1、华 东 师 大 二 附 中 2015 届 暑 期 练 习 （ 二 ）数 学 试 卷一. 填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分1 设 UR, 2|0Mx，则 UCM= 2计算： nPn31lim .3 二项展开式 6()x中的常数项为 （用数字作答）4已知一个关于 y、 的二元一次方程组的增广矩阵是 210，则 +=xy . 5.已知点 G 为ABC 的重心，过 G 作直线与 AB、AC 两边分别交于 M、N 两点，且ABxM， CN，则 yx的值为_.6.直线 l的方程为1023y，则直线 l的
2、一个法向量是 .7. 函数 xcos6sin的最大值为 . 8. 在极坐标系中，点 (2,)4到直线 cosin10的距离等于_.9若直线 30xym与曲线 si2yx（ 为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是_.10.已知圆锥底面半径与球的半径都是 1c，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为_ 11.已知函数 的反函数若 的)(),0(2)( 11 xffaaxf 是设且 )(1xfy图象不经过第二象限，则 的取值范围 12 知离散型随机变量 x 的分布列如右表。若 0E， D，则 a_， b_。13已知函数 )(xf是定义在 R上的奇函数.当 0x时， 2()6fx
3、，则 0x时，不等式 的解集为 14设 *nN，圆 nC： 22()ny与 y轴正半轴的交点为 M，与曲线yx的交点为 (,)x，直线 MN与 x轴的交点为 (,0)nAa.若数列 nx满足：1143,n.则常数 p= 使数列 1p成等比数列； 二. 选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题只有一个正确答案,选对得 5 分，答案代号必须填在答题纸上注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应,不能错位.15一个水平放置的三角形的斜二测直观图是有一条边水平的等边三角形，则这个三角形一定是( )（A）.锐角三角形 （B）.直角三角形 （C）.钝角三角形 （D）.以上都有可能16 为了得到函
4、数 sin(2)3yx的图象，只需把函数 sin2yx的图象 ( )（A）向左平移 3个单位长度 （B）向右平移 3个单位长度（C ）向左平移 6个单位长度 （D）向右平移 6个单位长度 17等差数列 na中，公差 2d，且 431,a成等比数列，则 2a （ ）（A） 4 （B） 6 （C） 8 （D） 1018如果函数 y |x的图像与曲线 2:xy恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是 （ ）（A） 1,) （ B） 1,0 （C） (,1 0,) （D） 1,0 (,)三、解答题19 （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，每小题满分各 6 分X 10 1 2P a b cx
5、yz C1D1B1A1 CDABE如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 E 是棱 AB 上的动点.（1）求证： DA1 ED1 ；（2）若直线 DA1与平面 CED1成角为 45o，求 的值；20. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 已知虚数 sinco1z， sincoz，（1 ）若 52，求 )(的值；（2 ）若 z1, z2 是方程 3x22x+c=0 的两个根，求实数 c 的值。21 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 气象台预报，距离 S
6、岛正东方向 300km 的 A处有一台风形成，并以每小时 30km 的速度向北偏西 30的方向移动，在距台风中心处不超过 270km 以内的地区将受到台风的影响 .问：(1)从台风形成起经过 3 小时， S岛是否受到影响（精确到 0.1km）？(2)从台风形成起经过多少小时，S 岛开始受到台风的影响？持续时间多久？（精确到 0.1 小时)22.（本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，满分 6 分；第 2 小题满分 6 分已知椭圆 C的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为 1F、 2，抛物线 2:4Mymx(0)的准线与 x轴交于 1，椭圆 C与抛物线 M的一个交
7、点为 P.（1 ）当 时， 求椭圆 C的方程；直线 l过焦点 2，与抛物线 交于 AB、 两点，若弦长 AB等于 21FP的周长，求直线 的方程；（2 ）是否存在实数 m，使得 21的边长为连续的自然数.23.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 8 分在 数 列 na中，若 21nak（ 2n ， *N， k为常数） ，则称 为 X数 列 （ 1） 若 数 列 nb是 数 列 ， 1b， 23， 写 出 所 有 满 足 条 件 的 数 列 nb的前4项；（ 2） 证 明 ： 一 个 等 比 数 列 为 X数 列 的 充
