1、 导数汇编 2017.11CY（本小题满分 14 分）设函数 ， ， 2()ln1)fxax2()1exgaR（）当 时，求函数 在点 处的切线方程； a(f,f（）若函数 有两个零点，试求 的取值范围；()gx（）证明 f2.DC（本小题 13 分）设函数 ()ln1)()axfxR（）若 为 的极小值，求 的值；0（）若 对 恒成立，求 的最大值()f(0,)3.（本小题 14 分）设函数 ， .axxfln)(R（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；1a)(fy)1(,f（）求函数 在 上的最小值；)(fy,e（）若 ，求证： 是函数 在 时xaxfxg)12(0a)(xgy)2,1(
2、单调递增的充分不必要条件.4.HD （本小题满分 14 分）已知函数 ()ln1afx（）若曲线 存在斜率为 的切线，求实数 的取值范围；y a（）求 的单调区间；()f（）设函数 ，求证：当 时， 在 上存在极小值lnxag10()gx1,)5. （本小题满分 14 分）已知函数 .ln1()xf（）求曲线 在函数 零点处的切线方程；yf()f（）求函数 的单调区间；()fx（）若关于 的方程 恰有两个不同的实根 ，且 ，fa12,x12x求证： .21x6.HB(本小题满分 12 分）已知函数 )()(Rxef（1）求函数 的单调区间和极值；)(xf（2）已知函数 与函数 的图像关于直线
3、x = 1 对称，证明：当 x1 时，g)(xfyf(x) g(x)；（3）如果 ，证明： .)(,2121fxf且 217.TJ（本小题满分 14 分）已知函数 （ ） ，函数 的图象记为曲线 .325()fxaxb,R()fxC（I）若函数 在 时取得极大值 2，求 的值；1,ab（II）若函数 存在三个不同的零点，求实数 的取2()(1)3Fxfxxb值范围；（III）设动点 处的切线 与曲线 交于另一点 ，点 处的切线为 ，两0(,)Af1lCB2l切线的斜率分别为 ，当 为何值时存在常数 使得 ？并求出 的值.12ka21k8 XC（本小题满分 13 分）已知函数 ，其中 ()lns
4、i(1)fxaxaR（）如果曲线 在 处的切线的斜率是 ，求 的值；)yf 1a（）如果 在区间 上为增函数，求 的取值范围(f(0,9 （本小题满分 13 分）对于函数 ，若存在实数 满足 ，则称 为函数 的一个不动点()fx0x0()fx0()fx已知函数 ，其中 32ab,abR（）当 时，0（）求 的极值点；()fx（）若存在 既是 的极值点，又是 的不动点，求 的值；0()f()fxb（）若 有两个相异的极值点 ， ，试问：是否存在 ， ，使得 ， ()fx1x2a1x2均为 的不动点？ 证明你的结论 导数答案 2017.11 （本小题满分 14 分）解：（）函数 的定义域是 ， (
5、)fx(1,)(21)xaf当 时， 1a246fa)437所以函数 在点 处的切线方程为 ()x,()f 6(2)yx即 4 分65y（）函数 的定义域为 ，由已知得 ()gxR()e)xga当 时，函数 只有一个零点；0a(1)ex当 ，因为 ，e20xa当 时， ；当 时， (,)()g(0,)x()0gx所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增x,又 ， ，(0)1g()a因为 ，所以 ，所以 ，所以x0,1xe(1)xe2()1gxa取 ，显然 且042a00g所以 ， ()1g0()gx由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点当 时，由 ，得 ，或 0a()e2)xa0xl
6、n(2)a) 当 ，则 12ln0当 变化时， 变化情况如下表：x(),gx(,ln2)aln(2)a(ln2),a()gx+ 0 0+ 1 注意到 ，所以函数 至多有一个零点，不符合题意(0)1()gx) 当 ，则 ， 在 单调递增，函数 至多有一个零点，2aln)0a,)()gx不符合题意若 ，则 1l()当 变化时， 变化情况如下表：x,gx(ln2)aln(2)a(ln2),0a(0,)()gx+ 0 + 1注意到当 时， ， ，所以函数 至0,xa2()1e0xga()g()gx多有一个零点，不符合题意综上， 的取值范围是 9 分(,).（）证明： ()1eln()1xgxf x设
