1、2017-2018 学年广东省仲元中学、中山一中等七校第二次联考理科数学一、选择题：共 12 题1. 已知集合 ,则A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ，则 ，故选 B.2. 已知 且 若 为实数,则实数 的值为A. 2 B. C. D. 【答案】D【解析】因为 且 是实数,所以 ,则 ，故选 D.3. 已知 为奇函数, ,则 =A. B. 1 C. D. 2【答案】C【解析】已知 为奇函数， ，令 可得 ，即 ，则 ，令 可得 ，故选 C.4. 若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆 的焦点和顶点 ,则该双曲线方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】依题意,由椭圆的方程 可得双曲
2、线的顶点与焦点坐标分别为 与，则 ,所以 ,所以双曲线的方程为 ，故选 A.5. 已知 ,则 等于A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 ，所以 ，则 ，则 ，故选 C.6. 若执行如图所示的程序框图,则输出的 k 值是A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】运行程序:； ； ； ； ，此时满足条件,循环结束,输出的 值为 ，故选 B.7. 下列说法正确的是A. “若 ,则 ”的否命题是“若 ,则 ”.B. “若 ,则 ”的逆命题为真命题.C. ,使 成立.D. “若 ,则 ”是真命题.【答案】D【解析】对于 A. “若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”,故 A 错误;
3、对于 B.“若 ,则 ”的逆命题为“若 ,则 ”,当 时, ,故 B 错误;对于 C.因为 ,所以 C 错误;对于 D.“若 ，则 ”是真命题，故选 D.8. 若函数 y=logax(a0,且 a1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为函数 过点 ,所以 ,解得 ,所以 不可能过点 ,排除A： 不可能过点 ,排除 C： 不可能过点 ,排除 D.故选 B.点睛：本题主要考查对数函数、指数函数、幂函数的图象的判断等基础知识,意在考查考生对概念的理解能力与应用能力、数形结合能力，求解此类函数图象判断题的关键:一是从已知函数图象过特殊点,列出关于参数的方
4、程,从而求出参数的值;二是利用特殊点法来判断图象.本题还可以利用函数的单调性来判断函数的图象.总之,有关函数的图象判断题,利用“特殊点”与“函数的性质”,即可轻松破解.9. 已知实数 满足 , 则使 的概率为A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意，可知 表示半径为 的圆,周长为 ，又点 到直线 的距离为 ，所以直线被圆所截的弧所对的圆心角为 ,由几何概型的概率公式可得使 的概率为 ，故选 C.10. 如图,网格纸上小正方形的边长为 l,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体是由一个三棱柱切割得到的,则该几何体外接球的表面积为A. B. C. D. 【答案】A则此外接球的直径为 ,所
5、以其表面积为 ，故选 A.11. P、Q 为三角形 ABC 中不同两点,若 , ,则为A. B. C. D. 【答案】B【解析】令 为 的中点 ,化为 ,即 ,可得,且点 在 边上,则 ,设点 分别是 的中点 ,则由 可得 ,设点 是的中点,则 ,设点 是 的中点,则 ,因此可得 ,所以 ，故选 B.12. 设定义在 R 上的函数 ,对任意的 ,都有 , 且 ,当 时,则不等式 的解集为A. B. C. D. 【答案】A【解析】由 可知, 关于 中心对称；当 时, 可知在 上单调递增,且 ,所以 时, 时, ,于是可得 时, 时, ,又由 关于 中心对称可知时, 时, ,故选 A.点睛：本题主
6、要考查导数、函数的性质,考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.二、填空题：共 4 题13. 在ABC 中, 3,b ,c2,那么 B 等于_.【答案】【解析】由题意可得 ，所以 .14. 九章算术是我国古