8、 要 条 件 是 公 比 为 1或 ；（ 3） 若 X数 列 nc满足 12， c， 0nc，设数 列 1nc的 前 项 和为 nT 是否 存 在 正 整 数 ,pq，使 不 等 式 1nTpq对 一 切 *N都 成 立 ？ 若 存 在 ， 求出 ,的 值 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由(参 考 答 案 )考生注意：1. 答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号填写清楚.并在规定的区域内贴上条形码。2. 本试卷共有 23 道试题，满分 150 分考试时间 120 分钟 . 一. 填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得
9、 4 分，否则一律得零分1 设 UR, 2|0Mx，则 UCM= 0,2 2 （理科）计算： nPn31lim 2 3 二项展开式 6()x中的常数项为 0 （用数字作答）4 （理科）已知一个关于 y、 的二元一次方程组的增广矩阵是 210，则 +=xy . 65.（理科）已知点 G 为ABC 的重心，过 G 作直线与 AB、AC 两边分别交于 M、N 两点，且 ABxM， CyN，则 yx的值为_. 3解：M、G、N 三点共线 (1)(1)AMNxAByC又 G 为ABC 的重心 13AGBC，所以1133()xxy6.（理科）直线 l的方程为021xy，则直线 l的一个法向量是 .答案 ,
10、2k其中 07. （理科）函数 xycos6sin的最大值为 43 . 8. （理科）在极坐标系中，点 (2,)4到直线 cosin10的距离等于_2_.9 (理科)若直线 340xym与曲线 sin2co1yx（ 为参数）没有公共点，则实数 m的取值范围是_ 1或 ._.10.(理科) 已知圆锥底面半径与球的半径都是 c，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为_ 7_ 11.(理科)已知函数 的反函数若)(),1,0(2)(1 xffaaxf 是设且 的图象不经过第二象限，则 的取值范围 .2 (1xfy解得 的图象不过第二象限, 只需)(,1)(log) 1xfya要
11、使,1,02la解得 . 12 （理科）知离散型随机变量 x 的分布列如右表。若 0Ex， 1D，则a_， b_。解：由题知 12abc， 06ac，21，解得 5， 14b.13已知函数 )(xf是定义在 R上的奇函数.当 x时， 2()6fx，则 0x时，不等式 的解集为 (2,0),14设 *nN，圆 nC： 2ny与 y轴正半轴的交点为 M，与曲线yx的交点为 (,)x，直线 MN与 x轴的交点为 (,0)nAa.若数列 nx满足：1143,n.则常数 p= 2 或 4 使数列 1p成等比数列；解, yx与圆 nC交于点 ,则 22,nnnnRxyxRx, 由题可知，点 的坐标为 0,
12、，从而直线 N的方程为 1nya, 由点(,)nNxy在直线 MN上得: 1nxyaR, 将 2nnx， nx代入化简得: 1nnnax. 由 43x得： 14()nx, 又 14，故 14nx，2nn11 ()()(2)nnnnnappp，2121442642n np令 1()nnnnqa得：(6)2()2nnpppqp由等式 14()4)n对任意 *N成立得：()826qqpp，解得： 4q或 2X 10 1 2P a b c故当 2p时，数列 1nnap成公比为 4的等比数列；当 4时，数列 成公比为 2 的等比数列。二. 选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题只有一个正
13、确答案,选对得 5 分，答案代号必须填在答题纸上注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应,不能错位.15 （理科）一个水平放置的三角形的斜二测直观图是有一条边水平的等边三角形，则这个三角形一定是( C )（A）.锐角三角形 （B）.直角三角形 （C）.钝角三角形 （D）.以上都有可能16 为了得到函数 sin(2)3yx的图象，只需把函数 sin2yx的图象 ( D )（A）向左平移 个单位长度 （B）向右平移 3个单位长度（C ）向左平移 6个单位长度 （D）向右平移 6个单位长度 17等差数列 na中，公差 2d，且 431,a成等比数列，则 2a （ B ）（A ） 4 （B） 6 （C）
14、 8 （D） 1018 （理科）如果函数 y |x的图像与曲线 2:xy恰好有两个不同的公共点，则实数 的取值范围是 （ A ）（A） 1,) （ B） 1,0 （C） (,1 0,) （D） 1,0 (,)解：数形结合，分类讨论。当 0时，曲线 C表示两条平行直线 2x，与曲线 y |2x有两个公共点；当 时，曲线 表示圆 2:4y，与曲线 y |有三个公共点当 1时，曲线 表示焦点在 轴上的椭圆214，与曲线 y |2x有两个公共点；当 1时，曲线 C表示焦点在 x轴上的椭圆214xy，与曲线 y |2x有四个公共点；当 0时，曲线 表示焦点在 x轴上的双曲线214xy，考虑双曲线的渐近线
15、，当1时与曲线 y |2有两个个公共点；所以 ,)答案选 A三、解答题19 （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，每小题满分各 6 分（理科）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 E 是棱 AB 上的动点.（1）求证： DA1 ED1 ；（2）若直线 DA1与平面 CED1成角为 45o，求 的值；解：以 D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则 D(0,0,0),A（1 ，0，0） ， B(1,1,0)，C(0,1,0),D 1(0,1,2),A1(1,0,1)，设 E(1,m,0)（0m1）（1）证明： (,0)， (,)m1 )0AE所以 DA1ED 1.
