1、- 1 -江西省 2015年高考数学二轮复习 小题精做系列专题 131设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间 a， b上的两个函数，若函数 y f(x) g(x)在x a， b上有两个不同的零点，则称 f(x)和 g(x)在 a， b上是“关联函数” ，区间 a， b称为“关联区间” 若 f(x) x23 x4 与 g(x)2 x m在0,3上是“关联函数” ，则 m的取值范围是 ( )A. 9,24 B1,0 C(，2 D. 9,4【答案】A2已知以 4T为周期的函数21,(,1()3mxfx，其中 0m。若方程3()fx恰有 5个实数解，则 的取值范围为（ ）A ,1 B 1(,7)3C
2、 48(,)3 D. 7,2【答案】B【考点定位】考察学生运用函数的图像分析函数图像和性质的能力，考察数形结合的能力. 3定义在 R上的可导函数 ()fx，当 (1,)时， ()()fxxf恒成立，1(2),(3),2afbfcf，则 ,abc的大小关系为 （ ）A c B b C D cba - 2 -【 答 案 】 A4设函数 21(),()(,0)fxgaxbRa，若 ()yfx的图象与 ()ygx图象有且仅有两个不同的公共点 12)AyB,则下列判断正确的是A.当 0a时， 1220, B. 当 时， 12120,C. 当 时， 1x D. 当 0a时， xy【答案】：B【考点定位】本
3、题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想，函数与方程思想等，难度很大，不易入手,具有很强的区分度5已知函数2342013()1.xxf,2342013().xxg,设函数 3()Fxg，且函数 ()F的零点均在区间 ),(,Zba内，则ba的最小值为（ ）A、11 B、10 C、9 D、8【答案】B- 3 -【解析】试题分析： 2320122013201()1 ()fxxxxxLLL 零点在 (1,2)上，函数 ()3)(4)Fxfgx，且函数 ()Fx的零点均在区间Zba内， 的零点在 ,3上， 4g的零点在 (5,6)上，b的最小值为 6410【考点定位】1、
4、导数的应用, 2、根的存在性定理.6已知数列 an： 232134， ， ， ， ， ， ， ， ， ，依它的前 10项的规律，则 a99 a100的值为( )A. 3724 B. 6 C.15 D. 7【答案】A【考点定位】数列及归纳推理.7现有两个命题：（1）若 lgl()xyx，且不等式 2yxt恒成立，则 t的取值范围是集合 P；（2）若函数 )1f， ,的图像与函数 ()2gx的图像没有交点，则t的取值范围是集合 Q；则以下集合关系正确的是（ ）A P B. P C.PQ D.- 4 -【答案】C【解析】对（2）：作出函数 ()1xf， ,的图像与函数 ()2gxt的图像如图所示：对
5、 ()1xf求导得： 21()fx.由 21()fx得 21x.由此得切点为 2,).代入 (gt得 3.由图可知 3t时，函数()1xf，- 5 -8函数2sin8(,)1xf（ x2）的最小值（ ）A.42 B. C. 4 D. 142【答案】A【解析】试题分析：令 1sin(0)xt，则 81sinyt42+1sin，又sin，所以 42y，当且仅当 2x， k时取“=”. 【考点定位】1、基本不等式；2、正弦函数的有界性.9设实数 ,xy满足025y，则2xyu的取值范围是 （ ）A 52, B 1,3 C 1,3 D 1,4【答案】C- 6 -10如图，正方体 1DCBA的棱长为 3
6、，以顶点 A为球心，2 为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( )A 65 B 32 C D 67【答案】A【解析】11已知 A、 B是椭圆2xyab1( a b0)和双曲线2xyab-1( a0， b0)的公共顶点 P是双曲线上的动点， M是椭圆上的动点( P、 M都异于 A、 B)，且满足 P B (M )，其中 R，设直线 AP、 BP、 AM、 BM的斜率分别记为k1、 k2、 k3、 k4， k1 k25，则 k3 k4_.- 7 -【答案】5【考点定位】直线与圆锥曲线.12已知等差数列 na的首项 1，公差 0d，且 2a、 5、 14分别是等比数列
7、 nb的2b、 3、 4.（1）求数列 n和 b的通项公式；（2）设数列 c对任意正整数 n均有 121nccabb 成立，求 122014cc 的值.【答案】 （1） 21na， 13n；（2） 2014.【解析】试题分析：（1）将 2、 5、 14a利用 与 d表示，结合条件 2a、 5、 14成等比数列列式求出 d的值，再根据等差数列的通项公式求出数列 n的通项公式，根据条件 2ba、35ba求出等比数列 nb的通项公式；（2）先令 1求出 c的值，然后再令 n，由121ncca得到 12ncb- 8 -1232nncb， 13,2nnc，则 120411204c 33 23 .【考点定