7、代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等问各得几何 ”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中,乙所得为_钱.【答案】【解析】由题意,设这五人所得钱分别为 ，则 ，且 ，所以 ，所以乙所得为 钱.15. 已知函数 ,则 =_.【答案】【解析】由题意 ，表示以原点为圆心,以 为半径的圆的一段弧与 轴所围成的图形的面积,其面积为 .点睛：本题考查了微积分定理的应用，解答中涉及到定积分的计算和定积分的几何意义求解曲边形的面积，
8、对于定积分的计算中，正确的找到被积函数的原函数是计算定积分的关键，同时定积分的几何意义表示所围成的曲边形的面积也是求解定积分的一个重要的方面.16. 已知 与函数 若 ,使得等式 成立,则实数 的取值集合是_.【答案】【解析】 ，则 ，所以 ；，则 ，所以 ，因为 ，都有 ，使得等式 成立，所以 ，所以 ，则 ，所以实数 的取值集合为 .本题主要考查三角函数的性质,考查了转化思想、恒成立问题与存在问题、逻辑推理能力与计算能力，本题的解答中正确理解含有全称量词和存在性量词的命题之间的关系，转化为集合之间的运算时解答的关键.三、解答题：共 7 题17. 设数列 满足(1)求 的通项公式;(2)数列
9、 满足 ,求数列 的前 n 项和【答案】(1) (2) .【解析】试题分析：(1) 时, ，两式相减,即可得数列的通项公式；(2) ,利用等比数列的前 项和公式求和即可.试题解析：(1)数列a n满足 当 n2 时, (2n1 =2 当 n=1 时, =2,上式也成立 (2)由 = 得 ,+1+ + = =数列 的前 项和 .18. 网上购物逐步走进大学生活,某大学学生宿舍 4 人积极参加网购,大家约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物,掷出点数为 5 或 6 的人去淘宝网购物,掷出点数小于 5 的人去京东商城购物,且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物.(1)求这 4 个
10、人中恰有 2 人去淘宝网购物的概率;(2)求这 4 个人中去淘宝网购物的人数大于去京东商城购物的人数的概率:(3)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去淘宝网购物的人数和去京东商城购物的人数,记 ,求随机变量 的分布列与数学期望 .【答案】(1) (2) (3) 【解析】试题分析：(1) 每个人去淘宝网购物的概率为 ，去京东商城购物的概率为 ，再利用二项分布的概率公式求解即可；(2)利用二项分布的概率公式求 即可；(3) 可取 ，求出每一个变量的概率,即可得分布列.试题解析：(1) 每个人去淘宝网购物的概率为 ,去京东商城购物的概率为 ,这 4 个人中恰有 2 人去淘宝网购物的概率为 .(2)
11、,这 4 个人中去淘宝网购物的人数大于去京东商城购物的人数的概率为 .(3) 可取 0,2,4,随机变量 的分布列为19. 已知长方体 中, 为 的中点,如图所示.(1) 证明: 平面 ;(2) 求平面 与平面 所成锐二面角的大小的余弦值.【答案】(1)见解析(2) .【解析】试题分析：(1)连接 交 于 ,易知 ,可得 平面 ；(2) 平面 即是平面 ,过平面 上点 作 的垂线于 ,过点 作直线 的垂线于 ,连接 ,证明 即是平面 与平面 所成锐二面角的平面角,求解易得结果；向量法:(1) 以 所在直线分别为 轴,以 为坐标原点,建立空间直角坐标系,求出平面 的一个法向量 ,证明 ，则可得结
12、论；(2)求出平面 的一个法向量 ,再利用向量的夹角公式求解即可.试题解析：(1)连接 交 于 ,因为在长方体 中,所以为 的中点,又 为 的中点所以在 中 是中位线,所以 ,又 平面 平面 ,所以 平面 ;(2)因为在长方体 中,所以 ,平面 即是平面 ,过平面 上点 作 的垂线于 ,如平面图,平面图因为在长方体 中, 平面 平面 ,所以 , ,所以 平面 于 .过点 作直线 的垂线于 ,如平面图,平面图连接 ,由三垂线定理可知, .由二面角的平面角定义可知,在 中,即是平面 与平面 所成锐二面角的平面角 .因长方体 中, ,在平面图中,在平面图中,由 相似 可知 ,所以 =2,所以平面 与
