1、平罗中学 2018 届高三年级第四次综合测试高三数学（理科）一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）(每小题只有唯一 一个正确选项)1. 已知 , ,则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意，得 ， .故选 A.2. 为虚数单位，复数 在复平面内对应的点所在象限为 （ ）A. 第二象限 B. 第一象限 C. 第四象限 D. 第三象限【答案】C【解析】，复数 在复平面内对应坐标为 ，所以复数 在复平面内对应的点在第四象限，故选 C.3. 某高校调查了 320 名学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 ，样本数据分组为 ， ，
2、， .根据直方图，这 320 名学生中每周的自习时间不足 22.5 小时的人数是 （ ）A. 68 B. 72 C. 76 D. 80【答案】B【解析】由频率分布直方图可得，320 名学生中每周的自习时间不足 22.5 小时的人数是人选 B4. 我国古代数学名著九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍五日织五尺，问日织几何？”意思是：“ 一女子善于织布，每天织布的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，该女子第 3 天所织布的尺数为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设这女子每天分别织布 an 尺，则数列a n
3、是等比数列，公比 q=2利用等比数列的通项公式及其前 n 项公式即可得出【详解】设这女子每天分别织布 an 尺，则数列a n是等比数列，公比 q=2则 =5，解得 a3= = 故选：C【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其前 n 项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5. 执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 （ ）A. 2 B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析： 时， 成立，第一次进入循环： ； 成立，第二次进入循环： ； 成立，第三次进入循环： ， 不成立，输出 ，故选 C.【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的
4、特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错. 6. 函数 的图象大致是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】当 x0 时，函数 f（x）= ，由函数的单调性，排除 CD；当 x0 时，函数 f（x）= ，此时，代入特殊值验证，排除 A，只有 B 正确.【详解】当 x0 时，函数 f（x）= ，由函数 y= 、y=ln（x）递减知函数 f（x）= 递减，排除 CD；当 x0 时，函数 f（x）= ，此时，f（1）= =1，而
5、选项 A 的最小值为 2，故可排除 A，只有 B 正确，故选：B【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.7. 从标有数字 1、2、3、4、5 的五张卡片中，依次抽出 2 张( 取后不放回)，则在第一次抽到卡片是奇数的情况下，第二次抽到卡片是偶数的概率为 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设事件 A 表示“第一张抽到奇数” ，事件 B 表示“第二张抽取偶数” ，则 P（A）=
6、，P（AB）= ，利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率【详解】从标有 1、2、3、4、5 的五张卡片中，依次抽出 2 张，设事件 A 表示“第一张抽到奇数” ，事件 B 表示“第二张抽取偶数” ，则 P（A）= ，P（AB）= = ，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为：P（A|B）= = = 故选：D【点睛】本题考查的是条件概率.条件概率一般有两种求解方法：(1)定义法：先求 P(A)和P(AB)，再由 P(B|A) ,求 P(B|A)(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再求事件 AB 所包含的基
7、本事件数 n(AB)，得 P(B|A).8. 已知甲、乙、丙三人中，一人是军人，一人是工人，一人是农民.若乙的年龄比农民的年龄大；丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则下列判断正确的是（ ）A. 甲是军人，乙是工人，丙是农民B. 甲是农民，乙是军人，丙是工人C. 甲是农民，乙是工人，丙是军人D. 甲是工人，乙是农民，丙是军人【答案】A【解析】丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则甲丙均不是工人，故乙是工人；乙的年龄比农民的年龄大，即工人的年龄比农民的年龄大，而工人的年龄比甲的年龄小，故甲不是农民，则丙是农民；最后可确定甲是军人.本题选择 A 选项.9. 某几何体的三
8、视图如图，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为 2 的正三角形，侧棱长是 2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积【详解】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为 2 的正三角形，侧棱长是 2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r= = ，球的表面积 4r 2=4 = 故选：B【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过