8、位】1.等差数列与等比数列的通项公式；2.定义法求通项；3.错位相减法求和13设无穷等比数列 na的公比为 q，且 *0()naN， na表示不超过实数 na的最大整数（如 2.5）,记 b，数列 的前 项和为 S，数列 b的前 项和为 T.（）若 14q=，求 nT；（）若对于任意不超过 2014的正整数 n，都有 21nT=+，证明：120()3q.（）证明： nST（ ,3L）的充分必要条件为 ,aqN*.【答案】 （）6, 2,7.n；（）答案详见解析；（）答案详见解析.【解析】 - 9 -所以 14b=， 2， 31b=，且当 3n时， 0nba=.即 ,6, 7.nT（）证明：因为
9、 2014()nT ，所以 13bT=，12014()nnb .因为 a=，所以 13,4)， ,3)()n . 由 21qa，得 . 因为 2012014,3)aq，所以 203 ，所以 201q，即 120()q.（）证明：（充分性）因为 1aN*， *， 所以 1naqN-*=，所以 nnba=对一切正整数 n都成立.因为 12S+L， 12nTb=+L，- 10 -所以必然存在一个整数 ()kN，使得 1a能被 kr整除，而不能被 1kr整除.又因为112kkapaqr，且 与 的最大公约数为 1. 所以 Z+，这与 n*（ *）矛盾. 所以 qN.因此 1N*， .【考点定位】1、等
10、比数列的通项公式；2、数列前 n项和；3、充要条件.14如图，四棱锥 PABCD中，底面 AB是平行四边形， 90CAD， P平面ABCD， 1， 2， F是 C的中点.（1）求证： DA平面 PC； （2）若以 为坐标原点，射线 、 AD、 P分别是 x轴、 y轴、 z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得 )1,(n是平面 C的法向量，求平面 PAF与平面PC所成锐二面角的余弦值.- 11 -【答案】 （1）参考解析；（2） 15【解析】(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面 PAF一个法向量为 (1,20)mur，又平面 PCD法向量为 (1,)nr，所以 |15co
11、s,mnurr 所求二面角的余弦值为 5. 【考点定位】1.线面垂直的证明 2.二面角.3.空间向量的运算.4.运算的能力.15如图，直三棱柱 ABCA 1B1C1中，D、E 分别是棱 BC、AB 的中点，点 F在棱 CC1上，已知ABAC，AA 13，BCCF2.(1)求证：C 1E平面 ADF；(2)设点 M在棱 BB1上，当 BM为何值时，平面 CAM平面 ADF?【答案】 （1）见解析（2）当 BM1 时【解析】(1)证明：连结 CE交 AD于 O，连结 OF.因为 CE，AD 为ABC 中线，所以 O为ABC 的重心， 123CFOE .- 12 -【考点定位】空间线、面间的位置关系
12、.16在ABC 中，BAC90，B60，AB1，D 为线段 BC的中点，E、F 为线段 AC的三等分点(如图)将ABD 沿着 AD折起到ABD 的位置，连结 BC(如图)(1)若平面 ABD平面 ADC，求三棱锥 B-ADC 的体积；(2)记线段 BC 的中点为 H，平面 BED 与平面 HFD的交线为 l，求证：HFl；(3)求证：ADBE.【答案】 （1） 8（2）见解析（3）见解析【解析】(1)解：在直角ABC 中，D 为 BC的中点，所以 ADBDCD.又B60，所以ABD是等边三角形取 AD中点 O，连结 BO，所以 BOAD.因为平面 ABD平面 ADC，平面 ABD平面 ADCA
13、D，BO 平面 ABD，所以 BO平面 ADC.在ABC 中，BAC90，B60，AB1，D 为 BC的所以 EO 2 306AEOAcos .- 13 -所以 AO2EO 2AE 2.所以 ADEO.又 BO 平面 BEO，EO 平面 BEO，BOEOO，所以 AD平面 BEO. 又 BE 平面 BEO，所以 ADBE.【考点定位】1、几何体的体积；2、空间线、面间的位置关系.17如图，正三棱柱 1ABC所有棱长都是 2，D 棱 AC的中点，E 是 1C棱的中点，AE交 1AD于点 H.（1）求证： E平面 1D；（2）求二面角 的余弦值；（3）求点 1B到平面 1A的距离.【答案】(1)参
14、考解析；(2)51 ；(3) 25【解析】(3)点到平面的距离，转化为直线与法向量的关系，再通过解三角形的知识即可得点到平面的距离.本小题关键是应用解三角形的知识.试题解析：（1）证明：建立如图所示， )0,21( )0,12(DAAE)3,0(BD 10AEDB BAE1 即 AEA 1D， AEBD- 14 -AE面 A1BD（2）由 02)3(0 111 yxzBDnn 取 1(2,0)n【考点定位】1.空间坐标系的建立.2.线面垂直的证明.4.二面角的求法.5.点到平面的距离公式.18已知点 12(,0)(,F分别是椭圆2:1(0)xyCab的左、右焦点, 点2(,)P在椭圆上 C上.