16、 -4 分（2）设平面 CED1 的一个法向量为 (,)vxyz,则0vCDE，而 10,， 1,0)CEm所以 ,()yzxm取 z=1,得 y=1,x=1-m， 得 (,1)v.因为直线 DA1 与平面 CED1 成角为 45o，所以 1sin45|cos,|DAv所以 1|2DAv，所以 2|23m，解得 m= .-12 分x yz C1D1B1A1 CDABE20. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 （理科）已知虚数 sinco1z， sinco2z，（1 ）若 521，求 )(的值；（2 ）若 z1, z2 是方程 3x2
17、2x+c=0 的两个根，求实数 c 的值。解（） )sis(i， 2 分 521， 5n()o22， 5 分cos( )= 34. 6 分（2 ）由题意可知 cos=cos，sin=sin 8 分且 21cosin13z 10 分 3c，经检验满足题意。 12分21 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 （理科）气象台预报，距离 S岛正东方向 300km 的 A处有一台风形成，并以每小时 30km的速度向北偏西 30的方向移动，在距台风中心处不超过 270km 以内的地区将受到台风的影响.问：(1)从台风形成起经过 3 小时， S岛是否
18、受到影响（精确到 0.1km）？(2)从台风形成起经过多少小时，S 岛开始受到台风的影响？持续时间多久？（精确到 0.1 小时)解(1) 设台风中心经过 3 小时到达点 B，由题意，在 SAB中，SA=300，AB=90 ，6039AB，根据余弦定理，2260SSAcosS9 =71 .-4 分SB026.270 .所以，经过 3 小时 S 岛已经受到了影响.-6 分(2)可设台风中心经过 t 小时到达点 B，由题意得，609SA在 AV中，SA=300，AB=30t， 由余弦定理，22 2230306BScosS.(t)tcos-ABS3010 分若 S 岛受到台风影响，则有 270SB，而
19、 270S,化简整理得 1902t,解此不等式得 65t即 t的范围大约在 2.5小时与 7.4 小时之间 所以从台风形成起，大约在 2.5 小时 S 岛开始受到影响，约持续4.9 小时以后影响结束.-14 分22.（本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，满分 6 分；第 2 小题满分 6 分（理科）已知椭圆 C的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为 1F、 2，抛物线 2:4Mymx(0)的准线与 x轴交于 1F，椭圆 C与抛物线 M的一个交点为P.（1 ）当 时， 求椭圆 C的方程；直线 l过焦点 2，与抛物线 交于 AB、 两点，若弦长 AB等于 21FP
20、的周长，求直线 的方程；（2 ）是否存在实数 m，使得 21的边长为连续的自然数.22.解：（1）设椭圆的实半轴长为 a,短半轴长为 b，半焦距为 c,当 =1 时，由题意得， a=2c=2, 4,322cb, 所以椭圆的方程为 1342yx.（4 分）依题意知直线 l的斜率存在，设 )1(:xkl，由 )1(42xky得，0)42(2kxxk，由直线 l与抛物线 M有两个交点，可知 0.设 12,AyB，由韦达定理得 1,42221 xkkx，则 21kx224()k=21（6分）因为 21FP的周长为 62ca，所以2146k， （8 分）解得 k，从而可得直线 l的方程为 0yx （10
21、 分）（2 ）假设存在满足条件的实数 m，由题意得 mFac2,1，又设,1rPF,2ra41，设 )(0yxP，对于抛物线 M，有,02mx对于椭圆 C，由 20022213ymxr得 r)4(10x （13 分）由 x0)4(210x解得： 30，所以 r352，从而 mr371，因此，1FP的边长分别为 35、 6、 7， 当 3m时，使得 21FP的边长为连续的自然数. （16 分）23.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 8 分（ 理 科 ） 在 数 列 na中，若 21nak（ 2n ， *N， k为常数）
22、 ，则称 n为 X数 列 （ 1） 若 数 列 nb是 数 列 ， 1b， 23， 写 出 所 有 满 足 条 件 的 数 列 nb的前4项；（ 2） 证 明 ： 一 个 等 比 数 列 为 X数 列 的 充 要 条 件 是 公 比 为 1或 ；（ 3） 若 X数 列 nc满足 12， c， 0nc，设数 列 nc的 前 项 和为 nT 是 否 存 在 正 整 数 ,pq，使 不 等 式 1nTpq对 一 切 *N都 成立 ？ 若 存 在 ， 求 出 的 值 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由解：（ 1） 由 nb是 数 列 ， 1b， 23，有 28d， 于是 231()817b, 24
23、(1)825b所 有 满 足 条 件 的 数 列 n的前 项为：,7,5； ,5； ,3,5； 3,7 -4 分（ 2） （ 必要性）设数列 na是等比数列， 1naq（ 为公比且 0q） ，则21naq，若 为 X数列，则有22424211()nnnqk（ 为与 n无关的常数）所以 2， 或 -7 分（充分性）若一个等比数列 na的公比 ，则 1na， 210na，所以 na 为 X数列；若一个等比数列 n的公比 1q，则 1()nn，2222411()()0nn a，所以 a为 X数列-10 分 （ 3） 因 X数 列 n中 2,n，则21()()nad2，所以数列 n的前 项和 11.)3nTn -12 分假设存在正整数 ,pq使不等式 (. 12pq对一切 *nN都成立即 11.2()3n当 1时， 92(),4pq，又 ,pq为正整数，pq -15 分下面证明： 1.2(1)23n对一切 *nN都成立由于 *1()(1nn所以 11.2()32).(1)2(1)23nnn-18 分