9、球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 P， A， B， C 构成的三条线段 PA， PB， PC 两两互相垂直，且PA a， PB b， PC c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2 a2 b2 c2求解10. 已知函数 ，若将函数 的图象向右平移 个单位后关于 轴对称，则下列结论中不正确的是 （ ）A. B. 是 图象的一个对称中心C. D. 是 图象的一条对称轴【答案】C【解析】函数 的图象向右平移 个单位，可得 ,的图象关于 轴对称，所以 , 时可得 ，故， ， 不正确，故选 C
10、.11. 已知双曲线 ，双曲线 的左、右焦点分别为 F1,F2,M 是双曲线 C2 的一条渐近线上的点，且 OMMF2,O 为坐标原点，若 ，且双曲线C1,C2 的离心率相同，则双曲线 C2 的实轴长是 （ ）A. 32 B. 4 C. 8 D. 16【答案】D【解析】【分析】求得双曲线 C1 的离心率，求得双曲线 C2 一条渐近线方程为 y= x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得 a=8，进而得到双曲线的实轴长【详解】双曲线 的离心率为 ，设 F2（c，0） ，双曲线 C2 一条渐近线方程为 y= x，可得|F 2M|= =b，即有|OM|= =a，
11、由 ，可得 ab=16，即 ab=32，又 a2+b2=c2，且= ，解得 a=8，b=4，c=4 ，即有双曲线的实轴长为 16故选：D【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，注意运用点到直线的距离公式和离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题12. 已知对任意 不等式 恒成立（其中 ，是自然对数的底数） ，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D. .【答案】A【解析】由 得 在 上恒成立，即 在 上恒成立令 ，则 ，当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减 ， ， .故实数的取值范围是 选 A点睛：已知不等式恒成立求参数的取值范围时，若参数能分离，则一般采用分离参数的方法进行
12、，将问题转化为 或 恒成立的形式，然后转化为求函数 的最值的问题，即或 ，若函数 的最值不存在，则用函数 值域的端点值表示二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13. 已知 与 的夹角为 ，且 与垂直，则实数 _【答案】【解析】【分析】由已知求得 ，再由向量垂直与数量积的关系列式求得 值【详解】由| |=2，| |=2， 与 的夹角为 45，得 与 垂直，（ ） = ，= 故答案为：【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直
13、的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决列出方程组求解未知数.14. 设实数 满足约束条件 则 的最大值为 _【答案】【解析】试题分析：如图为约束条件的可行域， 表示的是可行域的点到原点的斜率，故在点时 取得最大值为 考点：线性规划15. 设 ，则二项式 展开式中的第 项的系数为 _【答案】-24【解析】二项式 展开式中的第 项的系数为16. 已知数列 的前 项和为 ,且 , , 时, ,则 的通项公式 _【答案】【解析】由 得 又 ， 又 ， ， ， ，数列 是首项为 3，公差为 2 的等差数列， ，当 时，又 满足上式， .答案：三、简答题:解答应写出文字
14、说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，在圆内接四边形 中， ， ， .求 的大小； （2）求 面积的最大值.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）在 中，由余弦定理得 ，则 ，结合圆的内接四边形的性质可得 .（2）法 1：在 中，由余弦定理得 ，结合均值不等式的结论有 ，则 . .当且仅当， 面积的最大值为 .法 2：由几何关系可知，当 为弧 中点时， 上的高最大，此时 是等腰三角形，此时 上的高 ，据此可得 面积的最大值为 .试题解析：（1）在 中，由余弦定理得，解得 ，注意到 ，可得 .（2）法 1：在 中，由余弦定理得，即 ， ， ，即 . .当且仅当 ，BCD 为等腰三角形
15、时等号成立，即 面积的最大值为 .法 2：如图，当 为弧 中点时， 上的高最大，此时 是等腰三角形，易得，作 上的高 ，在 中，由 ， ，得 ，可得 ，综上知，即 面积的最大值为 .18. 为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50 名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者， “+”表示未服药者.（）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率；（）从图中 A，B，C，D 四人中随机.选出两人，记为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数，求的分布列和数
16、学期望 E（）； （）试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小.（只需写出结论）【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（）根据所给图数出 的人数，再除以 50 就是概率；（）由图可知两人的指标 ，根据超几何分布写出分布列， ， ，并求数学期望；（）方差表示数据的离散程度，波动越大，方差越大，波动小，方差小.试题解析：（）由图知，在服药的 50 名患者中，指标 的值小于 60 的有 15 人，所以从服药的 50 名患者中随机选出一人，此人指标 的值小于 60 的概率为 .（）由图知，A,B,C,D 四人中，指标 的值大于 1.7 的有 2
17、 人：A 和 C.所以的所有可能取值为 0,1,2.所以的分布列为0 1 2故的期望 .（）在这 100 名患者中，服药者指标 数据的方差大于未服药者指标 数据的方差.【名师点睛】求分布列的三种方法：（1）由统计数据得到离散型随机变量的分布列；（2）由古典概型求出离散型随机变量的分布列；（3）由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及 n 次独立重复试验有 k 次发生的概率求离散型随机变量的分布列19. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， BCD=135，侧面 PAB底面 ABCD，BAP=90，AB=AC=PA=2， E、F 分别为 BC、AD 的中点，点