13、平面 所成锐二面角的大小的余弦值为 .20. 已知椭圆 的上、下、左、右四个顶点分别为 x 轴正半轴上的某点 满足 .(1)求椭圆的方程;(2)设该椭圆的左、右焦点分别为 ,点 在圆 上,且 在第一象限,过 作圆的切线交椭圆于 ,求证: 的周长是定值【答案】(1) (2)见解析 【解析】试题分析：(1) 设点 的坐标为 可知 ，可得椭圆方程;(2)法一:设 ，结合椭圆方程可得 ，在圆中, 是切点,，同理可得 ,则易得结论;法二:设 的方程为，联立椭圆方程,由根与系数的关系式,结合弦长公式求出 ，再求出 ，则结论易得.试题解析：(1)设点 G 的坐标为 ,可知 ,.因此椭圆的方程是 .(2)方法
14、 1:设 ,则 ,= , , ,在圆中, 是切点, = = , ,同理 , ,因此 的周长是定值 方法 2:设 的方程为 ,由 ,得 ,设 ,则 , = =, 与圆 相切, ,即 , , , , ,同理可得 , ,因此 的周长是定值 点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,考查了弦长公式与方程思想、逻辑推理能力与计算能力. 解答此类题目，利用 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法-如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子
15、的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21. 设函数(1)求函数 的单调增区间;(2)当 时,记 ,是否存在整数 ,使得关于 的不等式 有解?若存在,请求出 的最小值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析：(1) ，讨论可得函数的单调性；(2) ，判断函数的单调性并求出最值,则易得结论.试题解析：(1当 时,由 ,解得 ;当 时,由 ,解得 ;当 时,由 ,解得 ;当 时,由 ,解得 ;综上所述,当 时, 的单调递增区间为 ;当 时, 的单调递增区间为 ;当 时, 的单调递增区间为 ;(2)方
16、法一:当 时, ,在 单调递增 ,所以存在唯一实数 ,使得 ,即 ,=记函数 ,则 ,在 上单调递增,所以 ,即 .,且 为整数,得 ,所以存在整数 满足题意,且 的最小值为 0.方法二:当 时, ,由 得,当 时,不等式 有解,下面证明:当 时,不等式 恒成立,即证 恒成立.显然,当 时,不等式恒成立.只需证明当 时, 恒成立.即证明 ,令 ,由 ,得 .当 ;当 ;= ,当 时; 恒成立.综上所述,存在整数 满足题意,且 的最小值为 0.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查
17、主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.22. 已知直线 ( 为参数),曲线 ( 为参数).(1)设 与 相交于 两点,求 ;(2)若把曲线 上各点的横坐标压缩为原来的 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到曲线 ,设点P 是曲线 上的一个动点,求它到直 的距离的最小值.【答案】(1) (2) .【解析】试题分析：(1)消去参数求出直线与曲线的普通方程,再联立求出交点坐标,用两点间的距离公式即可求出结果
18、；(2) 的参数方程为 为参数),故点 P 的坐标是 ，从而点 到直线 的距离是 再利用三角函数的知识求解即可.试题解析：(1) 的普通方程为 , 的普通方程为联立方程组 ,解得 与 的交点为 ,则 .(2) 的参数方程为 ( 为参数),故点 P 的坐标是 ,从而点 P 到直线 的距离是,由此当 时 d 取得最小值,且最小值为 .23. 设 .(1)求 的解集;(2)若不等式 ,对任意实数 恒成立,求实数 x 的取值范围.【答案】(1) (2 .【解析】试题分析：(1)分情况讨论去绝对值求解即可；(2)整理,再结合绝对值三角不等式可得 ，再解不等式 即可.试题解析：(1)由 有 或或解得 , 所求解集为 .(2 = ,当且仅当 时取等号.由不等式 对任意实数 恒成立,可得 ,解得 .