7、，其定义域为 ，则证明 即可()1eln)h,()0hx因为 ，取 ，则 ，且()1xx31ex131e(2)0又因为 ，所以函数 在 上单增21)e0()xhx()hx1,)所以 有唯一的实根 ，且 ()0 01,0ex当 时， ；当 时， 01x()hx0()h所以函数 的最小值为 ()所以 00 0()(1)eln(1)xhxx所以 01.fg2.（共 14 分）解：（） ()fx的定义域为 (1,)因为 lna，所以 21()()fxx因为 为 的极小值，0ff所以 ()，即 210()a所以 1a此时， 2()xf当 1,0x时， 0f， ()fx单调递减；当 ()时， ()， 单调
8、递增所以 f在 处取得极小值，所以 1a 5 分（）由（）知当 时， ()fx在 0,)上为单调递增函数， 所以 ()0fx，所以 f对 恒成立,因此，当 1a时， ()ln1)ln(1)0axxf，()0fx对 恒成立,当 时， 22()()()fxx，所以，当 ,1a时， 0f，因为 fx在 0,1)a上单调递减，所以 ()(0ff所以当 时， )x并非对 恒成立(,)综上， a的最大值为 1 13 分3.（共 14 分）解：（）由 axxfln)(得 1ln)(axf.当 1a时， 2， 1， 2)(f，求得切线方程为 y 当 ea)1(，即 0时， ,ex时 0)(xf恒成立， )(x
9、f单调递增，此时 afxf1min.当 ea)1(，即 2时， ,ex时 0)(xf恒成立， )(xf单调递减，此时 aefxf)(min.当 ea)1(，即 0时， ),1(ae时 (f， )(f单减；,)(时 )(xf， )(f单增，此时 1)1minaaexf .（） (lln12 axafxg . 当 0a时， ),(x时 0， 0)1(， )xg恒成立，函数 )y在 时单调递增，充分条件成立；又当 21时，代入 21ln)(ln)( xag.设 21l)( xxh， ,，则 0( xh恒成当 ),1(x时， 单调递增 .又 0， 当 ),(时， 0)(h恒成立.而 )(xgh，当 2
10、,时， 恒成立，函数 )(xgy单调递增.必要条件不成立综上， 0a是函数 )(xgy在 )2,1(时单调递增的充分不必要条4.解：（）由 得()ln1fx.21 (0)f x由已知曲线 存在斜率为 的切线，yf1所以 存在大于零的实数根，()1fx即 存在大于零的实数根，20a因为 在 时单调递增，yxx所以实数 的取值范围 . a0（ -， ）（）由 ， ， 可得2()xfaR当 时， ，所以函数 的增区间为 ；0()f ()fx(0,)当 时，若 ， ，若 ， ，a,)xa0,a(0fx所以此时函数 的增区间为 ，减区间为 .(f(,),)（）由 及题设得 ，()lnxag22ln1()
11、ln)axfxg）由 可得 ，由 ()可知函数 在 上递增，101(f,)a所以 ，()fa取 ，显然 ，ex，()ln10fe所以存在 满足 ，即0(,)x0()fx存在 满足 ，1,eg所以 在区间 上的情况如下：(),gx(1,)x01,0x0(,)x()0gxA极小 A所以当 时， 在 上存在极小值.10a()gx1,)（本题所取的特殊值不唯一，注意到 ） ，因此只需要 即可）0(1)ax0ln1x5. （本小题满分 14 分）解：（）令 ，得 . 0fx1e所以，函数 零点为 .()f由 得 ， ln1()xf22ln1lxxf所以 ， 2ef所以曲线 在函数 零点处的切线方程为 ，