18、M 在线段 PD 上（1）求证：EF平面 PAC； （2）如果直线 ME 与平面 PBC 所成的角和直线 ME 与平面 ABCD 所成的角相等，求 的值【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析： 由平行四边形的性质可得 ，即 ，由面面垂直的性质得出平面 ，故 ，从而 平面以 为原点建立空间直角坐标系，设 ， ，求出平面 ，平面 的法向量 以及 的坐标，根据线面角相等列方程求解即可得到答案解析：(1）证明：在平行四边形 中，因为 ， ，所以 由 分别为 的中点，得 ， 所以 因为侧面 底面 ，且 ，所以 底面 又因为 底面 ，所以 又因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 （2）解：因为 底
19、面 ， ，所以 两两垂直，以 分别为 、 、 ，建立空间直角坐标系，则， 所以 ， ， ，设 ，则 ，所以 ， ，易得平面的法向量 设平面 的法向量为 ，由 ， ， 得 令， 得 因为直线 与平面 所成的角和此直线与平面 所成的角相等，所以 ，即 ，所以 ，解得 ，或 （舍） 综上所得：点睛：本题主要考查的知识点是直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角。线面垂直的证明，往往利用线面垂直判定定理，解决有关线面角的问题，一般利用空间向量数量积进行处理比较方便，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出面的法向量，再根据向量数量积求出直线向量与法向量夹角余弦值，最后根据线面角与向量
20、夹角之间的关系列等量关系，求出比值20. 已知 为椭圆 的左、右顶点， 为其右焦点， 是椭圆 上异于的动点，且 面积的最大值为 .（1）求椭圆 的方程；（2）直线 与椭圆在点 处的切线交于点 ，当点 在椭圆上运动时，求证:以 为直径的圆与直线 恒相切.【答案】 （1） ；（2）证明见解析.【解析】试题分析: （1）由题意知知 ，由此能求出椭圆 的方程；（2）设直线 的方程为 ， 得 .，由此利用韦达定理、点到直线距离公式、直线与圆相切等知识点结合已知条件能证明当点在椭圆上运动时，以 为直径的圆与直线 恒相切试题解析：(1)设椭圆 的方程为 ,由题意知 解之得 ,故椭圆 的方程为 .(2)证明：
21、设直线 的方程为 .则点 坐标为 中点 的坐标为 .由 得 .设点 的坐标为 ，则 .点 坐标为 ,当 时，点 的坐标为 ,直线 轴，点 的坐标为 .此时以 为直径的圆 与直线 相切.当 时，则直线 的斜率 .直线 的方程为 .点 E 到直线 的距离 .又因为 .故以 为直径的圆与直线 相切.综上得，当点 在椭圆上运动时，以 为直径的圆与直径 恒相切.【点睛】本题考查椭圆方程求法，考查圆与直线相切的证明，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用，是一道难题。21. 已知函数 .（1）讨论函数 的单调性；（2） 若函数 有两个零点 ， ，且 ，证明： .【答案】 （1）当 时，知 在 上
22、递减；当 时， 在 上递减，在上递增；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由函数的解析式了的 ， ，分类讨论有：当 时，知 在 上递减；当 时， 在 上递减，在 上递增；（2）由（1）知， ， ，且 ， 故 ， ，原问题等价于 ，结合单调性转化为 即可，而， ，构造函数，令 ，结合导函数的性质可得 ，即 ，则结论得证.试题解析：（1） ， ，当 时， ，知 在 上是递减的；当 时， ，知 在 上是递减的，在 上递增的（2）由（1）知， ， ，依题意 ，即 ，由 得， ， ， ，由 及 得， ，即 ，欲证 ，只要 ，注意到 在 上是递减的，且 ，只要证明 即可，由 得 ，所以 ， ，令 ，
23、 ，则 ，知 在 上是递增的，于是 ，即，综上， 22. 在平面直角坐标系 中，直线的参数方程为 （为参数） ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，且直线经过曲线 的左焦点 （1）求 的值及直线的普通方程；（2）设曲线 的内接矩形的周长为 ，求 的最大值【答案】 （1）见解析 （2） 【解析】【分析】（1）将 ， 代入上式并化简得 ，所以 ，又直线的普通方程为 ，将焦点代入得得 ，所以直线的普通方程为 ；（2）设椭圆 的内接矩形在第一象限的顶点为 ，所以椭圆 的内接矩形的周长为（其中 ） ，此时椭圆 的内接矩形的周长取得最大值 【详解】 （1）因为曲线 的
24、极坐标方程为 ，即 ，将 ， 代入上式并化简得 ，所以曲线 的直角坐标方程为 ，于是， ，直线的普通方程为 ，将 代入直线方程得 ，所以直线的普通方程为 （2）设椭圆 的内接矩形在第一象限的顶点为 （ ） ，所以椭圆 的内接矩形的周长为 （其中 ） ，此时椭圆 的内接矩形的周长取得最大值 【点睛】(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式 及 直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如 的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以) 及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.23. 设函数 .（I）当 时，解不等式 ；（II）若 的解集为 ， （ ， ） ，求证： .【答案】 (1) (2)见解析【解析】【分析】（I）当 时，不等式化为 ，分类讨论，即可求解不等式的解集；（II）根据 得 或 ，根据题意里程方程组，求得 ，得到，再利用基本不等式，即可作出证明.【详解】 （I）当 时，不等式化为不等式的解集为（II）根据 得 的解集为 故 ，所以 ， ， ，当且仅当 ， 时取等号【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法” 求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
