1、南州中学高 2019届高二下第三学月考试理科数学试题1.若集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先根据一元二次不等式的解法以及函数的定义域的求解方法，求出集合 M,N，之后利用交集中元素的特征，求得 ，得到结果.【详解】 ， ，所以 ，故选 D.【点睛】该题考查的是有关集合的交集的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，函数的定义域的求法，以及交集中元素的特征，属于简单题目.2.命题 方程 有实根，则 是：（ ）A. 方程 无实根B. 方程 无实根C. 不存在实数 ，使方程 无实根D. 至多有一个实数 ，使方程 有实根【答案】B【解析
2、】【分析】对特称命题的否定是一个全称命题，对一个全称命题的否定是特称命题，即：对命题“”的否定是：“ ”，对命题“ ”的否定是“ ”，由此不难得到对命题：“ 方程 有实根”的否定.【详解】因为对命题“ ”的否定是：“ ”，所以对命题“ 方程 有实根”的否定是“ 方程 无实根” ，故选 B.【点睛】该题考查的是有关特称命题的否定的问题，涉及到的知识点有特称命题的否定是全称命题，在解题的过程中，要明确特称命题的否定的形式，即能得到正确的结果.3.等差数列 中，如果 ， ，则数列 前 9项的和为（ ）A. 297 B. 144 C. 99 D. 66【答案】C【解析】试题分析： ， ，a 4=13,
3、a6=9,S9= =99考点：等差数列性质及前 n项和点评：本题考查了等差数列性质及前 n项和，掌握相关公式及性质是解题的关键4.下列各式中，最小值等于 2的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】A不正确，例如 的符号相反时；B不正确，因为 ，但等号成立的条件是 ，显然不可能成立；C不正确，当 时，它的最小值显然不是 2；D正确，因为 ，当且仅当 时，等号成立.【详解】A 不正确，例如 的符号相反时，所求式子的最小值不可能等于 2；B不正确，因为 ，但等号成立的条件是 ，显然不可能成立，故其最小值不可能等于 2；C不正确，当 时，它的最小值显然不是 2；D正确，因为 ，当且
4、仅当 时，等号成立；故选 D.【点睛】该题考查的是有关函数的最小值的问题，涉及到的知识点有应用基本不等式求和的最小值的问题，在解题的过程中，注意基本不等式的条件，一正二定三相等，只要把握住这三条，即可得到结果.5.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图知几何体为倒放的半个圆锥，圆锥的底面圆半径为 1，高为 2，圆锥的母线长为 ，几何体的表面积 S= 12+ 1 + 22= .故选：A.6.已知 分别是椭圆的左，右焦点，现以 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点 ，若过 的直线 是圆 的切线，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C.
5、 D. 【答案】D【解析】【分析】如图所示，由题意可得： ，利用勾股定理可得，即可得出结果 .【详解】如图所示：由题意可得： ，所以 ，化为 ，即 ，解得 ，故选 D.【点睛】该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在解题的过程中，注意对题中所给的条件的正确的转换，以及椭圆的离心率的式子 ，注意勾股定理的应用，时刻要记着椭圆的离心率的范围.7.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】第一次，S1，k1，进入循环，S第二次，k2，再进入循环，S第三次，k3，再进入循环，S第四次，k4，再进入循环，S第五次，k5，跳出循环，故 a4考点：算法，
6、程序框图8.数列 共有 12项，其中 ， ， ，且 ，则满足这种条件的不同数列的个数为（ ）A. 168 B. 84 C. 76 D. 152【答案】B【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，明确相邻两项之间的关系，借助于已知的项之间的差距，从而可以断定其中几个 1，几个 ，借助于组合数求得结果.【详解】 ，所以四个括号中有 3个 1，一个 ，共有 种情况，所以 7个括号中有 5个 1，2 个 ，共有 ，由分步乘法计数原理，可得满足这种条件的不同数列的个数为 个，故选 B.【点睛】该题考查的是有关分步计数原理的有关问题，在解题的过程中，需要从题中所给的条件中去提炼相关的信息，利用相邻两项之间的
7、差值，结合题中所给的项的值之间的差距，从而确定出有几个 1和几个 ，借助于组合数，求得结果.9. （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先利用同角三角函数关系式，将切化弦，之后利用诱导公式化简，借助于正弦的差角公式化简，最后应用辅助角公式求得结果.【详解】 ，故选 C.【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，诱导公式，正弦的差角公式以及辅助角公式，正确应用公式是解题的关键.10.定义域为 的偶函数 满足对 ，有 ，且当 时，若函数 在 上至少有三个零点，则 的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据定
