，可得曲线 的极坐标方程为，因为曲线 经过点 ，所以 ，解得 (负值舍去） ，所以曲线 的极坐标方程为 .（2）因为 在曲线 上，所以 ， ，所以 .23. 已知函数 .（1）当 时，若 的最小值为 3，求实数 的值；（2）当 时，若不等式 的解集包含 ，求实数 的取值范围.【答案】(1) 或 4.(2) .【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用绝对值不等式求函数的最小值从而得到 a 的值. (2)第（2）问，先求出不等式的解集，再比较它们的关系得到实数 a 的取值范围.试题解析：（1）当 时， ， 因为 的最小值为 3，所以 ，解得 或 4.（2）当 时， 即 ，当 时， ，即 ，因为不等式 的解集包含 ，所以 且 ，即 ，故实数 的取值范围是 .