15、（）求椭圆 的标准方程;（）设直线 12:,:,lykxmlykx若 1l、 2均与椭圆 C相切,试探究在 x轴上是否存在定点 M,点 到 的距离之积恒为 1?若存在,请求出点 M坐标;若不存在,请说明理由.【答案】 （1） 2y；（2）满足题意的定点 B存在,其坐标为 (1,0)或 (,【解析】- 15 -试题解析：(1)法一：由 12(,0)(,F,得 1c, 1分21ab2分,1椭圆 C的方程为 12yx 4分法二：由 2(,0)(,F,得 c, 1分把 21km代入并去绝对值整理, 2(3)kt或者 2(1)0kt 10分前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的 R恒成立 则 ,解得 1
16、t;综上所述,满足题意的定点 B存在,其坐标为 (1,0)或 (, 12分【考点定位】1.椭圆的标准方程；2.椭圆的定义； 3.两点间的距离公式；4.点到直线的距离公式.19如图,已知抛物线 xy42的焦点为 F，过 F的直线交抛物线于 M、N 两点，其准线 l与 x轴交于 K点.- 16 -（1）求证：KF 平分MKN；（2）O 为坐标原点，直线 MO、NO 分别交准线于点 P、Q，求 MN的最小值.【答案】 （1）见解析；（2）8.【解析】由 044122 myxy, 12124,ymy. 4分设 KM和 KN的斜率分别为 21,k，显然只需证 0k即可. )0,(K， )4(421122
17、11 yyk ， 6 分（2）设 M、N 的坐标分别为21(,)(,)，由 M，O，P 三点共线可求出 P点的坐标为)4,1(y，由 N，O，Q 三点共线可求出 Q点坐标为 )4,1(2y， 7 分设直线 MN的方程为 1myx。由 042 mxy- 17 -20已知椭圆 E:21(0)xyab的左焦点为 1(,0)F,且过点 2(1,)Q.(1)求椭圆 E的方程;(2)设过点 P(-2,0)的直线与椭圆 E交于 A、B 两点，且满足 (1)BPA.若 3,求 11|AF的值;若 M、N 分别为椭圆 E的左、右顶点，证明: 11.FMN 【答案】(1) 2.xy;(2)参考解析【解析】试题分析
18、：(1)因为由椭圆 E:21(0)xyab的左焦点为 1(,0)F,即 1c.由点2(1,)Q到两焦点- 18 -显然直线 AB斜率存在,设直线 AB方程为 (2)ykx 由 2()ykx得: 22(1)40ky 得 0,213P,12124ky,211ky, k,符合 0,由对称性不妨设 ,- 19 -11tantanAFNB11AFMBN 【考点定位】1.椭圆的性质.2.直线与椭圆的位置关系.3.韦达定理.4.几何问题构建代数方法解决.21已知点 1F、 2为双曲线 C： 012byx的左、右焦点，过 2F作垂直于 x轴的直线，在 x轴上方交双曲线 于点 M，且 3F圆 O的方程是 2by
19、（1）求双曲线 的方程；（2）过双曲线 上任意一点 P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为 1P、 2，求21P的值；（3）过圆 O上任意一点 0y,xQ作圆 O的切线 l交双曲线 C于 A、 B两点， 中点为 M，求证： ABM【答案】(1) 21x；(2) 9；(3)证明见解析【解析】试题分析：(1)从双曲线方程中发现只有一个参数，因此我们只要找一个关系式就可求解，而这个关系式在 12RtMF中， 3021， 2121Fcb， 21FM，通过直角三角形的关系就可求得 b；(2)由(1)知双曲线的渐近线为 yx，这两条渐近线在含双曲线那部分的夹角为钝角，因此过双曲线上的点 P作该双曲线两条
20、渐近线的垂线12,P， 12为锐角，这样这题我们只要认真计算，设 点坐标为 0(,)y，由点到直- 20 -线距离公式求出距离 12,P，利用两条直线夹角公式求出 12cosP，从而得到向量的数量积 21；(3)首先 ABOM等价于 AB，因此设 12(,)(,)AxyB，我们只要证 10xy，而 12x可以由切线的方程 0xy与双曲线方程联立方程组得到，再借助切线方程得到 y，验证下是否有 12，注意上述情形是在0y时进行的，而 0时，切线为因为 0(,)Qxy在双曲线 C：21yx上，所以 20xy又 1cos3，所以20002 1cos393xyxyxy10分（3）由题意，即证： OAB
21、 设 12(,)(,)B，切线 l的方程为： 02xy 11分当 0y时，切线 l的方程代入双曲线 C中，化简得：22200()4(4)xxy- 21 -【考点定位】(1)双曲线的方程；(2)占到直线的距离，向量的数量积；(3)圆的切线与两直线垂直的充要条件22已知动点 P到点 A(2,0)与点 B(2,0)的斜率之积为 14，点 P的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C的方程；(2)若点 Q为曲线 C上的一点，直线 AQ， BQ与直线 x4 分别交于 M， N两点，直线 BM与椭圆的交点为 D.求证， A， D， N三点共线【答案】 （1）24x y21( x2) （2）见解析【解析】(1)解