12、()yfx()fx210eyx即 . 2e（）由函数 得定义域为 .ln1()xf(0,)令 ，得 . ()0fx所以，在区间 上， ；在区间 上， . (,1)()0fx(1,)()0fx故函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 . fx， ，（）由（）可知 在 上 ，在 上 . ()fx10,e)(0fx1(e,)(0fx由（）结论可知，函数 在 处取得极大值 ， f所以，方程 有两个不同的实根 时，必有 ，且 ， ()fxa12,x01a12ex法 1：所以 ，1ln)()f由 在 上单调递减可知 ， ()fx,)2xa所以 . 21a法 2：由 可得 ，两个方程同解.fxln1xa设
13、 ，则 ，()ln1ga()xg当 时，由 得 ， 00xa所以 在区间 上的情况如下：(),gx(,)x1(0,)a1(,)a()g0 A极小 A所以 ， ,1xa21所以 .21xa6.（1） 在 上增，在 上减，故 在 x=1 处(),xfe(f,1,()fx取得极大值 4 分1e（2）因为函数 的图像与 的图像关于直线 x=1 对称，所以()fx()gx= ，令 ，则()gx2xf()Ffgx2)xFe又 ，当 时有 ，(1()xe 1()0x在 上为增函数， . 8 分)x,)()F(3) 在 上增，在 上减，且 ，(f,12xx 1, x2分别在直线 x=1 两侧，不妨设 x11,
14、 即 ， 1(),fg12()fxf2,又 . 12 分,x27 （本小题满分 14 分）解：函数 的导函数为 .325()fxab2()35fxa（I）当 时极大值 2，则 ，解得 ； 4 分1x(1)0,f,b（II）由题意可得 有三个不同的零点，即方程25()3Fxfxax有三个实数解.3250xb令 ，则 ，由325()gx2()651()1gxxx可得 或 ，且 是其单调递增区间，0x13,3是其单调递减区间， .因此，实数 的取值范围是1(,)2317()()2854ggb. 9 分7,548（III）由（I）知点 处的切线 的方程为 ，0(,)Axf1l00()()yfxfx与
15、联立得 ，即 ，所以()yfx00()()fxfx2005()xx点 的横坐标是 ，可得B52B，即 ，2 21000535,3()()kxakxxa220014kxa等价于 ，解得 .220(414a54,综上可得，当 时存在常数 使得 . 14 分121k8 （本小题满分 13 分）解：（）函数 的定义域是 ，1 分()fx(0,)导函数为 2 分1cosfax因为曲线 在 处的切线的斜率是 ，()yfx1所以 ，即 ，3 分1f1a所以 4 分2a（）因为 在区间 上为增函数，()fx(0,)所以对于任意 ，都有 6 分,11cos(1)0fxax因为 时， ，(0,)xcos()0所以
16、 8 分111cos()faxax令 ，所以 10 分()cos()gx()cos)ing因为 时， ，0,1in10x所以 时， ， 在区间 上单调递增，()()()x(0,1)所以 12 分 )gx所以 1a即 的取值范围是 13 分(,19 （本小题满分 13 分）解：（） 的定义域为 ，且 1 分()fx(,)2()3fxaxb当 时， 0a2)3fxb（） 当 时，显然 在 上单调递增，无极值点 2 分b (f,) 当 时，令 ，解得 3 分0)0xbx和 的变化情况如下表：()fxf所以， 是 的极大值点； 是 的极小值点5 分3b()f 3x()fx（）若 是 的极值点，则有 ；
17、0xf 20b若 是 的不动点，则有 ()30xx从上述两式中消去 ，b整理得 6 分302x设 ()g所以 ， 在 上单调递增21x()gx,)又 ，所以函数 有且仅有一个零点 ，()01x即方程 的根为 ，32x01x所以 8 分 0b（）因为 有两个相异的极值点 ， ，()f 12所以方程 有两个不等实根 ， ， 23xab1x2所以 ，即 9 分410230假设存在实数 ， ，使得 ， 均为 的不动点，则 ， 是方程1x()f1x2的两个实根，显然 ， 32()xab1x20对于实根 ，有 13211()3xab又因为 20 ，得 31x211(3)90abx同理可得 22()所以，方程 也有两个不等实根 ， 11 分xx1x2所以 123ba对于方程 ，有 ， 0x123ax所以 ， 即 ，3ba29b这与 相矛盾！20所以，不存在 ， ，使得 ， 均为 的不动点13 分b1x2()fx