8、义域为 R的偶函数 满足对 ，有 ，可以令 ，求出 ，再求出函数 的周期为 2，当 时， ，画出图形，根据函数在 上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解 .【详解】因为 ，且 是定义域为 R的偶函数，令 ，所以 ， ，即 ，则有 ，所以 是周期为 2的偶函数，当 时， ，图像为开口向下，顶点为 的抛物线，因为函数 在 上至少有三个零点，又因为 ，所以 ，可得 ，要使函数 在 上至少有三个零点，令 ，如图要求 ，可得就必须有 ，所以可得 ，所以 ，结合 ，解得 ，故选 D.【点睛】该题考查的是有关参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有函数的零点的个数，解题的方法是将函数的零点个数转化为函数
9、图像交点的个数，之后应用数形结合的思想，结合函数的图像，求得结果.二填空题：本大题共 6小题，考生作答 5小题，每小题 5分，共 25分把答案填写在答题卡相应位置上11.设复数 ，其中 ，则 _【答案】【解析】试题分析： ，所以 。考点：复数运算12.若 展开式的常数项是 ，则常数 的值为 .【答案】4【解析】试题分析： 展开式的常数项是 .考点：二项式定理.视频13.如图，棱形 的边长为 2， ,M为 DC的中点，若 N为菱形内任意一点（含边界） ，则 的最大值为_【答案】9【解析】【分析】先以点 A为坐标原点，AB 所在直线为 x轴，建立直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示
10、出 ，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可.【详解】如图，以点 A为坐标原点，AB 所在直线为 x轴，建立如图所示的直角坐标系，由于菱形 ABCD的边长为 2， ，M 为 DC的中点，故点 ，则 ，设 ，N 为菱形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为菱形 ABCD及其内部区域.因为 ，则 ，令 ，则 ，由图像可得当目标函数 过点 时，取得最大值，此时 ，故答案为 9.【点睛】该题考查的是有关向量的数量积的最值问题，在解题的过程中，根据题中所给的条件，建立相应的坐标系，将向量坐标化，应用向量数量积坐标公式，将其转化为相应的函数，之后借助于线性规划的思想解决问题，属于中
11、档题目.14.如图， 是圆 的切线，切点为点 ，直线 与圆 交于 、 两点， 的角平分线交弦 、 于 、 两点，已知 ， ，则 的值为 .【答案】 .【解析】试题分析：由切割线定理可得 ，由于 切圆 于点 ，由弦切角定理可知 ，由于 是 的角平分线，则 ，所以，由相似三角形得 .考点：1.切割线定理；2.相似三角形15.已知直线 与圆 相交于 AB，则以 AB为直径的圆的面积为 .【答案】【解析】试题分析：消掉 可得直线方程为 ，利用 可得圆的方程为，联立方程组得交点 ，交点间距离为 ，则所求圆的面积为 .另解：因为圆心 到直线 的距离为 ，所以 ，则所求圆的面积为考点：直线与圆的参数方程16
12、.设 f(x)2| x| x3|，若关于 x的不等式 f(x)|2 t3|0 有解，则参数 t的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由题意可得 ，可得 的最大值是 3，故只要 即可，解之可得结果.【详解】 有解，则 有解，而 ，可得 的最大值是 3，故只要 即可，解得 ，故 的范围为 .【点睛】该题考查的是有关不等式有解，求相关的参数的取值范围问题，解决该类问题的方法是向其最值靠拢，这里需要明确到底是最大值还是最小值，需要分清，之后应用零点分段，将函数解析式化简，从而求得其最值，最后解绝对值不等式求得结果.三解答题：本大题共 6小题，共 75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.设 ，
13、其中 ，曲线 在点 处的切线与直线 .（1）确定 的值；（2）求函数 的单调区间与极值.【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据题中所给的直线的方程得到其斜率，根据两直线垂直，得到切线的斜率，即 的值，得到 所满足的等量关系式，求得结果；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可.【详解】 （1） ；（2）【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有求导公式，导数的几何意义，两直线垂直的条件，函数的单调区间以及函数的极值，在解题的过程中，正确求出函数的导数是解题的关键.18.某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽
14、奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为 1，2，3，10 的十个小球。活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金 30元；三球号码都连号为二等奖，奖金 60元；三球号码分别为1，5，10 为一等奖，奖金 240元；其余情况无奖金。（1）求员工甲抽奖一次所得奖金 的分布列与期望； （2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数 的方差是多少？【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据题意可得 的可能取值为 0，,3,60,240，要求分布列，需要先得到 取不同值的概率；抽奖一次，基本事件的总数为 ，一等奖的情况只有一种，三球连号的情况有1,