22、设 P点坐标( x， y)，则 kAP 2yx (x2)， kBP 2yx (x2)，由已知2yx 14，化简，得24 y21，所求曲线 C的方程为 4 y21( x2)(2)证明 由已知直线 AQ的斜率存在，且不等于 0，设方程为 y k(x2)，由 2()ykx消去 y，得(14 k2)x216 k2x16 k240，因为2， xQ是方程的两个根，所以2 xQ 216 ，得 xQ2814k，又 yQ k(xQ2)- 22 - k28()14 241k ，所以 Q2284(,)1k .当 x4，得 yM6 k，即 M(4,6k) 又直线 BQ的斜率为 4，方程为 y 4k (x2)，当 x4
23、 时，得 yN 12k，即 N1(4,)2k.直线 BM的斜率为 3k，方程为 y3 k(x2)【考点定位】1、轨迹方程；2、直线与椭圆的关系.23已知椭圆 )0(1:21bayxC的离心率与双曲线 12xy的离心率互为倒数，直线 :yl与以原点为圆心，以椭圆 1C的短半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆 1的方程；（2）设椭圆 的左焦点为 1F，右焦点为 2，直线 1l过点 F且垂直于椭圆的长轴，动直线l垂直 1于点 P，线段 2垂直平分线交 l于点 M，求点 的轨迹 2C的方程；（3）设第（2）问中的 C与 x轴交于点 Q，不同的两点 SR,在 上，且满足 0RSQ,求 |QS的取值范围.-
24、 23 -【答案】 （1） 123yx；（2） xy42（3） ,58【解析】试题分析：（1）双曲线的离心率为 ，所以椭圆的离心率为 3。根据题意原点到直线2:xyl的距离为 a，又因为 22bc可解得 2,ab。 （2）由题意知 |,|2MFP即点 M到直线 1，和到点 (1,0)F的距离相等，根据椭圆的定义可知点 的轨迹是以2(1,0)F为焦点以直线 x为准线的抛物线。 （3）由 2C的方程为 xy42知 )0,(Q设),4(,21ySyR，根据 RSQ得出 1,y的关系，用两点间距离求 |S，再用配方法求最值。 试题解析：解（1）易知：双曲线的离心率为 3， ac，0)(16)(1222
25、 yy， 9 分- 24 -由 0,121y，左式可化简为： )16(2y， 10 分4356356212，当且仅当 y，即 1时取等号， 11 分又 )64()8(4)(| 2222 yyQS ，当 642y，即 2y时， 5|minQS， 13 分故 |的取值范围是 ,58. 14分【考点定位】1 椭圆的标准方程；2 抛物线的定义；3 函数值域.24已知 a为实常数，函数 ()ln1fxa.（1）讨论函数 ()fx的单调性；（2）若函数 有两个不同的零点 12,()x；（）求实数 a的取值范围；（）求证： 1xe且 12.（注： e为自然对数的底数）【答案】 （1）详见解析；（2） (0,
26、)，证明详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及不等式等基础知识，考查函数思想、分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，先对函数求导，由于函数有定义- 25 -当 0a时， ()0fx，函数在 (,)上是增函数； 2 分当 时，在区间 1,a上， 0fx；在区间 1(,)a上， ()0fx所以 ()fx在 0,是增函数，在 (,)是减函数. 4 分（II）由（I）知，当 0时，函数 fx在 (0,)上是增函数，不可能有两个零点当 a时， ()fx在 1,a是增函数，在 1a是减函数，此时 1()fa为函数 ()fx的最大值，当 0
27、)1(af时， )(xf最多有一个零点，所以 ()ln0f，解得 1， 6 分此时， 2e，且 11eaf ， )0(ln23ln)( 22aaef令 eF2l3，则 0)(22 aexF，所以 )(aF在 0,1上单调递增，所以 0)1(2ea，即 0)(2aef所以 的取值范围是 , 8分证法一：- 26 -由 10x得 1()0h .所以21lnx.所以 211ln ，即 12ax， 1()a， 112ln()0xa.又 lax ，所以 11ln0， 11l.所以 1111222()ln()()l()0fxaxa .即 12fxfa.由 120，得 1xa.所以 12xa， 12xa .
28、 12分证法二：- 27 -所以函数 )(xg在区间 1,0(a上为减函数. ax10,则 0)1(agx,又 0)(1xf于是 )()2()ln2 11111 fxaf . 又 2f由(1)可知12x.即 2a 12分【考点定位】1.利用导数研究函数的单调性；2.利用函数求函数最值；3.构造函数法；4.放缩法.25已知 0x，函数 ln1xfx.（1）当 a时，讨论函数 的单调性；（2）当 fx有两个极值点（设为 1x和 2）时，求证：121f f.【答案】 （1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）先求出函数 fx的导函数 221xaf，确定导数的符号，实质上就是确定分子 2
29、1a的正负，从而确定函数 f在定义域上的单调性，即对分子的 的符号进行分类讨论，从而确定 21xa的符号情况，进而确定函数fx在定义域上的单调性；（2）根据 1、 与 f之间的关系，结合韦达定理得出1以及 12的表达式，代入所证的不等式中，利用分析法将所要证的不等式转化为证明- 28 -不等式 ln1x，利用作差法，构造新函数 ln1gx，利用导数围绕max0g来证明. 试题解析：（1） 221xaf ，考虑分子 21ax（2） 1x、 2是 fx的两个极值点，故满足方程 0fx，即 、 是 10a的两个解， 12， 1221212lnlnlnaxafxfxxxa而在 laf中， 1lf， 因
30、此，要证明121xfxffx，等价于证明 1ln1fx，注意到 0x，只需证明 fx，即证 ln1x，令 ln1g，则 1xg，当 0,x时， 0x，函数 在 0,上单调递增；当 时， ，函数 x在 1上单调递减；因此 max1lng，从而 g，即 ln1x，原不等式得证.【考点定位】1.利用导数研究函数的单调性；2.分类讨论；3.分析法；4.构造新函数证明函数不等式- 29 -26已知函数 21()()2ln()fxaxaR.()若曲线 y在 和 3处的切线互相平行，求 a的值；()求 ()f的单调区间；()设 2gx，若对任意 1(0,2x，均存在 2(0,x，使得 12()fxg，求a的
31、取值范围.【答案】 （） 3a；（2）单调递增区间是 (,)a和 ,)，单调递减区间是 (,)a；（3） ln1【解析】试题分析：（）由函数 21()()2ln()fxaxaR，得20fxa，（）由题意可知，在区间 0,2上有函数 fx的最大值小于 gx的最大值成立，又函数gx在 0,2上的最大值 maxg，由（）知，当 12a时， ()f在 0,2上单调递增，故 max()()(1)ln2lnff，所以，ln，解得 ln2，故 ；当 时， ()fx在1(0,a上单调递增，在 1,a上单调递减， max1()()2lnffa，由 12可- 30 -知 1lnl2ea， 2lna， 2lna，所以，0， max()0f；综上所述，所求 的范围为 ln21.试题解析： 1)(0)x. 2分（） (1)3f，解得 23a. 3分（） )(xf 0)x. 5分当 0a时， ， 1a， 在区间 (,2)上， ()f；在区间 (2,)上 (0fx，故 fx的单调递增区间是 0,，单调递减区间是 ,). 6分当 10a时， ， 由已知， max()0g，由（）可知，当 12时， f在 (,2上单调递增，故 max()1)ln22lnf aa，所以， ln0，解得 ，故 1. 11分