15、2,3；2,3,4； ；8，9,10 共 8种，仅有两球连号中对应 1,2与 9,10各有 7种，对应2,3；3,4； ；8,9 各有 6种，据此可求得 取不同值的概率，进而列出分布列，根据期望公式求出期望；（2）由（1）可得乙一次抽奖中中奖的概率为 ，四次抽奖是相互独立的，所以中奖次数 ，据此可得方差.【详解】 （1）甲抽奖一次，基本事件总数为 =120,奖金 的所有可能取值为0，30，60，240.一等奖的情况只有一种，所以奖金为 240元的概率为 P( =240)=三球连号的情况有 1，2，3；2，3，4;8,9,10 共 8种，所以 P(=60)= 仅有两球连号中，对应 1，2 与 9
16、，10 的各有 7种；对应 2，3；3，4；8，9 各有 6种。得奖金 30的概率为 P（ =30）=奖金为 0的概率为 P（ =0）= 的分布列为： 0 30 60 240P（2） 由（1）可得乙一次抽奖中中奖的概率为 P=四次抽奖是相互独立的, 所以中奖次数 B（4， ）故【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有离散型随机变量的分布列以及期望，对立事件的概率，二项分布的方差公式，在解题的过程中，注意对实验所对应的基本事件数要数对，从而利用相关公式求解即可得结果.19.如图，四棱锥 SABCD的底面是正方形，侧棱 SA底面 ABCD，过 A作 AE垂直 SB交 SB于 E点，作
17、AH垂直 SD交 SD于 H点，平面 AEH交 SC于 K点，且AB=1，SA=2（1）证明 E、H 在以 AK为直径的圆上，且当点 P是 SA上任一点时，试求 的最小值；（2）求平面 AEKH与平面 ABCD所成的锐二面角的余弦值【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）将侧面 绕侧棱 旋转到与侧面 在同一平面内，当 三点共线时，取最小值，这时， 的最小值即线段 的长，由此能求出结果；（2）以 A为原点,分别以 AB、AD、AS 所在的直线为 x、 y、 z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 AEKH与平面 ABCD所成锐二面角的余弦值.【详解】 （1）SA底面 ABCD
18、，SABC，又 ABBC，BC平面 SAB，又 平面 SAB，EABC，又AESB，AE平面 SBC ，又 平面 SBC，EAEK， 同理 AHKH，E、H 在以 AK为直径的圆上现将侧面 SAB绕侧棱 SA旋转到与侧面 SAD在同一平面内，如右图示，则当 B、P、H 三点共线时， 取最小值，这时， 的最小值即线段 BH的长，设 ,则 ，在 中， , ,在三角形 BAH中，有余弦定理得： .（2）以 A为原点,分别以 AB、AD、AS 所在的直线为 x、 y、 z轴，建立空间直角坐标系，则S（0，0，2） ，C（1，1，0） ，由（1）可得 AESC，AHSC，SC平面 AEKH， 为平面 A
19、EKH的一个法向量，为平面 ABCDF的一个法向量，设平面 AEKH与平面 ABCD所成的锐二面角的平面角为 ，则平面 AEKH与平面 ABCD所成的锐二面角的余弦值【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有最短距离问题以及利用空间向量求二面角的余弦值的问题，在解题的过程中，注意最短距离问题应用平铺以后，平面内两点间的直线段最短，从而求得结果，关于利用空间向量求解二面角的余弦值，正确建立相关的空间直角坐标系是解题的关键.20.在 中， （1）求 的值；（2） 【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，右边利用两角和与差的正弦函数公式
20、化简，根据 不为零，求出 的值，即可确定出 的值；（2）已知等式左边利用诱导公式变形后，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，表示出，利用同角三角函数关系间基本关系求出 与 的值，由 以及 的值，利用正弦定理即可求出 的值.【详解】 （1）（2）由正弦定理得，【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦函数的倍角公式，正弦函数的和角公式，同角三角函数关系式，余弦的差角公式以及正弦定理，正确运用相关的公式是解题的关键.21.将 2006表示成 5个正整数 之和. 记 . 问：（1）当 取何值时，S 取到最大值；（2）进一步地，对任意 有 ，当 取何值时，S 取到最小值. 说明理由.
21、【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)根据条件，判断 S的值是有界集，故必存在最大值与最小值，且 S取到最大值，则必有，从而可求结论；(2)当 ，且 时，只有三种情况，后两种情形是由第一组作调整下得到的，结合（1）中的分析，可得结论.【详解】 （1） 首先这样的 S的值是有界集，故必存在最大值与最小值。 若, 且使 取到最大值，则必有(*)事实上，假设（*）不成立，不妨假设 。则令 ， , ( ),有 ，。将 S改写成 同时有 。于是有 .这与 S在 时取到最大值矛盾 .所以必有 . 因此当 取到最大值. （2）当 且 时，只有402， 402， 402， 400， 400；402， 402， 401， 401， 400；402， 401， 401， 401， 401； 三种情形满足要求。而后面两种情形是在第一组情形下作， 调整下得到的。根据上一小题的证明可以知道，每调整一次，和式变大. 所以在 情形取到最小值.【点睛】该题所考查的是有关函数最值的应用以及绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有新定义的问题，在解题的过程中，注意对题中条件的转化以及深刻的理解，从而找准解题的方向，进而求得结果.
